1 Montrer que la multiplication des nombres complexes definit une structure de groupe sur´ C 2 V´erifier que l’ensemble R + des nombres r´eels strictement positifs est un sous-groupe de C 3 Montrer que l’application CR + z 7jzj= q Re(z)2 +Im(z)2 est un morphisme de groupes On note U le noyau du morphisme ci-dessus
que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est m n=d Indication H [002146] Exercice 12 Soit f : G H un morphisme de groupes finis Soit G0un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0et de H Indication H [002147] Exercice 13 Soit f : G H un morphisme de groupes finis
5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2
Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d Exercice 14 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G Montrer que l’ordre de f(G0) divise les ordres de G0 et de H Exercice 15 Soit f : G → H un morphisme de groupes finis Soit G0 un sous-groupe de G
b) Trouver les applications f: R R, d erivables, dont le graphe est un sous-groupe de (R2;) Exercice 5 Soit (G;) un groupe , Het Kdeux sous-groupes de G a) Montrer que H\Kest un sous-groupe de G b) Montrer que H[Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si : HˆKou KˆH Exercice 6
Soient N et H des groupes et soit ˚ : H Aut(N) un morphisme de groupes Notons No ˚ H l’ensemble N Hmuni de la loi de composition d e nie par (n 1;h 1) o ˚ (n 2;h 2) = (n 1˚(h 1)(n 2);h 1h 2) a) Montrer que No ˚ Hest un groupe, appel e produit semi-direct de Hpar Nrelativement a ˚ b) Montrer que Nf e HgCNo ˚ Het fe Ng H
Soit Gun groupe et soit Hun sous-ensemble ni non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H
4 Donner un exemple de morphisme non trivial du groupe symétrique S n vers legroupemultiplicatifC∗ Solution (1point) Lemorphismesignature,quiaunepermutationσassocie(−1)r siσs’écrità l’aidedertranspositions 5 Donnerunexempledep-groupenoncommutatif, pourunnombrepremier p devotrechoix Solution (1point) Le groupe diédral D
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
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TD 1: Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes
soit un morphisme de groupes 2 Soient G un groupe et I un ensemble On note G(I) le sous-ensemble de GI form´e des applications u : I G telles que u(i) = e pour tout i en dehors d’un sous-ensemble fini de I Montrer que G(I) est un sous-groupe de GI 2 3 Soit P l’ensemble des nombres premiers Construire un isomorphisme de groupes de Z(P) vers Q + Exercice 10 Soient G un groupe fini
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Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soit G un groupe tel que l’application x x 1 soit un morphisme Montrer que G est commutatif Indication H [002136] Exercice 2 Soient G un groupe et n > 1 un entier tels que l’application x xn soit un automorphisme de G Montrer que pour tout élément x de G, xn 1 appartient au centre de G Correction H [002137] Exercice 3 Montrer Taille du fichier : 183KB
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Groupes, anneaux, corps - Licence de mathématiques Lyon 1
Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2 Soit un élément d’ordre fini de Justifier que la partie { } est un sous-groupe de 3 On suppose maintenant que est fini, de cardinal impair En utilisant le théorème de Lagrange, prouver que l’application qui à associe est surjective 4 Donner une condition simple assurant que est un (homo)morphisme Taille du fichier : 1MB
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Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient Exercice 1 Soient G, G 0deux groupes et f un homomorphisme de G dans G Montrer que si A ⊂ G, alors f(hAi) = (hf(A)i Montrer par contre qu’il est faux que si A 0 ⊂ G0, alors f−1(hA0i) = hf−1(A0)i Exercice 2 Soit G un groupe tel que l’application x → x−1 soit un morphisme Montrer que G est commutatif Exercice 3 D
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TD4 : Produit semi-direct - DMA/ENS
Soient N et H des groupes et soit ˚ : H Aut(N) un morphisme de groupes Notons No ˚ H l’ensemble N Hmuni de la loi de composition d e nie par (n 1;h 1) o ˚ (n 2;h 2) = (n 1˚(h 1)(n 2);h 1h 2) a) Montrer que No ˚ Hest un groupe, appel e produit semi-direct de Hpar Nrelativement a ˚ b) Montrer que Nf e HgCNo ˚ Het fe Ng H
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Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique; (iii) Montrez que pour djn, il existe un unique sous-groupe d’ordre d de Z=nZ; (iv) Donnez le cardinal du sous-groupe engendr¶e par k dans Z=nZ; (v) Montrez que n Taille du fichier : 159KB
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TD1 : G en eralit es sur les groupes - DMA/ENS
Exercices ???: plus di ciles Exercice 1 : ? Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition, associative, avec el ement neutre e, et telle que tout el ement de Eposs ede un inverse a gauche Montrer que tout el ement de Eposs ede un inverse a droite qui co ncide avec son inverse a gauche En d eduire que Eest un groupe Solution de l’exercice 1 Soit g2E Par hypoth ese, il existe h2Etel Taille du fichier : 192KB
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
morphisme de groupe Bien entendu, et c’est une trivialit´e, un morphisme de Gdans Hest surjectif si et seulement si son image est ´egale `a H Ce r´esultat est d’ailleurs sans int´er`et Le r´esultat suivant est bien plus int´eressant, puisqu’il r´eduit ´enorm´ement le travail, pour montrer qu’un morphisme est injectif Proposition 4 Soit f un morphisme de (G,∗) dans (H,T
11 mai 2016 · Donner un exemple d'élément d'ordre 15 dans le groupe symétrique S8 Les questions de cet exercice sont indépendantes D'une part ϕ est un morphisme car ϕ(x+y) = ei(x+y) = eixeiy = ϕ(x)ϕ(y), et ϕ est surjectif car tout
exam final mai corrige
On consid`ere alors le morphisme φ : Z −→ G défini par φ(k) = gkk; c'est clairement un morphisme de groupe et surjectif par définition d'un groupe cyclique
correct
colles entièrement corrigés Compléments en Tous les exercices sont corrigés de fa- çon détaillée sous-groupe d'un groupe par un morphisme de groupes
Feuilletage
Puisque S3 n'est pas commutatif, G ne l'est pas De plus, N ⊂ C(G) et N ∩ K = 〈 {(id, 0)}〉 Exercice 9 Considérons le morphisme
Groupes
Montrer que est un morphisme du groupe additif dans le groupe multiplicatif Déterminer ( ) Allez à : Correction exercice 20 Exercice 21 Pour tout , on appelle
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges groupe
Il n'existe pas et n'existera pas de « corrigé » de cette « feuille Montrer que l' application « déterminant » est un morphisme du groupe GL(n;R) (resp GL(n;C))
exoalglicence
son polynôme dérivé) – Un exercice sur les groupes cycliques est souvent plus facile à résoudre en pensant à Un qu'à Z/nZ Penser au morphisme canonique
matieres
2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G Montrer que si A ⊂ G, alors f(〈A 〉)
TD M
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00021.pdf
sous-groupe d'un groupe par un morphisme de groupes. ➟ Exercices 1.3 1.4 CORRIGÉS. Page 18. Chapitre 1 – Groupes. Corrigés des exercices. 1.1. On a : ab ...
On consid`ere alors le morphisme φ : Z −→ G défini par φ(k) = gkk; c'est clairement un morphisme de groupe et surjectif par définition d'un groupe cyclique.
que les deux groupes précédents ne sont pas isomorphes. Exercice 18 Trouver tous les morphismes du groupe additif Q dans lui même. Même question de Q dans Z.
Montrer que f est un morphisme du groupe (R∗ ×) dans lui-même. En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [Correction]. Justifier que exp: C →
b) Déterminer le groupe Aut(Z). Exercice 37 (Morphismes et éléments d'ordre 2) Soit ϕ : G → H un morphisme de groupes. On suppose que G
Exercice 2.10. 1. Donner un exemple de morphisme de groupe de (R+) vers (R∗
III Les corrigés des exercices. 131. Corrigé des exercices du chapitre 1. 133 donner un morphisme de groupes de G dans le groupe symétrique SX. Plus.
(3) Montrer que θ → (cos(θ)sin(θ) est un morphisme surjectif de groupes de R dans. C. Quel est son noyau ? Exercice 3. Soit (G
Exercice 3 Montrer que le groupe des automorphismes du groupe Z/2Z×Z/2Z est isomorphe au groupe symétrique S3 Correction ? [002138] Exercice 4 Montrer qu'
Allez à : Correction exercice 17 Exercice 18 1 Montrer que l'application Est bien définie et que c'est un morphisme surjectif de groupes
colles entièrement corrigés Compléments en ligne Tous les exercices sont corrigés de fa- sous-groupe d'un groupe par un morphisme de groupes
On consid`ere alors le morphisme ? : Z ?? G défini par ?(k) = gkk; c'est clairement un morphisme de groupe et surjectif par définition d'un groupe cyclique
TD 1: Groupes sous-groupes morphismes de groupes parties génératrices Exercice 1 Les ensembles suivants munis de ces opérations sont-ils des groupes ?
(1) (La clé de nombreux exos) Montrer que le noyau du morphisme ? : G ? Bij(G/H) Corrigés Solution de l'exercice 1 On note O le centre du polygone
donner un morphisme trivial sur le groupe par lequel on veut quotienter C'est donc très facile de construire des morphismes issus de quotient 6) Montrer que l
Corrigé des exercices du chapitre 1 133 Corrigé des exercices du chapitre 2 Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes bijectif Un
Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD Soit f : G1 ? G2 un morphisme de groupes et soit x un élément de G1
Les groupes µmn et µm × µn ne peuvent donc pas être isomorphes Correction 16 Considérons la surjection canonique s : G ? G/H D'apr`es l'exercice 12 s
(a) Soit p un nombre premier Montrer que tout morphisme de groupes entre Fn p et Fm p est une application F p-linéaire (b) Montrer que le groupe des automorphismes de Z=pZ est isomorphe au groupe multiplicatif F p (c) Déterminer le nombre d’automorphismes de Fn p Correction H [002160] Exercice 26 Déterminer le centre du groupe GL n(F
Théorème 2 : Soient deux morphisme de groupes f et g dé?nies respective-ment de G dans H et de H dans K g f est un morphisme de groupe de G dans K Démonstration : ?xy ? G g f(xy)=g [f(xy)]=g [f(x)f(y)]=g[f(x)]g[f(y)]=g f(x) g f(y) 1 4 Isomorphismes Définition 2 : Soit f un morphisme du groupe de G dans H • f est un
est un morphisme de groupes On noteUle noyau du morphisme ci-dessus 4 Construire un isomorphisme de groupes deCvers le groupe produitR +U Exercice 8Soit n > 2 on appelle groupe des racines n-iemes` de l’unite´ dansCl’ensemble : mn(C) = fz 2Cjzn= 1g 1 Montrer quemn(C) est un groupe
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique; (iii) Montrez que pour djn il existe un unique sous-groupe d’ordre d de Z=nZ;
morphisme surjectif de groupes 2 (Déterminer le noyau ) et dresser sa table de composition 3 Construire un isomorphisme entre ( ) et Allez à : Correction exercice 17 Exercice 18 1 Montrer que l’application Est bien définie et que c’est un morphisme surjectif de groupes 2
Comment calculer les morphismes de groupes ?
Montrer que pour tout a ? G, H et aH = {ah; h ? H} ont le même nombre d'éléments. Soient a, b ? G. Démontrer que aH = bH ou aH ? bH = ? . En déduire que le cardinal de H divise le cardinal de G . Exercice 21 - Exemples ou contre-exemples de morphismes de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Comment calculer le morphisme non constant ?
Montrer que ?a est bijective et déterminer son inverse. En déduire que ? = {?a; a ? G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 26 - Somme des valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f un morphisme non constant d'un groupe fini (G, ?) dans (C ?, ?). Calculer ?x ? Gf(x).
Comment déterminer tous les morphismes de groupes de torsion et groupes sans torsion ?
Déterminer tous les morphismes de groupes de (Q, +) dans (Z, +). Exercice 29 - Morphisme entre groupes de torsion et groupes sans torsion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Dans un groupe (G, ?), un élément x est dit de torsion s'il existe n ? 1 tel que xn = e.
Quels sont les morphismes inverses ?
’ 7¡! ’(1) On v¶eri?e ais¶ement que sont des morphismes inverses l’un de l’autre, ce sont donc des isomor- phismes. Remarque:Lamoraledecettequestionestqu’unmorphismed’ungroupecycliqueversungroupe, est caract¶eris¶e par la donn¶ee de l’image d’un g¶en¶erateur.
Morphisme sous-groupe distingué