[PDF] 169 TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS2





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FONCTIONS DE CLASSE C1

f x x x. 1) Donner l?ensemble de définition de la fonction f . f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est de classe 1.



169 TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS2

f x x x. = . 1°) Déterminer '( ). f x pour 5°) Donner le tableau de variations de f et montrer que f admet un extremum ... f x et montrer que "( ).



Chapitre 8 - Variables aléatoires à densité

Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Méthode 1 : Montrer qu'une variable à densité possède une variance et la calculer.



Corrigé du TD no 11

Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit 



Corrigé du TD no 9

Montrer à partir de la définition donnée en cours



Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf



Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R 2.a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p



( ) 2 2 ln ( ) ( )

f x x x. = + ?. On note 'f la fonction dérivée de f sur 0;? f x. = . a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur.



1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux

Continuons apr fxx dans chacun des six cas où l'on dérive les expressions que l'on vient 2) Démontrer que si les fonctions g(x) et h(y) sont concaves



Étudier une fonction trigonométrique

sin 4. f x x. = . 1 Étudier la parité de f puis montrer que f est périodique de période. 2 ? .





Fonction numérique : définition et explications - Techno-Sciencenet

Soient fet gdeux fonctions d´e?nies et continues sur R Montrer que (x? Q ?f(x) = g(x)) ? f= g Corrig´e On va utiliser que Q est dense dans R (voir d´emonstration plus loin) et que f et gsont continues sur R Soit x? R il existe une suite (x n) ? Q telle que x n? x Par continuit´e de fet gon a lim n?+? f(x n) = f(x) et lim



Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 - univ-toulousefr

m} une famille de vecteurs de E Montrer que F:= vect{x 1 x m} est un sous-espace vectoriel de E Exercice 4 Soient (E+·) un R-espace vectoriel F un sous-espace vectoriel de E et AB deux sous-ensembles de E (1) Montrer que si A? B alors vectA? vectB (2) Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si vectA= A



Chapitre 1 Ensembles et applications - Nantes Université

Soit f: R? Rl’application d´e?nie par la formule f(x) = x3 Alors pour l’application g = f f on a g(x) = (x3)3 = x27 Exercice Calculer f g ou` fg: R? + ? R?+ sont les applications suivantes: 1) f(x) = x g(x) = 1 x; 2) f(x) = 1 x g(x) = 1 x; 3) f(x) = 1 x g(x) = 1 x2 February 18 2013 13 / 47



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Si ABsont deux sev de E montrer que : f(A) ?f(B) ?A+ Kerf?B+ Kerf Exercice 25[Espace engendré et image] Soient EFdeux espaces vectoriels f?L(EF) et A?E Montrer que : f(vect(A)) = vect(f(A)) Exercice 26[Image et noyau d'une composée] Soient EFGtrois espaces vectoriels f?L(EF) et g?L(FG) Montrer que : 1 Ker(g f) = f

Quelle est la différence entre F et X ?

Nous ne devons pas confondre f et f ( x ). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f ( x) est égal au réel x ²-1 qui est associé à x. Soit f une fonction de D dans . Soit x un réel.

Qu'est-ce que l'exprimer en fonction de X?

Exprimer en fonction de X. Exprimer en fonction de X, c’est donner une. expression qui va dépendre de notre. inconnue X. Exemple : Une carte d’abonnement pour le cinéma.

Comment déterminer l'expression de f (x) ?

Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? j'ai un exercice à faire mais le problème c'est que je bloque sur la question : déterminer l'expression de f (x) = |x| sur [0;+ [. Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? quand un nombre est négatif, il devient positif, et quand il est positif, c'est la même chose.

Qu'est-ce que la fonction f x ?

La fonction f ( x ) décrit la réponse électrique de la résistance non linéaire, et sa forme dépend de la configuration particulière de ses composants. Les paramètres et sont déterminés par les valeurs particulières des composants du circuit.

P a g e | 169

TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS2

Exercice1

Après avoir précisé le ( ou les ) intervalles où la fonction est dérivable , calculer les dérivées premières des

fonctionsfdéfinies par :

a. 1. 2( ) arccos 1 f x x ; 2. ( ) arcsin 2 1f x x ; 3. 1( ) arctan f xx

b. 1.2( ) arcsin 1f x x x x ; 2.2( ) 1 arcsinf x x x x 3. ( ) sin arctanf x x c. 1. ( ) arctan(2 )f x x ; 2. 2( ) arctan1 xf xx ; 3 . 1( ) arctan1 xf xx d. . 1. 2

2( ) arctan1

xf xx ; 2. 2( ) arctan1 xf x xx ; 3. 2 2

1( ) arccos1

xf xx e. Calculer, sur des ensembles de définition à préciser , '( )f x , '( )g x , '( )h x

( ) arcsin( ) arcsin( )f x x x ; ( ) arccos( ) arccos( )g x x x et ( ) arctan( ) arctan( )h x x x

f. En déduire : (a) 1;1x : arcsin( ) arcsin( )x x ; (b) 1;1x : arccos( ) arccos( )x x ; (c) Rx: arctan( ) arctan( )x x .

Primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes : 1. 2 1( ) 1 4 f x x sur ] 1/2;1/2[ ; 2. 2

1( )4 1f xx sur R 3. 2 2

1( )1f xa x sur R.

4. 2

1( )1 /4f xx sur R ; 5 . 2

1( ) 1 /2 f x x sur ] 2 ; 2[

Exercice 2

On pose pour tout x appartenant à 1;1: ( ) arcsin( ) arccos( )f x x x

1. Calculer'( )f x . Déduire en calculons(0)f,que pour tout x appartenant à [1; 1] : arcsin( ) arccos( )2x x

2. On considère pour tout réel 0x on pose 1( ) arctan arctanf x xx

Calculer '( )f x . Déduire en calculons(0)f,que pour toutxR : 1arctan arctan2xx

3. Montrer que pour tout x de [1; 1] on a les relations 2cos(arcsin ) 1x x et 2sin(arccos ) 1x x .

4. Montrer que pour tout x de [1; 1] on a les relations2sin(arctan )

1 xx x et 2

1cos(arctan )

1 x x

2tan(arcsin )1

xxx et ] 1;1[x et

21tan(arccos )xxx

pour [ 1;1]\{0}x .

Exercice 3

On considère la fonctionfdéfinie sur 1;1 par : ( ) arccosf x x x.

1°) Déterminer '( )f xpour 1;1x .

2°) Si "fdésigne la dérivée seconde de f sur 1;1, montrer que :

2 2 2 2"( ) 1 1 xf x x x

3°) Etudier le signe de "( )f x et en déduire le tableau de variations de'f .

P a g e | 170

4°) Montrer que'( ) 0f xadmet une unique valeur sur 0;1. On donnera de une valeur approchée

5°) Donner le tableau de variations de f , et montrer que f admet un extremum égal à

2 21

Exercice 4

Soitfla fonction définie sur [ 1;1]par ( ) (2 1)arcsinf x x x

1. Calculer '( )f x pour [ 1;1]x .

2. Calculer ''( )f x et montrer que "( )f xest de signe de 22 4x x .

3. Etudier le signe de "( )f x pour [ 1;1]x , puis établir le tableau de variation de 'f.

4. En déduire qu'il existe une unique valeur tel que'( ) 0f. Donner une valeur approchée de .

5. Donner le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe dans un repère ( unité graphique 5cmsur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des

ordonnées )

Exercice 5

1. Soit la fonction définie sur 0; par ( ) 2 tanw arc w .

a. Étudier les variations de . Déterminer les limites de en 0 et en . b. Dresser le tableau de variation de .

2. Soit la fonction définie sur]0; [ par : ( ) 3arctan2 2

a. On note ' la dérivée de la fonction .Calculer '( ) . Déterminer le signe de '( ) sur l'intervalle ]0; [. b. Déterminer les limites de la fonction en 0 et en .

3. Soit la fonction définie sur]0; [ par ( ) 2arctan(20 )2

Étudier les variations de la fonction ( ) ) pour ]0; [ ( On précisera les limites lorsque tend vers 0 par valeurs positives et1orsque tend vers + ).

Exercice 6

On considère la fonction f définie sur]0; [par 1( ) arctan( ) 1f x xx

1/ Montrer que ( ) ( ) 2f x f x . et en déduire une symétrie pour la courbe représentative de f .

2/ Calculer la dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f .

3/ En déduire le nombre de solutions de l'équation :( ) 0f xet donner une valeur approchée des solutions.

Exercice 7

Soitfla fonction numérique de la variable réelle x définie par 2( ) arctan1 xf xx

1. Donner le domaine de définition def.

2. Montrer quefest une fonction impaire .En déduire le domaine d'étude def.

3. Etudier le limites deflorsque x tend vers 1.

Donner les coordonnées des points d'arrêt de la courbeCde la fonctionf.

4. Etudier la limite deflorsque x tend vers . Que peut-on en déduire pour la courbe C?

5. Calculer'( )f xet dresser le tableau de variation de f.

6. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe au point d'abscisse 0.

7. Dans un repère orthonormal ( unité graphique 2 cm) , construire ( T) et C.

Exercice 8

0

P a g e | 171

On admet que rctan rctan tan1

a bA a A b Arc nab . Avec * si 1 0ab n ; * 1, 0, 0 1si ab a b n * 1, 0, 0 1si ab a b n .

Calculer 1 1rctan rctan2 3A A.

Corrigé

Exercice 1 :

'2

2 2 4 2 22

2 2 2 2'( ) arccos 1

2 2 21 1

x x xf x x x x x x xx 2 2 2

2 2 1'( ) arcsin 2 1

4 41 2 1

f x x x x x xx '2 2 2

1 1'( ) arctan111

xf xxx x '2 2 2

2'( ) arcsin 1 arcsin arcsin

1 2 1 x xf x x x x x x x x '2

2 2'( ) 1 arcsin arcsin 1 1 arcsin

1 1 x xf x x x x x x x x 2 2

2 2'( ) arctan(2 )1 41 2f x xxx .

2 2 22'2
2 2 2 2 1 2

11'( ) arctan1 111

x x xx xf xx xx x '2 2 2 2 2

1 2 1( 1)'( ) arctan12 2 1111

xxf xxx xx x 2 2

22 2'2 2

2 2 2 4 2 2 2 4 22 2

2 2 1 4

1 2 12 2 2 2 2 2'( ) arctan1 1 2 4 1 2 121 411

x x x xx x xf xx x x x x x xxx x x '2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 1 1 1 1 2'( ) arctan1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )1 1

x x x x x xf x xx x x x x xx x 2 2

2 2'2 22

2 22 22

222

2 (1 ) 2 (1 ) 4

1 11 2' ) arccos1 141111

x x x x x x xxf xx xxx xx

Exercice 3

1.2'( ) arccos

1 xf x x x , pour ] 1;1[x , f n'est pas dérivable en -1 et en 1 .

P a g e | 172

2. 2

22 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

21

2 11 1 2(1 ) 2 1 (1 )"( )11 1 2(1 ) 1 1 (1 ) 1

1 1 (1 ) 1 2"( )

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1

xx x xx x x xf xxx x x x x x x x xf x x x x x x x x

3. 22x est toujours négatif pour] 1;1[x et donc "( ) 0f x.

4. f ' est continue strictement décroissante sur ] 1;1[ .

1 1 1 1 1 1 1 2 3' arccos 0,472 2 2 3 2 3 2 3 31 3 314 4

f

1 1 1 1' 0,8 arccos 0,8 arccos 0,8 0,692 2 0,60,36f , donc '( ) 0f x admet une solution unique

sur ] 1;1[.0,5 0,8 , comme f ' est continue strictement décroissante l'équation '( ) 0f xne peut

pas avoir de solution pour 0,5xou pour 0,8x. '( )f x s'annule donc pour une valeur unique sur ]0;1[. De plus (0,6) 0,18 0f et (0,7) 0,18 0f donc [0,6;0,7].on peut choisir 0,65. D'où le signe de '( )f x, puisque '( )f xest strictement décroissante '( ) 0f xsur ] 1; [ et '( ) 0f xsur ] ;1[.

5. Le maximum correspond à ( )f, or ( ) arccosf

et 2'( ) arccos 1 f , mais '( ) 0f

Donc 2arccos

1 et 2 2( ) 1 f

Exercice 4

2 (2 1)'( ) 2arcsin 1 xf x x x x 1 1 "( )f x '( )f x + 0 ( )f x 2 21
0 (Cf ) ( Cf ' ) -101 1 x y

Mf( )

P a g e | 173

2 2 2 2 2

22 2 22

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 (2 1)/2 1 2(1 ) 2(1 ) 2''( )

1 (1 ) 11

2 2 2 2 2 2 4''( )

(1 ) 1 (1 ) 1 x x x x x x x xf x x x xx x x x x x xf x x x x x Pour] 1;1[x .2 2(1 ) 1 0x x , donc le signe de ''( )f xdépend du signe de 22 4x x Calculons ² 4 ( 1)² 4 ( 2) 4 1 32 33 0b ac , donc il ya deux racines distinctes :

11 33 1 331,682 4 4

bxa et 21 33 1 331,192 4 4 bxa x 1x 1 1 2x

22 4x x 0 + + + 0

''( )f x 0 + + 0

Variations

de'f

4. la fonction 'fest strictement croissante sur l'intervalle ] 1;1[ et 11

lim '( )xx f x ; 11 lim '( )xx f x

2 21 1 1 11 1 1 1

(2 1) (2 1)lim '( ) lim 2arcsin lim 2arcsin lim

1 1x x x xx x x x

x xf x x x x x 11 lim 2arcsin 2 /2 xx x et 2 21 1 11 1 1 (2 1) 1lim lim 2 1 lim 3 ( )

1 1x x xx x x

xx x x

2 21 1 1 11 1 1 1

(2 1) (2 1)lim '( ) lim 2arcsin lim 2arcsin lim

1 1x x x xx x x x

x xf x x x x x 11 lim 2arcsin 2 /2 xx x et 2 21 1 111 1 1 (2 1) 1lim lim 2 1 lim 1 ( )

1 1x x xx x x

xx x x Donc il existe un réel unique ] 1;1[ tel que '( ) 0f.

4(0,2527) 0,7 10f et 4(0,2528) 1,5 10f donc 0,2528par excès .

5. x 1 1

Signe de'( )f x 0 +

Variations def

3 /2 /2

0,1264m

P a g e | 174

( ) 0,1264m f

Exercice 6

Comme 1 1( ) ( ) arctan( ) 1 arctan( ) 1 arctan( ) arctan( ) 2 2f x f x x x x xx x

On en déduit que , pour tout réel x , non nul , les points ( , ( )) ( ; ( ))M x f x et N x f x sont symétriques

Par rapport à (0;1)I.( puisque ( ) ( ) 2f a x f a x b avec ( ; )I a bcentre de symétrie ). 2 2 2 2

1 1 2 1'( )1

xf xx x x , qui est positive . lim ( ) 12xf x ( puisque lim arctan2xx et 1lim 0xx )

0lim ( )xf x ( puisque 0lim arctan 0xx et 0

1limxx )

3. f est strictement croissante sur ]0; [, elle définit une bijection de ]0; [sur ] ; 1[2

, comme 1 02 , 0 ] ; 1[2 et l'équation ( ) 0f x admet une solution unique sur ]0; [. De plus (0,6) 0,13 0f et (0,65) 0,04 0f donc 0,625.

En raison de symétrie par rapport à I ; comme f est continue , strictement croissante sur ] ;0[sur

] 1; [2 ; 1 02 et 0 ] 1; [2 et l'équation ( ) 0f x admet une solution unique sur ] ;0[. De plus ( 3,45) 0,001 0f et ( 3,5) 0,007 0f donc 3,5 . l'équation ( ) 0f x admet deux solutions et.

Exercice 7

Soitfla fonction numérique de la variable réelle x définie par 2( ) arctan1 xf xx

1. arctanu u est définie sur R si u est définie sur , or 21

x xest définie pour tout réel x tel que

21 0x , c'est-à-dire 1;1-xR \ , donc par composition on a :] ; 1[ ] 1;1[ ]1; [f D.

2.

2 2 2( ) arctan arctan arctan ( )1 11

x x xf x f xx xx , donc fest une fonction impaire et par conséquent la courbe est symétrique par rapport à O. -1 2 3 4 5 01 1 x y x 0 '( )f x + 0 + ( )f x 12

P a g e | 175

on peut donc étudier la fonction sur l'intervalle [0;1[ ]1; [ et compléter la courbe par symétrie par

rapport à O.

3. 2

1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 2 1 1 0 x x x x x x x , donc 21 1 lim1x x x x , et

21 11 1

lim ( ) limarctan /21x xx x xf xx 2 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 2 1 1 0 x x x x x x x , donc 21 1 lim1x x x x et

21 11 1

lim ( ) limarctan /21x xx x xf xxquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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