TS spé Les congruences Plan du chapitre : I Généralités II Propriétés immédiates de la relation de congruence (« propriétés des modulos ») III Congruences et opérations algébriques IV Commentaires sur les propriétés V Congruences et division euclidienne VI Critères de divisibilité VII
TS spé Fiche sur les congruences Pour toute la fiche, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 I Généralités 1°) Définition a et b sont deux entiers relatifs On dit que les entiers a et b sont « congrus modulo n » pour exprimer que leur différence est divisible par n 2°) Notation On écrit : a ≡ b (mod n)
Congruences dans Z 9 17 n° Niveau Terminale S Spé Prérequis division euclidienne, nombre premiers, nombres premier entre eux, théorème de Bézout, théorème de Gauss, théorie de groupes et d'anneaux Références [53], [54], [55] 17 1Premières dénitions Dénition 17 1 Congruence Soient n 2 N et a;b 2 Z On dit que a est congru à b
Congruences dans Z Applications Clément BOULONNE Session 2020 Préambule Niveau de la leçon Terminale S Spé Maths Prérequis Multiples et diviseurs dans Z Références —X DELAHAYE, Congruences, Terminale S URL : https://xmaths free —J -P QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à 0 ou 1 modulo 2, mais pas aux deux Chaque entier est congruà0,1 ou2 modulo3,maispasàplusqu’unparmilestrois Etc
Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS 4 III Plus grand diviseur commun de deux entiers a) PGCD de deux entiers naturels Définition 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b
Démonstration : Si b et c divise a, il existe (k,k′)∈ Z2 tel que : a =kb =k′c c divise donc kb et comme b et c sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, c divise k Il existe donc k′′ ∈ Z tel que : k =k′′c On a alors : a =k′′bc bc divise alors a PAUL MILAN 5 TERMINALE S SPÉ
TS – CoursSpé maths : DIVISIBILITE –DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES 5 c) Congruences et opérations Théorème 2 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I Divisibilité dans Définition : Soit a et b deux entiers relatifs a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a, - b est un multiple de a Exemples : • 56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8)
Démonstration : Si b et c divise a, il existe (k,k′) ∈ Z2 tel que : a = kb = k′c c divise donc kb et comme b et c sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, c divise k Il existe donc k′′ ∈ Z tel que : k = k′′c On a alors : a = k′′bc bc divise alors a
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Congruences - unicefr
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à 0 ou 1 modulo 2, mais pas aux deux Chaque entier est congruà0,1 ou2 modulo3,maispasàplusqu’unparmilestrois Etc Preuve Par la division euclidienne, on peut écrire a= qn+ ravec q;rentiers et 0 r n 1 Et a r(mod n) car leur différence est qn Donc aest congru à un des nombresTaille du fichier : 274KB
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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES - Maths & tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 A l'aide de la calculatrice, on obtient : Ainsi : 5000 = 17 x 294 + 2 Donc : –5000 = 17 x (–294) – 2 Le reste est un entier positif inférieur à 17 Donc : –5000 = 17 x (–294) – 17 – 2 + 17 Soit : –5000 = 17 x (–295) + 15
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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES - Maths & tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 A l'aide de la calculatrice, on obtient : Ainsi : 5000 = 17 x 294 + 2 Donc : –5000 = 17 x (–294) – 2 Le reste est un entier positif inférieur à 17 Donc : –5000 = 17 x (–294) – 17 – 2 + 17 Soit : –5000 = 17 x (–295) + 15
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Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET
Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS 2 Démonstration : Si ab et bc alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka et c =k’b Donc c = (kk’)a et par suite ac Propriété 3 : Soit a et b des entiers relatifs non nuls ab et ba équivaut à a = b ou a = -b Démonstration :Taille du fichier : 345KB
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Congruences - Arithm etique Apprendre a calculer avec les
Compatibilit e de la multiplication avec les congruences Soient a, b, c, d et n cinq entiers avec n non nul 1 Montrer que si a b[n] et c d[n] alors ac bd[n] 2 En d eduire que si a b[n] alors ac bc[n] 3 (a)V eri er que 6 5 6 7[12] (b)La r eciproque de la propri et e pr ec edente est-elle vraie? Compatibilit e des puissances avec les congruences
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TS spécialité Divisibilité – Division euclidienne DS n° 1
démonstration de la réponse choisie 1 Soit n un entier naturel A = 52n −(−23)n est divisible par 24 2 aa est un entier relatif Si ≡04[], alors a ≡02[] 3 Si un entier x est un entier relatif solution de x2 + x ≡ 0(mod6), alors x≡0(mod3) 4 Soit n un entier naturel Il existe exactement deux valeurs de n pour lesquelles n 1 4n 1 A + −
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Exercices Divisibilite et congruences dans Z
Spécialité TS Divisibilité et congruences dans Z 2011-2012 Correction des exercices 8 Congruences Exercice 82 p 34 a) 15123 = 3024 ×5 + 3 On écrit aussi 15123 3 (mod 5) Le reste 3 correspond au point D Le point d'arrivée de M est donc le point D b) 15132 = 3026 ×5 + 2 On écrit aussi 15132 2 (mod 5)
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Les trois axiomes fondamentaux Divisibilité dans
Démonstration : Existence : d’après le résultat précédent, il existe q∈ N tel que qb a< (q+1)b, soit 0 ≤ a-bq < b En posant r = a - bq, on obtient : a = bq + r et 0 ≤ r < b Unicité : Supposons trouvés deux couples (q1; r1) et (q2; r2) tels que a = b q1 + r1 et a = b q2 + r2 avec 0 ≤ r1 < b et 0 ≤ r2 < bTaille du fichier : 129KB
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Arithmétique et Matrices Mathématiques bac S, Spé Maths
Démonstration : 1 Compatibilité avec l’addition Onsaitque: a ≡ b (n)etc ≡ d (n),donc(a−b)et(c−d)sontdesmultiples de n Il existe donc deux entiers relatifs k et k′ tels que : a−b = kn et c−d = k′n En additionnant ces deux égalités, on obtient : a−b+c−d = kn +k′n (a+c)−(b+d)=(k+k′)n
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Arithmétique dans Z - maths-francefr
Démonstration 1) Soit a un entier relatif non nul −a =a×(−1)avec −1 ∈ Z Donc, a(−a) Ensuite, en appliquant le résultat précédent à l’entier −a, on a aussi −aa Soient a ∈ Zet b ∈ Z∗ Si ba, il existe q ∈ Ztel que a =bq Mais alors, a =(−b)(−q)avec −q ∈ Zet donc −b divise a Ensuite,en
Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b Donc il existe un entier relatif l = kk' tel que c = la Donc
DivisibTS
pour la division (et la simplification des congruences), c'est plus compliqué Exemple : 2 On cherche les solutions x de congruences commes 7x ≡ 11 ( mod 31) et en général ax ≡ b (mod n) la démonstration du théorème de Wilson Math Soc , 49(2) :182–192, 2002 [6] W J LeVeque Topics in number theory Vol
cours
CHAPITRE 1 DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES Démonstration Par le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que 1 = au + cv, donc b = abu + cbv
poly
même classe seront dits congrus modulo n et on le notera sous la forme x ≡ y mod n Preuve : Le schéma de démonstration sera toujours le même : on raisonne and Gianella H Exercices de mathématiques pour l'agrégation alg` ebre 1
congruence
25 jui 2018 · Si a divise b et c alors a divise b + c, b − c ou toute combinaison linéaire de b et de c : αb + βc ROC Démonstration : On sait que a divise b et c,
cours multiples division euclidienne congruence
Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS 2 Démonstration : Si ab et bc alors il existe deux entiers k et k' tels que b = ka et c
Cours Divisibilite et congruences dans Z
parant les olympiades internationales de mathématiques Le plan complet Leur démonstration est donc reportée aux paragraphes 2 3 et 2 4 Donnons `a La relation de congruence vérifie les propriétés suivantes (immédiates) : Propriétés
arith cours
variable D qui compte les passages dans la condition Si et donc le nombre de Pour effectuer cette démonstration, nous avons besoin de la fonction partie
chapitre (Divisibilite division euclidienne congruences)
Maths - Divisibilité dans Z - Division euclidienne - Congruences dans Z Démonstration dans le cas où a et b sont des entiers naturels : Existence : 1er cas :
Divisibilite et congruences COURS
lui aussi un traité de mathématiques et s'intéresse à des problèmes impliquant le 1994 pour avoir une démonstration rigoureuse de l'affirmation de Fermat
Chapitre Divisibilite CC et congruences
Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b. Donc il existe un entier relatif l = kk'
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. (a est appelé le dividende). Démonstration : Soit a et b dans L avec b ? 0.
Jun 21 2015 Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnements mis en œuvre ... 1.2 Compatibilité avec la congruence . ... TERMINALE S SPÉ ...
TS – Spé maths Cours : DIVISIBILITE – DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES On suppose que a a' [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p ...
Jun 25 2018 4.2 Compatibilité avec la congruence . ... TERMINALE S SPÉ ... Démonstration : Comme il s'agit d'une équivalence
Si a?d (mod n) avec 0?d<n alors d est le reste de la division euclidienne de a par n. Démonstration: a?d (mod n) donc a?d est un multiple de n donc il
Exercices sur les congruences. Exercice 1. Déterminer les congruences suivantes : 1) Modulo 5 des nombres suivants : 12 ; 45 ; 87 ; 12 ; 104.
la démonstration de Barsky constitua l'outil de premières investigations visant de polynômes satisfaisant à la relation de congruence dite "de Honda".
la démonstration n'est pas triviale sans bagage arithmétique. m'aider `a comprendre car j'ai entendu dire qu'elle était tr`es forte en maths
Principe des congruences. Les congruences sont très utiles car elles permettent de ramener des calculs avec de très grands nombres à des calculs avec des
Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel
Montrer qu'un nombre est divisible avec les congruences Démontrer que 24n+1 + 34n+1 est divisible par 5 quel que soit l'entier naturel n Disjonction de cas et
Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS 2 Démonstration : Si ab et bc alors il existe deux entiers k et k' tels que b = ka
Congruences Définition 1 1 Soit m a b entiers On dit que a est congru à b modulo m si m divise a ? b (On dit aussi que “a et b sont congrus modulo m”
21 jui 2015 · Les démonstrations suivantes sont à connaître Les raisonnements mis en œuvre 1 2 Compatibilité avec la congruence TERMINALE S SPÉ
25 jui 2018 · 4 2 Compatibilité avec la congruence TERMINALE S SPÉ Démonstration : Comme il s'agit d'une équivalence il faut démontrer la pro-
Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Apprendre à calculer avec les congruences
Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Apprendre `a calculer avec les
Démonstration : Sens direct : Soient a et b congrus modulo n Il existe q et r entiers relatifs tels que : a = n x q + r
Comment faire du calcul d congruence ?
Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n.Comment vérifier une congruence ?
On dit que « a est congru à b modulo n » ou que « a et b sont congrus modulo n » si : a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.Comment Etudier la congruence modulo n ?
Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n . Exemple 1 On sait que ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a donc : On a donc un nombre limité de possibilités quand on travaille avec les congruences .Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ?.
1a ? b (n) ;2a ? b [n] ;3a ? b (mod n) ;4a ? b mod n (notation de Gauss).
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES