FONCTIONS DE CLASSE C1
f x x x. 1) Donner l?ensemble de définition de la fonction f . f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est de classe 1.
169 TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS2
f x x x. = . 1°) Déterminer '( ). f x pour 5°) Donner le tableau de variations de f et montrer que f admet un extremum ... f x et montrer que "( ).
Chapitre 8 - Variables aléatoires à densité
Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Méthode 1 : Montrer qu'une variable à densité possède une variance et la calculer.
Corrigé du TD no 11
Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit
Corrigé du TD no 9
Montrer à partir de la définition donnée en cours
Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento
Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R 2.a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p
( ) 2 2 ln ( ) ( )
f x x x. = + ?. On note 'f la fonction dérivée de f sur 0;? f x. = . a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur.
1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux
Continuons apr fxx dans chacun des six cas où l'on dérive les expressions que l'on vient 2) Démontrer que si les fonctions g(x) et h(y) sont concaves
Étudier une fonction trigonométrique
sin 4. f x x. = . 1 Étudier la parité de f puis montrer que f est périodique de période. 2 ? .
Fonction numérique : définition et explications - Techno-Sciencenet
Soient fet gdeux fonctions d´e?nies et continues sur R Montrer que (x? Q ?f(x) = g(x)) ? f= g Corrig´e On va utiliser que Q est dense dans R (voir d´emonstration plus loin) et que f et gsont continues sur R Soit x? R il existe une suite (x n) ? Q telle que x n? x Par continuit´e de fet gon a lim n?+? f(x n) = f(x) et lim
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 - univ-toulousefr
m} une famille de vecteurs de E Montrer que F:= vect{x 1 x m} est un sous-espace vectoriel de E Exercice 4 Soient (E+·) un R-espace vectoriel F un sous-espace vectoriel de E et AB deux sous-ensembles de E (1) Montrer que si A? B alors vectA? vectB (2) Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si vectA= A
Chapitre 1 Ensembles et applications - Nantes Université
Soit f: R? Rl’application d´e?nie par la formule f(x) = x3 Alors pour l’application g = f f on a g(x) = (x3)3 = x27 Exercice Calculer f g ou` fg: R? + ? R?+ sont les applications suivantes: 1) f(x) = x g(x) = 1 x; 2) f(x) = 1 x g(x) = 1 x; 3) f(x) = 1 x g(x) = 1 x2 February 18 2013 13 / 47
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Si ABsont deux sev de E montrer que : f(A) ?f(B) ?A+ Kerf?B+ Kerf Exercice 25[Espace engendré et image] Soient EFdeux espaces vectoriels f?L(EF) et A?E Montrer que : f(vect(A)) = vect(f(A)) Exercice 26[Image et noyau d'une composée] Soient EFGtrois espaces vectoriels f?L(EF) et g?L(FG) Montrer que : 1 Ker(g f) = f
Quelle est la différence entre F et X ?
Nous ne devons pas confondre f et f ( x ). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f ( x) est égal au réel x ²-1 qui est associé à x. Soit f une fonction de D dans . Soit x un réel.
Qu'est-ce que l'exprimer en fonction de X?
Exprimer en fonction de X. Exprimer en fonction de X, c’est donner une. expression qui va dépendre de notre. inconnue X. Exemple : Une carte d’abonnement pour le cinéma.
Comment déterminer l'expression de f (x) ?
Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? j'ai un exercice à faire mais le problème c'est que je bloque sur la question : déterminer l'expression de f (x) = |x| sur [0;+ [. Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? quand un nombre est négatif, il devient positif, et quand il est positif, c'est la même chose.
Qu'est-ce que la fonction f x ?
La fonction f ( x ) décrit la réponse électrique de la résistance non linéaire, et sa forme dépend de la configuration particulière de ses composants. Les paramètres et sont déterminés par les valeurs particulières des composants du circuit.
PanaMaths [ 1 - 7 ] Juin 2010
Liban - Juin 2010 - Série S - Exercice
Partie A
Soit u la fonction définie sur
0; f par : 22lnux x x
1. Etudier les variations de u sur
0; f et préciser ses limites en 0 et en2. a. Montrer que l'équation
0ux admet une solution unique sur
0;On notera
cette solution. b. A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 210de .
3. Déterminer le signe de
ux suivant les valeurs de x.4. Montrer l'égalité :
2 ln 2.Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur 0; f par : 2 22lnfxx x
On note
'f la fonction dérivée de f sur 0; f.1. Exprimer, pour tout x de
0; f, 'fx en fonction de ux.2. En déduire les variations de f sur
0; f.Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ;,Oi j , on note : la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;A le point de coordonnées
0;2 ;M le point de
d'abscisse x appartenant à 0;PanaMaths [ 2 - 7 ] Juin 2010
1. Montrer que la distance AM est donnée par
AMfx.2. Soit g la fonction définie sur
0; f par gx fx. a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur 0; b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de , notéP, dont on précisera les coordonnées.
c. Montrer que 2 1AP.3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.La droite
AP est-elle perpendiculaire à la tangente à en P ?PanaMaths [ 3 - 7 ] Juin 2010
Analyse
Une étude de fonctions assez complète visant finalement à résoudre un problème d'optimisation : minimiser la distance d'une point (le point A) à une courbe (ici la courbereprésentative du logarithme népérien) avec, petite cerise sur le gâteau, un résultat (général) :
au point de la courbe obtenu, la tangente et la droite passant par ce point et A sont perpendiculaires.Résolution
Partie A
Question 1.
La fonction carrée
2 xx est strictement croissante sur 0;. Il en va donc de même pour la fonction polynôme 2 2xx. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;.La fonction u est donc strictement croissante sur
0; comme somme de deux fonctions
strictement croissantes sur cet intervalle.La fonction
2 :2lnux x x est strictement croissante sur 0;.Remarque : on aurait également pu calculer
212 1': 2xux x
xx et montrer alors que la dérivée de u est strictement positive sur 0;. Si cette méthode (étude du signe de ladérivée) est générale et souvent choisie (ou suggérée) par les élèves, il convient de ne pas
oublier d'autres résultats généraux permettant de conclure !On a facilement :
2 00 lim 2 0 2 2 xx x et 00 limln xx x f.D'où (somme) :
00 lim xx uxOn a également :
22lim 2 lim xx xx et lim ln x x f.
D'où (somme) :
lim x ux 00 lim xx ux f et lim x ux f.PanaMaths [ 4 - 7 ] Juin 2010
Question 2.a.
La fonction
22xx est continue sur
0; en tant que fonction polynôme.
La fonction logarithme népérien est continue sur 0;.La fonction u est donc continue sur
0; comme somme de deux fonctions continues sur
cet intervalle. Par ailleurs, d'après la question précédente :La fonction u est strictement croissante sur
0; ; 00 lim xx ux et lim x ux f. Le théorème des valeurs intermédiaire nous permet alors de conclure que l'équation 0ux admet une solution unique sur 0;.L'équation
0ux admet une solution unique, , sur
0;.Question 2.b.
On a facilement :
2112ln1120 10u et
22 2 2ln242ln22ln20u
On en tire :
12. En tabulant alors u avec la calculatrice avec un pas de 0,1 on obtient :1,3 0,04764 0u et 1,4 0,29647 0u
On en tire :
1,3 1, 4.
En tabulant alors u avec la calculatrice avec un pas de 0,01 on obtient :1,31 0,01387 0u et 1,32 0,0200 0u
On en tire : 1,31 1,32
1,31 1,32
Question 3.
En tenant compte de la croissance stricte de u sur0;, on a :
0xuxuux
PanaMaths [ 5 - 7 ] Juin 2010
On en conclut immédiatement :
0ux pour tout réel x strictement inférieur à ;
0u ;0ux pour tout réel x strictement supérieur à .
Question 4.
On a :
2202ln0ln2u
2 ln 2Partie B
Question 1.
Pour tout x réel de
0;, on a :
212ln2ln'22 2ln2 2 2uxxx xfx x x x
xxxxPour tout x réel de
0; : '2uxfx xQuestion 2.
Comme x est strictement positif sur
0;, le signe de 'fx, est d'après la question
précédente, celui de ux. D'après la question 3. de la partie A il vient alors :Si x appartient à
;, f est strictement décroissante ;Si x appartient à
;, f est strictement croissante.Partie C
Question 1.
Le point M admet pour coordonnées
;lnxx et on en tire : ;ln 2AM x xPanaMaths [ 6 - 7 ] Juin 2010
Le repère considéré étant orthonormé, on a :22222 2
ln 2 2 lnAMAMx x x xfxFinalement :
AMfxQuestion 2.a.
La fonction g est la composée de la fonction f et de la fonction racine carrée. Cette dernière
étant strictement croissante sur
, on en déduit immédiatement que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur 0;. Les fonctions f et g ont les mêmes variations sur 0;.Question 2.b.
D'après la question 2 de la partie B, la fonction f admet un minimum global unique en sur0;. D'après la question précédente, il en ira de même pour la fonction g.
Graphiquement, cette valeur minimum est atteinte au point de , noté P, d'abscisse . Son ordonnée vaut : ln. D'après la question 4 de la partie A, on a : 2 ln 2 . En définitive :La distance AM est minimale pour le point
2 ;2P.Question 2.c.
Comme on a
2 ;2P, il vient : 2 ;AP et, en tenant compte de 0 :222 2422 2
11AP AP
2 1APQuestion 3.
La dérivée de la fonction logarithme népérien étant la fonction inverse, la tangente à au
point 2 ;2P admet pour vecteur directeur : 11;vPanaMaths [ 7 - 7 ] Juin 2010
Le repère considéré étant orthonormal, on a alors immédiatement : 21.1 0APv
On en déduit ainsi que les vecteurs AP
et v sont orthogonaux et, finalement, que :La droite
AP est perpendiculaire à la tangente à en P.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] représentation graphique fonction en ligne
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