Chaînes de Markov Résumé Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N dont les transitions sont données par une matrice stochastique P(Xn,Xn+1) Ces processus vérifient la propriété de Markov, c’est-à-dire qu’observés àpartird’untemps(d’arrêt)T, (XT+n)n2N ne dépend que de XT et est de nouveau une chaîne de
peuvent être de probabilités nulles De fait dans les problèmes de modélisation, les chaînes de Markov sont données par la loi de X 0 et par toutes les probabilités de transition et les problèmes ne se posent pas L’indice nde la suite (X n) n 0 est interprété comme un temps La variable X k représente la position
Chaines de Markov : compl´ements Dans cette le¸con, nous examinons quelles sont les principales propri´et´es des chaˆınes de Markov et nous ´etudions quelques exemples supl´ementaires 2 1 Propri´et´es de Markov Lorsqu’un syst`eme est mod´elis´e par une ´equation diff´erentielle son avenir est uniquement
Pour une chaîne de Markov irréductible, on pourra donc parler sans ambiguïté de sa période, et de chaîne apériodiquesi,pourunétatx(etdoncpourtous),d(x) = 1 Théorème On suppose que la chaîne de Markov (X n) n 0 est irréductible, récurrente positive et apériodique Alors, pourtouteloiinitiale ,pourtoutétatx, P (X n= x) n ˇ(x);
Un état est dit absorbant si le processus ne peut pas sortir de cet état Autrement, l’état i est absorbabt ssip ii = 1 19 Classification des états de la Chaîne de Markov Période: La période de l’état i d’une chaîne de Markov est égale au plus grand commun diviseur de tous les n pour lesquels p ii (n) > 0
Cette chaîne de Markov n’est pas irréductible (les autres états ne sont pas accessibles à partir d’un état absorbant) et n’est pas apériodique (mis à part les états absorbants, les autres états sont de période 2) b) On définit la matrice P à l’aide du script suivant : P = np zeros((9, 9), dtype=float) P[0, 0] = 1 P[8, 8] = 1
On suppose que les tirages au hasard de l’étape 1 sont indépendants pour des temps distincts, de sorte que (X n) n2N est une chaîne de Markov I 1Donner l’espace des états X et la matrice de transition Pde la chaîne de Markov (X n) n2N I 2La chaîne de Markov (X n) n2N est-elle irréductible? I 3On note f(k) = P k[9n2N; X n = 0] = P k
Soit (Xn) une chaîne de Markov sur E de matrice de transition P, de distribution initiale Alors conditionnellement à Xn = x, le processus Xn+ est une chaîne de Markov de matrice de transition P, de distribution initiale x et est indépendant des v a X0;:::;Xn I Phénomène sans mémoire A Popier (ENSAI) Chaînes de Markov Janvier-Mars
Eest l’espace d’état de la chaine de Markov La chaine de Markov est dite homogène (en temps)lorsquedeplus
On considère une chaîne de Markov homogène L’idéeestderegarder,àpartird’unétatdonné,quelssontlesautresétatsquel’on peutatteindre Définition 1 Soit {X n} n≥0 une chaîne de Markov homogène sur l’ensemble E = {1,···,N} Soient i et j deux états, c’est-à-dire deux éléments de E On dit que j est
[PDF]
Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
Pour une chaîne de Markov irréductible récurrente, la mesure empirique et la loi marginale du pro-cessus convergent soit vers l’unique mesure de probabilité P-invariante (récurrence positive ), soit vers le vecteur nul (récurrence nulle ) Cette théorie s’applique en particulier aux marches aléatoires et aux modèles de files d’attente Dans ce qui suit, on fixe un espace d Taille du fichier : 2MB
[PDF]
CHAÎNES DE MARKOV - u-bordeauxfr
CHAÎNES DE MARKOV Préparation à l’Agrégation Bordeaux 1 Année 2012 - 2013 Jean-Jacques Ruch-Marie-Line ChabanolTaille du fichier : 443KB
[PDF]
Chaines de Markov : compl´ements
Chaines de Markov : compl´ements Dans cette le¸con, nous examinons quelles sont les principales propri´et´es des chaˆınes de Markov et nous ´etudions quelques exemples supl´ementaires 2 1 Propri´et´es de Markov Lorsqu’un syst`eme est mod´elis´e par une ´equation diff´erentielle son avenir est uniquement d´etermin´e par sa situation pr´esente, d’ou` son nom de dynamique d
[PDF]
Introduction aux chaines de Markov - CERMICS
I 1 CHAˆINES DE MARKOV 3 Exemple I 1 4 La marche al´eatoire sym´etrique simple sur Z, S = (Sn,n ≥ 0), est d´efinie par Sn = S0 + Pn k=1 Zk, ou` Z = (Zn,n ≥ 1) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi, P(Zn = 1) = P(Zn = −1) = 1/2, et S0 est une variable al´eatoire a valeurs dans Z ind´ependante de Z On v´erifie facilement que la marche al Taille du fichier : 310KB
[PDF]
Chaînes de Markov - IRIT
Chaînes de Markov à temps discret (CMTD) Exemple Evolution : Corrolaire : Pour une chaîne irréductible apériodique, si admet une solution unique positive, alors la chaîne est ergodique Rq: Une chaîne irréductible et apériodique comportant un nombre fini d’états est ergodique n nof Sj, Sj0 ¦ j E j S SP; S 1 j j M 1 S Chaînes de Markov à temps continu (CMTC) Déf: Un
[PDF]
Travaux pratiques Une introduction aux chaînes de Markov
Une fois un graphe associé à une chaîne de Markov comme le présente l’exemple ci-dessus, on dit que l’état x j est accessible à partir de l’état x i lorsqu’il existe un chemin dans le graphe menant de x i à x j Définition — Une chaîne de Markov est dite irréductible lorsque tous les états communiquent entre eux, c’est-à-dire lorsque pour tout i,j l’état x j est
[PDF]
Classification des états de la Chaîne de
Une chaîne de Markov est dite irréductible si tous ses états communiquent entre eux càd il y a une seule classe d’équivalence 17 Classification des états de la Chaîne de Markov Exemple: On Suppose qu’un joueur a $1 et pour chaque partie du jeu gagne $1 avec une probabilité p > 0 ou bien perd $1 avec une probabilité 1-p le jeu se termine quand le joueur aura $3 ou bien il est
[PDF]
Chaînes de Markov - Le Mans University
EXEMPLE IMPORTANT PROPOSITION Soit ( n)n2N une suite de v a i i d à valeurs dans , X0 une v a à valeurs dans E, indépendante de la suite ( n)n2N, f : E E une fonction mesurable Alors la suite (Xn)n2N de v a à valeurs dans E et définie par la relation de récurrence : 8n 2N;Xn+1 = f( n+1;Xn) est une chaîne de Markov homogène CONSÉQUENCES: tous les suites vues dans la partie 1
[PDF]
Chaînes de Markov Examen - Université Paris-Saclay
n2N est une chaîne de Markov sur N, et donner sa matrice de transition Est-elle irréductible? II 9Montrer que lim n1Y n= +1avec probabilité 1 Corrigé I 1L’espace des états est X = N, et la matrice de transition est P(k;k+1) = k+2 2(k+1); P(k;k 1) = k 2(k+1) pour tout k 0 En effet, pour le calcul de P(k;k+ 1) par exemple, on passe de X n = kà X n+1 = k+1sil’ontirel’unedesk+
[PDF]
Classificationdesétatsd’unechaînedeMarkov
Exemple 1 Considérons le graphe suivant, associé à une chaîne de Markov homogène dont l’espacedesétatsestE = {1,2,3,4,5}: 0,581 0,5 * h 0 25 2 0,25 (0 5 E 3 1 4 0,5 h,5 h 1 5 Déterminons les différentes classes de communication Commençons par celle qui contient 1 Ona q(1) 1,1 = 0,5 donc 1 ↔1 etdonc1 estdanslaclassede1 (maiscecionlesavait) Onaaussi q(1) 1,2 = 0,5, q (1) 2,1 = 0
Exemple 0 La marche aléatoire sur Z est irréductible (tous les états communiquent) Exemple 1 Considérons la chaîne de Markov, dont l'ensemble des états
ProbaAgreg COURS CM
22 fév 2021 · Parmi les exemples suivants, lesquels peuvent correspondre a une chaîne de Soit Q la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène Si une chaîne de Markov est irréductible, il n'y a qu'une seule classe
Markov
EXEMPLE IMPORTANT PROPOSITION Soit (θn)n∈N Une chaîne de Markov irréductible sur un espace E fini est irréductible récurrente A Popier (ENSAI)
Markov
Exemple La marche aléatoire sur Z/NZ est récurrente irréductible Plus généra- lement, toute chaîne de Markov finie dont le graphe orienté est connexe est
markov
Pour quelles valeurs de p, q la chaıne est-elle irréductible ? aprériodique ? 2 Déterminer 2 Exemples classiques de chaˆınes de Markov Exercice 3 1
Markov
1 35 n'est pas irréductible Exercice I 3 Soit X = (Xn,n ∈ N) une chaıne de Markov de matrice de transition P `a
mod stoch
de Markov Chaınes réductibles / irréductibles Exemple météorologique Aujourd'hui Une chaıne de Markov est irréductible si chaque état est accessible
Markov FSur
Exemple 1 (Somme de variables aléatoires) Soit (Xn) une suite de variables aléa - Proposition 4 Une chaîne de Markov irréductible sur un espace d'état E fini
polycomplet
Exercice 2 8 Soit (Xn,n ≥ 0) une chaine de Markov à valeurs dans E, de loi initiale µ et de probabilité de transition π On considère f : E → F 1 Montrer que ((Xn,f(
chaines de Markov HS
Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus Soit P la matrice d'une chaîne de Markov à espace d'états finis irréductible et apériodique.
Exemple. La marche aléatoire sur Z/NZ est récurrente irréductible. Plus généra- lement toute chaîne de Markov finie dont le graphe orienté est connexe est
Ainsi l'exemple de la chaıne {h
Montrer que Y = (Ynn ∈ N∗) est une chaıne de Markov `a valeurs dans E2. Donner sa matrice de transition
Exemple : π0 = (. 1 0. ) π1 = (. 0
Feb 22 2021 Mesure d'occupation a) Donner un exemple de graphe non-apériodique. b) On suppose le graphe apériodique. Soit x un point du graphe. Montrer ...
loi initiale de la chaîne de Markov (par exemple δx1 ) on a. C. ∑ i=1. Vxi Une chaîne de Markov irréductible est dite apériodique si sa période est h = 1 ...
Ici tous les états communiquent. La chaˆıne est irréductible. Exemple. P =
Par exemple s'il existe un état absorbant (fermé)
positive (on le savait : chaîne finie irréductible) et par exemple
Ainsi l'exemple de la cha?ne {h
Ici tous les états communiquent. La chaˆ?ne est irréductible. Exemple. P =
Exemple 2 (Modèle de diffusion d'Ehrenfest) On réparti N particules dans deux com- Définition 7 Une chaîne de Markov est dite irréductible si E est ...
Exemple 0. La marche aléatoire sur Z est irréductible (tous les états communiquent). Exemple 1. Considérons la chaîne de Markov dont l'ensemble des états
Soit (Xn)n?N une chaîne de Markov de matrice de transition P irréductible récurrente. Alors il existe une mesure ? strictement positive invariante
Classification des états de la Chaîne de. Markov. Exemple: Le processus est irréductible est ergodique et donc il admet une distribution stationnaire.
valuation de l'arête i ? j : pij . Une cha?ne de Markov peut être vue comme une marche aleatoire sur G
irréductible récurrente la mesure empirique et la loi marginale du pro- Exemple. On représente usuellement une chaîne de Markov d'espace d'états X par.
de Wright-Fisher voir l'exemple I.1.35 n'est pas irréductible. Exercice I.3. Soit X = (Xn
En particulier une chaîne de Markov finie irréductible admet toujours une mesure exemple
Une cha?ne de Markov est dite irréductible lorsque tous ses états communiquent c'est-`a-dire lorsque pour toute paire d'états (xixj) la probabilité d'aller
Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus simples de suites de La marche aléatoire sur Z est irréductible (tous les états communiquent)
5 3 4 Graphe associé à une chaîne de Markov homogène Le but de la théorie des probabilités est de fournir un modèle mathématique pour décrire les
Exemple La marche aléatoire sur Z/NZ est récurrente irréductible Plus généra- lement toute chaîne de Markov finie dont le graphe orienté est connexe est
Définition 8 1 6 S'il n'y a qu'une seule classe de communication la cha?ne sa matrice de transition et son graphe de transition sont dits irréductibles Page
22 fév 2021 · Exemples et définitions Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel-
Une cha?ne de Markov est irréductible si chaque état est accessible `a partir de chaque autre état Autrement dit G est fortement connexe Sinon elle est dite
1 4 et la cha?ne de Markov de l'urne d'Ehrenfest de l'exemple I 1 38 sont irréductibles Une cha?ne possédant des états absorbants n'est pas irréductible (sauf
La chaˆ?ne est irreductible si tous les états communiquent (une seule classe d'équivalence) On peut représenter une chaˆ?ne de Markov `a espace d'états
Un exemple canonique de marche aléatoire sur un groupe est la marche aléatoire On peut donc parler d'une chaîne de Markov irréductible sur un ensemble S
Comment montrer qu'une chaîne de Markov est irréductible ?
Une chaîne de Markov est dite irréductible si K(x, y) > 0 pour tout couple x, y. Dans ce cas, soit la chaîne consiste en une seule classe d'états récurrents, soit la chaîne consiste seulement en états tous transitoires.Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.Comment montrer qu'une suite est une chaîne de Markov ?
= P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).- est indépendant de l'état de départ. Pour les chaînes ergodiques, on demande simplement que tout état soit atteignable depuis tout autre, mais le nombre de pas n'est pas nécessairement fixé.
CHAÎNES DE MARKOV