1 Matrices stochastiques et propriété de Markov 1 1 Chaînes de Markov Une matrice stochastique sur X est une fonction P : (x,y) 2 X 7P(x,y) 2 [0,1] telle que, pour tout x 2 X, X y2X P(x,y)=1 Autrement dit, tout x 2 X définit une mesure de probabilité P(x,·) sur X,appelée probabilité de transition àpartirdex Définition 2 1
peuvent être de probabilités nulles De fait dans les problèmes de modélisation, les chaînes de Markov sont données par la loi de X 0 et par toutes les probabilités de transition et les problèmes ne se posent pas L’indice nde la suite (X n) n 0 est interprété comme un temps La variable X k représente la position
-L’univers pour la durée de vie d’une ampoule électrique est ›˘[0,¯1[ Un évènement aléatoire A lié à l’expérience E est un sous-ensemble de › dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est réalisé ou non
2 3 Chaîne de Markov homogène Définition 7 : Une chaîne de Markov est «homogène» si, pour tout i, j ∈ E, la probabilité p(X n=i)(Xn+1 =j)ne dépend pas de n On la note alors p ij La matrice P =(p ij)est appelé «matrice de transition» de la chaîne de Markov Remarque : Dans le cadre de la modélisation d’un processus en temps
La chaine de Markov est dite homogène (en temps)lorsquedeplus On a un phénomène de mélange : l’unique loi invariante décrit la distribution de X n pour
Chaˆınes de Markov sur un ensemble fini 1 1 Exemples de chaˆınes de Markov Les chaˆınes de Markov sont intuitivement tr`es simples a d´efinir Un syst`eme peut admettre un certain nombre d’´etats diff´erents L’´etat change au cours du temps discret A chaque
On suppose que les tirages au hasard de l’étape 1 sont indépendants pour des temps distincts, de sorte que (X n) n2N est une chaîne de Markov I 1Donner l’espace des états X et la matrice de transition Pde la chaîne de Markov (X n) n2N I 2La chaîne de Markov (X n) n2N est-elle irréductible? I 3On note f(k) = P k[9n2N; X n = 0] = P k
Les chaînes de Markov aux concours (EDHEC 2017) L’épreuve EDHEC 2017 portait sur le déplacement au cours du temps d’un mobile sur les 4 sommets d’uncarré Voiciuneretranscriptiondel’énoncé
Chapitre 8 Chaˆınes de Markov 8 1 La matrice de transition Une suite de variables al·eatoires {Xn}n 0 ‘a valeurs dans l’espace d·enombrable E est appel·e processus stochastique (‘a temps discret) (‘a valeurs dans E)
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Introduction aux chaînes de Markov Lycée
C’est trop difficile pour ce papier, voir [4], pp 127-128 : Chaînes de Markov homogènes La propriété de Markov - égalité (1) - porte sur un conditionnement par l’instant présent (l’ins-tant n) et tous les instants passés, s’il y en a (si n > 1) Voici une propriété de conditionnement par l’instant présent seulement : Théorème 1 Soit X une chaîne de Markov d’espace des états E, de loi initiale L0 sur E
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Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
Chaînes de Markov Résumé Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N dont les transitions sont données par une matrice stochastique P(Xn,Xn+1) Ces processus vérifient la propriété de Markov, c’est-à-dire qu’observés àpartird’untemps(d’arrêt)T, (XT+n)n2N ne dépend que de XT et est de nouveau une chaîne de Markov Les états d’une chaîne de Markov peuvent Taille du fichier : 2MB
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Introduction aux chaines de Markov - CERMICS
principal est que pour les chaˆınes de Markov, par exemple a valeurs dans un espace fini, irr´eductible, la moyenne en temps 1 n Xn k=1 f(Xk) converge p s vers la moyenne de f par rapport `a l’unique probabilit´e invariante π : (π,f) Ce r´esultat est l’analogue de la loi forte des grands nombres Nous donnons des exemples importants d’utilisation des chaˆınes de Markov au Taille du fichier : 310KB
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Chaînes de Markov
EXEMPLE IMPORTANT PROPOSITION Soit ( n)n2N une suite de v a i i d à valeurs dans , X0 une v a à valeurs dans E, indépendante de la suite ( n)n2N, f : E E une fonction mesurable Alors la suite (Xn)n2N de v a à valeurs dans E et définie par la relation de récurrence : 8n 2N;Xn+1 = f( n+1;Xn) est une chaîne de Markov homogène CONSÉQUENCES: tous les suites vues dans la partie 1
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Introduction aux cha nes de Markov - Université Paris-Saclay
Introduction aux chaˆınes de Markov S Lemaire Polycopi´e pour l’U E “Chaˆınes de Markov” L3 Biologie-Sant´e et L3 Biodiversit´e des Organismes et Ecologie Table des mati`eres I Rappels et compl´ements sur les variables al´eatoires discr`etes 3 1 Espace de probabilit´e 3
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Chaînes de Markov - IRIT
Dans tous les cas, si la chaîne est irréductible, il y a convergence des , mais si les états sont transitoires ou récurrents nuls, ces quantités 0 Corrolaire : Pour une chaîne irréductible, si admet une solution unique positive, elle est ergodique
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Fiche 5 - Chaînes de Markov (mesures stationnaires
On considère la chaîne de Markov (S n) n≥0 sur Z de matrice de transition donnée par : Pn(S 1 = n+1) = 1 2 = Pn(S 1 = n−1) 1 Vérifier qu’elle est irréductible Vérifier que la mesure de comptage µ définie par µ({x}) = 1 pour tout x ∈ Z est réversible 2 On admet que cette chaîne de Markov est récurrente Est-elle récurrente positive? 2
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Fiche 2 – Chaînes de Markov
n la chaîne de Markov homogène sur N définie par : pour tout k ∈ N, P(X1 = k +1X0 = k) = p = 1−P(X1 = 0X0 = k) 1 Calculer la loi du temps de retour τ0 sous P0 2 Montrer que la chaîne est récurrente irréductible 3 Montrer qu’il existe une unique probabilité invariante pour cette chaîne et la calculer Exercice 16 On considère la chaîne de Markov d’espace d’états E = {1,2,3,4} de matrice de transition
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CHAÎNES DE MARKOV - u-bordeauxfr
n 0 une chaîne de Markov homogène, dont l’ensemble des états est E et la matrice de transitionP= (p i;j) ( )2E2 Pourn 0 eti;j2Eondésigneparp (n) i;j laprobabilité,partantdel’étati àl’instant0,d’êtredansl’étatjàl’instantn;end’autrestermesona: p(n) i;j = P(X n= jjX 0 = i) Commeonl’avudanslelemme7,p(n) i;j correspondàP n ( ) Onpeutfacilementvérifier: Proposition8 Taille du fichier : 443KB
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Chaînes de Markov - imag
Chaînes de Markov B Ycart Un modèle d’évolution dynamique en temps discret dans lequel on fait dé-pendre l’évolution future de l’état présent et du hasard est une chaîne de Markov On en rencontre dans de nombreux domaines d’applications, des sciences de
B Retour au cas général : états récurrents nuls et états récurrents positifs Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus simples de suites de
ProbaAgreg COURS CM
(resp nuls) On dit qu'un év`enement A est presque sûr (p s ) pour une chaıne de Markov X de matrice de transition P si Px(A) = 1 pour tout x ∈ E et donc si P(A)
mod stoch
Les nombres P(X = xi) pour i ∈ {1, ,n} sont positifs ou nuls et leur somme est égale `a 1 Ils définissent donc une probabilité sur l'ensemble X = {x1, ,xn} que l' on
coursCM
22 fév 2021 · Une chaîne de Markov (Xn) est homogène si pour tout n ≥ 0, x et y dans E le résultat est encore vrai si les Vi sont positifs ou nuls (avec
Markov
récurrent nul Ainsi un état est récurrent positif lorsque le temps d'attente moyen pour un retour en x est fini Théorème 5 Soit (Xn)n≥0 une chaîne de Markov
polycomplet
1 7 5 Chaînes de Markov avec plusieurs pas de mémoire 37 Preuve : Considérons x et y dans S Par irréductibilité, il existe des entiers a, b, c non-nuls
notes CM www
8 4 Caractérisation des chaînes de Markov récurrentes positives Soient r1,··· ,rk des entiers positifs (éventuellement nuls) tels que, r1 + ··· + rk
polycop Proc Stoch
fait, les chaınes de Markov sont des processus stochastiques dont l'évolution est régie par une équation de N Les termes non nuls de la matrice de transition
ENSmarkov
Si X est fini on notera N son nombre d'éléments. 1. Matrices stochastiques et propriété de Markov. 1.1. Chaînes de Markov. Une matrice stochastique sur X est
Dire que TP=P signifie que P est vecteur propre de T pour la valeur propre 1. Or une matrice de transition (matrice stochastique) admet 1 comme valeur propre
Parfois pour une chaˆ?ne de Markov
???/???/???? X est une chaîne de Markov si pour tout x0
a) est évident : pour n = 0 1Xn=k = 1 Pk-p.s. et les autres termes de la somme sont tous nuls (n < ?k). b) Calculons le j-ième terme (?k P)j du vecteur ligne
est une chaîne de Markov si pour tout n ? 0
Toute matrice de transition vérifie les propriétés suivantes : (1) pour tout couple (x y) de E
Considkrons une chaine de Markov sur Z rkcurrente et irrtductible
centrale fonctionnel pour une chaîne de Markov récurrente au sens de a2(s A t) si a est non nul et le processus dégénéré 0 si a est nul. Enfin pour p ...
fait les cha?nes de Markov sont des processus stochastiques dont l'évolution est régie N . Les termes non nuls de la matrice de transition sont donc.
notes de cours de “Processus stochastiques” je m'en suis largement inspirée et en ai tiré tous les dessins de graphes pour les chaînes de Markov
Chapitre I Chaînes de Markov 5 1 Définition 5 2 Exemples 7 3 La relation de Chapman-Kolmogorov 9 4 Classification des états
1 7 5 Chaînes de Markov avec plusieurs pas de mémoire 37 récurrentes nulles ou de noyau récurrent nul ou transient Preuve :
Pour introduire cette dynamique il faut tenir compte de l'influence du passé ce que font les cha?nes de Markov `a la façon des équations de récurrence dans
Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (? b P) et à valeurs dans X telle
matrice stochastique sur X Une chaîne de Markov de matrice de transition P ou nuls telle que q0 = 0 et pk + qk + rk = 1 pour tout k ? N La chaîne de
22 fév 2021 · Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel- lement au présent le futur ne dépend pas
La loi d'une chaîne de Markov homogène est complètement dé- terminée par la donnée de sa matrice de transition et de la loi de X0 (appelée loi initiale) :
Une cha?ne de Markov est dite irréductible lorsque tous ses états communiquent c'est-`a-dire lorsque pour toute paire d'états (xixj) la probabilité
Une cha?ne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xnn ? N) qui permet de modéliser l'évolution dynamique d'un syst`eme aléatoire : Xn représente
Comment montrer qu'une chaîne est une chaîne de Markov ?
= P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?
Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.- La chaîne est dite homogène si on a de plus pour tout k ? N et tout x et y dans E, P(Xk+1 = yXk = x) = P(X1 = yX0 = x).
Chaînes de Markov