f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction g définie par g (x) = f (x) − x est continue et strictement décroissante sur R 2 Comparer g (x) avec f (0) − x dans le cas où x est positif En déduire lim ( ) x→+∞ g x À l’aide d’un raisonnement semblable, déterminer la limite de g en − ∞ 3
Montrer que f est une application affine si et seulement si l’application x 7 d x f est constante sur E Exercice 21 : Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E
PCSI 2 PréparationdesKhôlles 2013-2014 Chapitre 16 : Espaces vectoriels Exercicetype1 Soit E=R[X]et F ={P ∈E, P(X)=XP′(X)+P(0)},montrer que F est un sous-espace vectoriel de E
x2 Rd: f(x) > : Montrer que (figure-bonus possible) : m E 6 1 Z f: Exercice 2 En dimension d> 1, soit une fonction mesurable f: Rd R+ à valeurs positives finies (a) Rappeler la définition initiale de la mesurabilité d’une fonction, puis des caractérisa-tions équivalentes (b) Montrer que, pour tout entier k2 Z, les sous-ensembles
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension
f x xc x cos et f x xc dcos 1 Par application de I A F sur l’intervalle de borne 0 ????( [ , ] où = inf( , 0) et = sup( 0 ) f b f a b a d 1 Donc : xx d sin sin0 1 0 Donc : sinxxd Exercice 8 : En utilisant le I A F Montrer que a et b et 0ddab tan tan 1 ² 1 ² b a b a ar b ar a ba d d Solution :Considérons une fonction f tel que f x xtan ar
Soit f ∈ L (E)tel que : pour tout x ∈ E, f (x)est orthogonal à x 1 Montrer que ∀(x,y)∈ E2, hf (x),yi =−hx,f (y)i 2 Montrer que Ker(f)=Im(f)⊥ 3 (a) Montrer que 0 est la seule valeur réelle possible pour f (b) f est-il diagonalisable? 4 Soit B une base obtenue en concaténant une base de Ker(f)et une base de Im(f
1) Montrer que la fonction f telle que f(x) = 27 17 9 4 3 ² − + x x est solution de (E1) 2) Montrer que g + f est solution de l’équation (E1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle (E2) : 2y’ + 3y = 0 3) En déduire toutes les solutions de (E1)
ECE1-B 2015-2016 III Illustration sur des exemples III 1 Énoncé du DS1 Exercice 1 Onconsidèrelafonctionfdéfiniepar:f(x) = x+1+ x 1+lnx x2 Cette fonction est
Algèbre linéaire 1 1 Applications linéaires : 1 1 Rang de f2: Eest un K -espace vectoriel de dimension nie n Soit f∈ L(E) 1- Montrer que rg (f2) = rg f−dim(kerf∩Im f)
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Equation f(x) = x - Académie de Bordeaux
f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction g définie par g (x) = f (x) − x est continue et strictement décroissante sur R 2 Comparer g (x) avec f (0) − x dans le cas où x est positif En déduire lim ( ) x→+∞ g x À l’aide d’un raisonnement semblable, déterminer la limite de g en − ∞ 3 En déduire que l’équation f (x) = x admet une solution unique α 4 Exemple Taille du fichier : 61KB
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D´erivabilit´e - univ-lillefr
1+xn (1+x)n, x > 0 1 (a) Montrer que f est d´erivable sur R+ et calculer f0(x) pour x > 0 (b) En ´etudiant le signe de f0(x) sur R+, montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on d´eterminera 2 (a) En d´eduire l’in´egalit´e suivante : (1+x) n6 2 −1(1+xn), ∀x ∈ R+ (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a (x+y) n6 2n−1(x +yn)
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Convexitédesfonctions X E Montrer que X N
Exercice35: On considère f: RRdéfinie par f (x) ˘ln(1¯ex) 1 Montrer que f est convexe 2 Montrer que pour tout (x1, ,xn) 2]0,¯1[n, on a 1¯ ˆ Yn k˘1 xk1/n 6 Yn k˘1 (1¯xk) 1/n 3 Montrer que pour tout (a1, ,an,b1, ,bn) 2]0,¯1[2n, on a ˆ Yn k˘1 ak1/n ¯ ˆ Yn k˘1 bk1/n 6 Yn k˘1 (ak ¯bk) 1/n Exercice36: On définit ¡: R⁄ ¯Rpar 8x 2R⁄ ¯, ¡(x) ˘ Z ¯1 0
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Résolution d’équations différentielles du premier ordre
1) Pour montrer que f est solution de (E1), on va remplacer y par f et vérifier que l’égalité reste vraie : 2f ’(x) + 3f(x) = ² 1 9 17 3 4 ² 9 8 3 4 27 17 9 4 3 ² 3 9 4 3 2 2 = − + − + = + + − + − x x x x x x x Donc f est solution de (E1) 2) On suppose que g + f est solution de (E1) Ceci équivaut aux lignes suivantes : 2(g + f)’ + 3(g + f) = x² + 1
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Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles
f(x) >xet donc f(x) tend vers +∞lorsque xtend vers +∞ Ceci est absurde car lim +∞ f = inf R f (puisque f est décroissante) On raisonne de même si g(x) est négative Exercice 13 : Montrer que les applications continues de R dans Z sont les fonctionsconstantes Correction :Par l’absurde, si f n’est pas constante, alors il existe a
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Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
f x f a x a − − → ( ) ( ) lim est un nombre fini Exemple Montrer que la fonction f(x) = x² x est dérivable en 0 § On commence par calculer 0 ( ) (0) − − x f x f puis on étudie sa limite en 0 : x x x x x x f x f = = − − ² 0 ( ) (0) et lim 0 0 = → x x x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : Taille du fichier : 47KB
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Applications linéaires
Soit Eun espace vectoriel et f∈ L(E) tel que pour tout x∈ E, la famille (x,f(x)) est liée 1) Montrer que si x6= 0, il existe un unique scalaire λ x tel que f(x) = λ xx 2) Comparer λ x et λ y lorsque (x,y) est libre 3) Montrer que fest une homothétie Exercice 4 Applications R-linéaires sur C On considère que C est un R-espace vectoriel 1) Donner une base de C
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FONCTIONS COSINUS ET SINUS
3) Pour tout x de , on a f'(x)=−2sin(2x) Si x∈0; π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥, alors 2x∈⎡⎣0;π⎤⎦ et donc sin(2x)≥0 Donc si x∈0; π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥, alors f'(x)≤0 Ainsi f est décroissante sur 0; π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ x 0 π 2 f'(x) 0 -
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Devoir surveille - Derivabilite et analyse asymptotique 2
x x +shx sur R∗ a) Montrer que f est prolongeable en une fonction de classe C1 à Rtout entier b) Étudier localement f au voisinage de 0 (position relative du graphe de f par rapport à sa tangente au voisinage de 0) 3) Déterminer un équivalent simple de : † n 2 ‹ Arctan † ln(n+1) p n − lnn p +1 ‹ lorsque n tend vers +∞ ————————————– 2 1) L
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Exercice 1 - mathuniv-toulousefr
Montrer que l'application E : C([ ; ]) 7R f7 Z f(x)dx Xl k=0 kf(x k) est une forme linéaire E( f+g) = Z ( f(x)+g(x))dx Xl k=0 k( f(x k)+g(x k)) = Z f(x)dx+ Z g(x)dx Xl k=0 kf(x k)+ Xl k=0 kg(x k) = Z b a f(x)dx Xl k=0 kf(x k) + Z b a g(x)dx 1 k=0 kg(x k) = E(f)+E(g): 1 Exercice 2 Montrer que les i si-dessus ne dépendent pas de l'intervalle [a;b] On utilise le changement de ariablev
Montrer que le polynôme x3 + 2x − 1 a une unique racine qui appartient à l' intervalle ]0, 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x − 1 La fonction f est continue dérivable
TD corrige
Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪G = G) et Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n −1 2 Soit k un entier
ficall
Montrer que √ 2 ∈ Q, 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication Τ Correction Τ
fic
(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
selcor
Exercice 9 Soit a, b, c, d positifs tels que abcd = 1 Montrer que a2+b2+c2+d2+ab +cd+bc+ad+ac+bd ⩾ 10 Trouver les cas d
Inegalites Theo
Montrer que est majoré et minoré 2 En déduire que possède une borne supérieure et une borne inférieure Allez à : Correction exercice 3 : Exercice
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges bornes superieures et inferieures
Exercice 4 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : Exercice 6 Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E :
td
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires On sait que (d1 ) // (d2 )
COMMENT DEMONTRER
Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 + 2k)+1) donc n2 + n est pair Donc, pour tout n ∈ N, n2 + n
corrige c LG
Montrer que P(lim inf An) ≤ lim inf n→+∞ P(An) ≤ lim sup n→+∞ P(An) ≤ P( lim supAn) Exercice 4 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires réelles
M exos
f x x x. 1) Donner l?ensemble de définition de la fonction f . f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est de classe 1.
f x x x. = . 1°) Déterminer '( ). f x pour 5°) Donner le tableau de variations de f et montrer que f admet un extremum ... f x et montrer que "( ).
Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Méthode 1 : Montrer qu'une variable à densité possède une variance et la calculer.
Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit
Montrer à partir de la définition donnée en cours
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R 2.a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p
f x x x. = + ?. On note 'f la fonction dérivée de f sur 0;? f x. = . a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur.
Continuons apr fxx dans chacun des six cas où l'on dérive les expressions que l'on vient 2) Démontrer que si les fonctions g(x) et h(y) sont concaves
sin 4. f x x. = . 1 Étudier la parité de f puis montrer que f est périodique de période. 2 ? .
Soient fet gdeux fonctions d´e?nies et continues sur R Montrer que (x? Q ?f(x) = g(x)) ? f= g Corrig´e On va utiliser que Q est dense dans R (voir d´emonstration plus loin) et que f et gsont continues sur R Soit x? R il existe une suite (x n) ? Q telle que x n? x Par continuit´e de fet gon a lim n?+? f(x n) = f(x) et lim
m} une famille de vecteurs de E Montrer que F:= vect{x 1 x m} est un sous-espace vectoriel de E Exercice 4 Soient (E+·) un R-espace vectoriel F un sous-espace vectoriel de E et AB deux sous-ensembles de E (1) Montrer que si A? B alors vectA? vectB (2) Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si vectA= A
Soit f: R? Rl’application d´e?nie par la formule f(x) = x3 Alors pour l’application g = f f on a g(x) = (x3)3 = x27 Exercice Calculer f g ou` fg: R? + ? R?+ sont les applications suivantes: 1) f(x) = x g(x) = 1 x; 2) f(x) = 1 x g(x) = 1 x; 3) f(x) = 1 x g(x) = 1 x2 February 18 2013 13 / 47
Si ABsont deux sev de E montrer que : f(A) ?f(B) ?A+ Kerf?B+ Kerf Exercice 25[Espace engendré et image] Soient EFdeux espaces vectoriels f?L(EF) et A?E Montrer que : f(vect(A)) = vect(f(A)) Exercice 26[Image et noyau d'une composée] Soient EFGtrois espaces vectoriels f?L(EF) et g?L(FG) Montrer que : 1 Ker(g f) = f
Quelle est la différence entre F et X ?
Nous ne devons pas confondre f et f ( x ). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f ( x) est égal au réel x ²-1 qui est associé à x. Soit f une fonction de D dans . Soit x un réel.
Qu'est-ce que l'exprimer en fonction de X?
Exprimer en fonction de X. Exprimer en fonction de X, c’est donner une. expression qui va dépendre de notre. inconnue X. Exemple : Une carte d’abonnement pour le cinéma.
Comment déterminer l'expression de f (x) ?
Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? j'ai un exercice à faire mais le problème c'est que je bloque sur la question : déterminer l'expression de f (x) = |x| sur [0;+ [. Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? quand un nombre est négatif, il devient positif, et quand il est positif, c'est la même chose.
Qu'est-ce que la fonction f x ?
La fonction f ( x ) décrit la réponse électrique de la résistance non linéaire, et sa forme dépend de la configuration particulière de ses composants. Les paramètres et sont déterminés par les valeurs particulières des composants du circuit.
FONCTIONS DE CLASSE C1