[PDF] Corrigé du TD no 9 Montrer à partir de la dé





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FONCTIONS DE CLASSE C1

f x x x. 1) Donner l?ensemble de définition de la fonction f . f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est de classe 1.



169 TP MATHEMATIQUES FONCTIONS REELLES BTS2

f x x x. = . 1°) Déterminer '( ). f x pour 5°) Donner le tableau de variations de f et montrer que f admet un extremum ... f x et montrer que "( ).



Chapitre 8 - Variables aléatoires à densité

Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Méthode 1 : Montrer qu'une variable à densité possède une variance et la calculer.



Corrigé du TD no 11

Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit 



Corrigé du TD no 9

Montrer à partir de la définition donnée en cours



Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf



Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R 2.a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p



( ) 2 2 ln ( ) ( )

f x x x. = + ?. On note 'f la fonction dérivée de f sur 0;? f x. = . a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur.



1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux

Continuons apr fxx dans chacun des six cas où l'on dérive les expressions que l'on vient 2) Démontrer que si les fonctions g(x) et h(y) sont concaves



Étudier une fonction trigonométrique

sin 4. f x x. = . 1 Étudier la parité de f puis montrer que f est périodique de période. 2 ? .





Fonction numérique : définition et explications - Techno-Sciencenet

Soient fet gdeux fonctions d´e?nies et continues sur R Montrer que (x? Q ?f(x) = g(x)) ? f= g Corrig´e On va utiliser que Q est dense dans R (voir d´emonstration plus loin) et que f et gsont continues sur R Soit x? R il existe une suite (x n) ? Q telle que x n? x Par continuit´e de fet gon a lim n?+? f(x n) = f(x) et lim



Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 - univ-toulousefr

m} une famille de vecteurs de E Montrer que F:= vect{x 1 x m} est un sous-espace vectoriel de E Exercice 4 Soient (E+·) un R-espace vectoriel F un sous-espace vectoriel de E et AB deux sous-ensembles de E (1) Montrer que si A? B alors vectA? vectB (2) Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si vectA= A



Chapitre 1 Ensembles et applications - Nantes Université

Soit f: R? Rl’application d´e?nie par la formule f(x) = x3 Alors pour l’application g = f f on a g(x) = (x3)3 = x27 Exercice Calculer f g ou` fg: R? + ? R?+ sont les applications suivantes: 1) f(x) = x g(x) = 1 x; 2) f(x) = 1 x g(x) = 1 x; 3) f(x) = 1 x g(x) = 1 x2 February 18 2013 13 / 47



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Si ABsont deux sev de E montrer que : f(A) ?f(B) ?A+ Kerf?B+ Kerf Exercice 25[Espace engendré et image] Soient EFdeux espaces vectoriels f?L(EF) et A?E Montrer que : f(vect(A)) = vect(f(A)) Exercice 26[Image et noyau d'une composée] Soient EFGtrois espaces vectoriels f?L(EF) et g?L(FG) Montrer que : 1 Ker(g f) = f

Quelle est la différence entre F et X ?

Nous ne devons pas confondre f et f ( x ). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f ( x) est égal au réel x ²-1 qui est associé à x. Soit f une fonction de D dans . Soit x un réel.

Qu'est-ce que l'exprimer en fonction de X?

Exprimer en fonction de X. Exprimer en fonction de X, c’est donner une. expression qui va dépendre de notre. inconnue X. Exemple : Une carte d’abonnement pour le cinéma.

Comment déterminer l'expression de f (x) ?

Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? j'ai un exercice à faire mais le problème c'est que je bloque sur la question : déterminer l'expression de f (x) = |x| sur [0;+ [. Que Veut dire déterminer l'expression de f (x) ? quand un nombre est négatif, il devient positif, et quand il est positif, c'est la même chose.

Qu'est-ce que la fonction f x ?

La fonction f ( x ) décrit la réponse électrique de la résistance non linéaire, et sa forme dépend de la configuration particulière de ses composants. Les paramètres et sont déterminés par les valeurs particulières des composants du circuit.

Corrigé du TD no 9

CPP - 2013/2014 Fonctions réelles

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o9Exercice 1

1. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :

lim x→0x2= 0

Corrigé :D"après la définition, l"énoncé "limx→0x2= 0» se traduit de la façon suivante :

On souhaite montrer que cet énoncé est vrai, c"est-à-dire que, étant donné un réelε >0, il existe

de prendreδ=⎷ε, d"où le résultat.

2. Même question pour :

lim x→1? 1 +1x = 2 Corrigé :Comme précédemment, l"énoncé se traduit de la façon suivante : 1 +1x

Pour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout? >0, il existeδ >0satisfaisant

l"implication pour tout réelx?R?. Autrement dit, il faut traduire la condition|1x |x-1|. Pour cela, on procède par équivalences successives. Tout d"abord : ????1x

Pour simplifier, on peut supposer que1-ε >0, c"est-à-dire queε?]0,1[. En effet, si l"on peut

rendre|1x -1|plus petit que toute quantitéε?]0,1[, alors on peut aussi le rendre plus petit que

toute quantitéε≥1. De façon plus générale, on peut se restreindre à des valeurs suffisamment

petites deεquand on manipule la définition de limite d"une fonction en un point. Revenons à nos

moutons : si l"on suppose que1-ε >0, alors

Donc, si l"on poseδ= min(ε1+ε,ε1-ε) =ε1+ε(la plus petite des deux quantités en valeur absolue),

1

Exercice 2

1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l"affirmation

lim x→0ln(1 +x) = 0 Corrigé :Par définition de la limite, l"affirmation se traduit par

2. Déterminer un réelδ >0tel que

surx. Nous avons

Soitδ= min(e10-3-1,1-e-10-3). Alorsδsatisfait bien la propriété voulue. Pour ceux qui sont

curieux de connaître la valeur exacte deδ, on peut faire le raisonnement suivant : l"analyse des

variations de la fonctiont?→et+e-tmontre que celle-ci atteint son minimum en0, donc ce minimum est égal à2. En particuliere10-3+e-10-3≥2. On en déduit queδ= 1-e-10-3.

Exercice 3

a) Nous avons, pour toutx?R, la majoration suivante ????xcos(ex)x 2+ 1? 2+ 1?

D"autre part

xx

2+ 1=1x+1x

donc cette quantité tend vers0quandxtend vers+∞. On en déduit que : lim x→+∞xcos(ex)x

2+ 1= 0.

b) Commesinxest borné,x-sinxtend vers+∞quandxtend vers+∞. On en déduit que lim x→+∞ex-sinx= +∞ c) Pourx >1, la partie entière de1x est nulle. Par conséquent pour toutx >1,x?1x = 0.

Donc la limite cherchée vaut0.

d) Nous avons : sin(xlnx)x =sin(xlnx)xlnxlnx Six→0, alorsxlnx→0. Donc par composition des limites on a : lim x→0sin(xlnx)xlnx= limy→0sinyy = 1

On en déduit que :

lim x→0sin(xlnx)x 2

Exercice 4

Soitf:R→Rla fonction définie par

f(x) =? ?xsix <1 x

8⎷xsix >4

1. L"allure du graphe defa été vue en TD!

2. On note d"abord quefest continue sur l"intervalle]-∞,1[, car elle est égale sur cet intervalle à la

fonctionx?→x. De même, la fonctionfest continue sur les intervalles]1,4[et]4,+∞[car elle est

égale à des fonctions continues sur chacun de ces intervalles. Il reste à étudier la continuité defen

1et en4. En1nous avons :

limx→1x<1f(x) = limx→1x<1x= 1 et limx→1x>1f(x) = limx→1x>1x 2= 1

donc les limites à droite et à gauche defen1sont égales àf(1), ce qui montre quefest continue

en1. On montre de même quefest continue en4. On en conclut quefest continue surR.

Exercice 5

1. La fonctionf:x?→x?x?n"est pas continue. En effet,f(x) = 0pour toutx?[0,1[, d"où :

lim x→1x<1f(x) = 0 et d"autre partf(1) = 1, donc la limite à gauche defen1n"est pas égale àf(1), ce qui montre quefn"est pas continue en1.

2. Nous allons montrer que la fonctiong:x?→ ?x?sin(πx)est continue surR. On note d"abord queg

est continue sur chacun des intervalles de la forme]n,n+ 1[avecn?Z. Il reste à montrer queg est continue en chaque entier relatif. Soitn?Z, alors lim x→nxng(x) =n·0 = 0

etg(n) =nsin(nπ) = 0. Doncga des limites à droite et à gauche ennqui sont égales àg(n), ce

qui montre quegest continue enn.

Exercice 6

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsinx.

1. Pour toutn?N, on posexn=π2

+ 2nπ. Alors la suite(xn)tend vers+∞, etsin(xn) = 1pour toutn, donc f(xn) =xnsin(xn) =xn doncf(xn)tend vers+∞.

2. Pour toutn?N, on poseyn= 2nπ. Alors la suite(yn)tend vers+∞, etsin(yn) = 0pour toutn,

donc f(yn) =ynsin(yn) = 0 doncf(yn)tend vers0.

3. Si la fonctionfavait une limite en+∞, alors (d"après le critère séquentiel) les suitesf(xn)etf(yn)

tendraient toutes les deux vers cette limite. Orf(xn)etf(yn)n"ont pas la même limite, doncfn"a pas de limite en+∞. 3

Exercice 7

On définit deux suites(un)n≥1et(vn)n≥1en posant : u n=12nπetvn=1π 2 + 2nπ. Ces deux suites tendent vers0quandntend vers+∞. De plus cos ?1u n? = cos(2nπ) = 1etcos?1v n? = cos?π2 + 2nπ? = 0

Par un raisonnement semblable à celui de l"exercice précédent, on en déduit que la fonctionx?→cos?1x

n"admet pas de limite en0.

Exercice 8

a) D"après le cours, la fonctionf1est prolongeable par continuité en0si et seulement si elle a une

limite finie en0. Or nous avons la majoration : Commesinxtend vers0quandxtend vers0, il en résulte quef1tend vers0en0. Donc on peut prolongerf1par continuité en0en posant :f1(0) = 0. b) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) = lnex+e-x2 Alorsgest dérivable surR, etg(0) = 0. La fonctionf2s"écrit f

2(x) =g(x)x

=g(x)-g(0)x On reconnaît le taux d"accroissement degentre0etx. Par conséquent,f2admet une limite finie en0, égale àg?(0). Calculons doncg?surR g ?(x) =? lnex+e-x2 =e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x Doncg?(0) = 0. Ainsi, en posantf2(0) = 0nous obtenons une fonctionf2continue surR. c) La fonctionf3est définie et continue surR\ {-1,1}. De plus, on calcule que : f

3(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)=-1(1 +x).

On en déduit quef3a pour limite-12

quandxtend vers1. Et donc en posantf3(1) =-12 nous obtenons une fonction continue surR\ {-1}. Par contre, en-1la fonctionf3ne peut pas

être prolongée par continuité, car elle n"admet pas une limite finie en ce point. Doncf3n"est pas

prolongeable par continuité surR.

Exercice 9

Soit f(x) =cosx1 +x2

1. Nous avons

????cosx1 +x2? car|cosx|est majoré par1et1 +x2est minoré par1. 4

2. Comme la fonctionfest majorée par1, on sait queSupx?Rf(x)est inférieur ou égal à1. D"autre

part on constate quef(0) = 1, donc1est à la fois un majorant et une valeur de la fonctionf. Par conséquent,Supx?Rf(x) = 1.

Exercice 10

Soitf:R→Rune fonction périodique de périodeT >0. On suppose quefadmet une limite finie (que

nous noterons?) quandxtend vers+∞. Nous allons montrer quefest constante. Soitx0?R, alors la suitex0+nTtend vers+∞, donc la suitef(x0+nT)converge vers?. D"autre part, on montre par récurrence que : f(x0+nT) =f(x0)pour toutn?N

c"est-à-dire que la suitef(x0+nT)est constante égale àf(x0). Doncf(x0) =?. Comme ce raisonnement

est valable pour n"importe quelle valeur dex0, on en déduit quefest constante égale à?.

Exercice 11

La fonctionf(x)-xétant bornée sur[x0,+∞[, il existe un réelMtel que

En divisant parxon trouve

?x≥x0,????f(x)x

Quand on fait tendrexvers+∞,Mx

tend vers0, donc|f(x)x -1|tend lui aussi vers0, d"où : lim x→+∞f(x)x = 1.

Exercice 12

1. On considère la fonctionfdonnée par

f(x) =? ⎷1-x2si|x|<1 ax

2+bx+csi|x| ≥1

Cette fonction est continue sur l"intervalle]-1,1[car elle est égale à la fonctionx?→⎷1-x2sur

cet intervalle. De même, elle est continue sur les intervalles]- ∞,-1[et]1,+∞[car elle est égale

à la fonctionx?→ax2+bx+csur ces intervalles. On en déduit quefest continue surRsi et seulement si elle est continue en-1et en1. Calculons les limites à droite et à gauche defen-1: lim x→-1x<-1f(x) = limx→-1x<-1ax

2+bx+c=a-b+c=f(-1)

et limx→-1x>-1f(x) = limx→-1x>-1?1-x2= 0 Doncfest continue en-1si et seulement sia-b+c= 0. Par un calcul semblable, on trouve que fest continue en1si et seulement sia+b+c= 0. Au final, pour quefsoit continue il faut que a,betcsoient solution du système?a-b+c= 0 a+b+c= 0 Finalement, on se demande si ce système admet des solutions. En additionnant les deux équation on trouve quea+c= 0, en les soustrayant on trouve queb= 0. Donc ce système admet une infinité de solutions en prenantb= 0eta=-c. 5

2. Soitn?N. D"après la formule du binôme de Newton nous avons :

(1 +x)n= 1 +nx+?n 2? x

2+···+nxn-1+xn

d"où : (1 +x)n-1x =n+?n 2? x+···+nxn-2+xn-1 Cette quantité tend versnquandxtend vers0. Donc on peut prolongerfpar continuité en0en posantf(0) =n.

Exercice 13

Soit?la limite (finie) defenx0. Prenonsε= 1dans la définition de la limite. Alors il existeδ >0tel

que, pour toutx?D:

C"est-à-dire que

Doncfest bornée dans le voisinageV= [x0-δ,x0+δ]dex0, ce qu"on voulait.

Exercice 14

1. Il suffit de montrer que tout intervalle de la forme]a,b[contient une infinité de rationnels et une

infinité d"irrationnels. Commençons par remarquer que : - la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel; - la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

On distingue à présent deux cas :

(a) Le réelaest rationnel. Alors la suite?a+1n n≥1est une suite de nombres rationnels qui décroît

versa. L"intervalle]a,b[contient donc une infinité de valeurs de cette suite (plus précisément,

toutes les valeurs telles quensoit strictement supérieur à la partie entière de1b-a). De même,

la suite? a+⎷2 n n≥1est une suite de nombres irrationnels qui décroît versa, donc l"intervalle ]a,b[contient une infinité de valeurs de cette suite. (b) Le réelaest irrationnel. Il suffit alors de montrer l"existence d"un nombre rationnelcdans

l"intervalle]a,b[, puis d"appliquer le résultat précédent à l"intervalle]c,b[. Pour montrer l"exis-

tence dec, on procède comme suit : sib-a >1, alors il existe un nombre entier strictement compris entreaetb, donc c"est gagné. Dans le cas contraire, commeb-aest strictement positif, on peut toujours choisir un entierq≥2tel queq(b-a)>1. Mais alors il existe un nombre entier (que l"on notep) strictement compris entreqaetqb. Il en résulte que a < pq < b ce qu"on voulait.

2. En déduire que la fonctionδdéfinie surRpar

δ(x) =?1six?Q

0six??Q

est discontinue en tout point deR. 6quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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