1 2 Linéarité et changement d’indice Propriété 2 : Changement d’indice L’expression à l’aide du symbole ∑ n’est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p
On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice) Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des
Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3 Expliquer pourquoi le changement d’indice : j =i2 est incorrectement mené dans l
On dit qu'on a une somme télescopique 2 1 3 Changements d'indices Remarque : Lorsqu'on a une somme X n k=p a k, on peut réaliser pour convenance deux types de changements d'indice : un changement par décalage d'indice : on pose ‘= k+j()k= ‘ joù kest un entier xé un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose ‘= n k
Propri et es de la somme 1 Changement d’indice Xn i=1 a i= nX 1 j=0 a j+1 = Xn i=0 a i+1; Xn i=m a i= nX m j=0 a m+j; 2 commutativit e : Xn i=1 a i= Xn i=1 a n i+1 3 lin earit e Xn i=1 a i+ b i= X a i+ X b i; P a i= P a i 4 Relation de chasles si m
©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Méthode Changementd’indice Onpeutprocéderàunchangmentd’indicepourdeuxtypesderaison •Sil’onveutchangerl’indicedanslestermesàsommer Parexemple,
Changement d’indice k =n− p p n−1 n−2 ··· 1 0 k 0 1 2 ··· n−1 n Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice
• faire un changement d'indice : Xi=n i=1 a i = j=Xn−1 j=0 a j+1 (on a posé j = i−1) Remarque 2 enTter de simpli er d'une façon ou d'une autre Xi=n i=0 a ib i est par contre une très bonne manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur; les sommes et produits ne font pas bon ménage 2 Démonstration par récurrence
3 Le fait de calculer la somme d’une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d’indice pour se ramener à une somme à partir de 0 Une autre façon pour calculer la même série +X1 k=3 1 3k que précédemment est de faire le changement d’indice n = k 3 (et donc k = n+3) : +X1 k=3 1
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Les symboles somme et produit
On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p−1 ∑ k=p−n a p−k Exemples : Calculer la somme : Sn = n ∑ k=1 1 k − 1 k +1 • On utilise la linéarité : Sn = n ∑ k=1 1 k − n ∑ k=1 1 k +1 • On effectue un changement d’indice sur la deuxième somme : k → k +1 : Sn = n ∑ Taille du fichier : 102KB
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des réels La somme se note aussi
On dit qu'on a une somme télescopique 2 1 3 Changements d'indices Remarque : Lorsqu'on a une somme X n k=p a k, on peut réaliser pour convenance deux types de changements d'indice : un changement par décalage d'indice : on pose ‘= k+j()k= ‘ joù kest un entier xé un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose ‘= n k()k= n ‘
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I Intervalles d’entiers
Utiliser un changement d’indice Formule du changement d’indice Soient n 2Net u0,u1, ,un, des nombres réels Alors : nX¯1 k˘1 uk¡1 ˘ Xn j˘0 uj Pour passer de la première somme à la deuxième, on pose j ˘k¡1 et on remarque que quand k ˘1, j ˘0 et quand k ˘n¯1, j ˘n Preuve (utile pour comprendre la formule) : Écrivons la somme sous forme déployée : nX¯1 k˘1 uk¡1
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Récurrence, somme, produit
Le changement d'indice Nous avons déjà vu que l'indice de la somme est une ariablev muette Il peut parfois être intéressant de changer cet indice Soient deux entiers naturels net ptels que p n, alors Xn k=p u k+m= nX+m i=p+m u i: On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice) Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose
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Sommes, produits, récurrence
• faire un changement d'indice : Xi=n i=1 a i = j=Xn−1 j=0 a j+1 (on a posé j = i−1) Remarque 2 enTter de simpli er d'une façon ou d'une autre Xi=n i=0 a ib i est par contre une très bonne manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur; les sommes et produits ne font pas bon ménage 2 Démonstration par récurrence
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Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux
Un changement d’indice modifie l’aspect des termes sommés, mais pas leur nombre Dans l’exemple proposé, on somme n termes à gauche et n2 à droite ————————————– 4 Xn−1 k=0 † k +1 2k+1 − k 2k ‹ = n 2n − 0 20 = n 2n et nX2−1 k=n † lnk k − ln(k +1) k +1 ‹ = lnn n − ln n2 n2 = (n−2)lnn n2 ————————————– 5 Xn i=1 n j=i 1 j =
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Calculs algébriques - Carnot
3 Changement d’indice Il peut parfois être bien d’utile d’effectuer des changements d’indices, c’est-à-dire de changer la façon dont les termes d’une somme (ou d’un produit) sont indexés (c’est possible par commutativité) : il faut cependant bien faire attention à ce que l’on utilise bien une et une seulement fois
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SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX
Changement d’indice k =n − p p n−1 n−2 ··· 1 0 k 0 1 2 ··· n−1 n Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice • Il arrive souvent qu’on tombe au cours d’un calcul sur des sommes de la forme : X
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Exo7 - Cours de mathématiques
3 Le fait de calculer la somme d’une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d’indice pour se ramener à une somme à partir de 0 Une autre façon pour calculer la même série +X1 k=3 1 3k que précédemment est de faire le changement d’indice n = k 3 (et donc k = n+3) : +X1 k=3 1 3k = +1 n=0 1 3n+3 = +X1 n=0 1 33 1 3n
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Cours de mathématiques MPSI
l’ordre près, par conséquent la somme des termes des deux familles est la même, et le produit aussi (l’addition et la multiplication étant commutatives) : X k2I ak ˘ X k02J af (k0) et Y k2I ak ˘ Y k02J af (k0) On dit qu’on a fait le changement d’indice k ˘ f (k0) avec k0 2J
les indices de la somme parcourraient l'ensemble {k ; j ≤ k ≤ i} qui est l' ensemble vide et Une somme peut se récrire en opérant un changement d' indice
sommes
Après calcul, on obtient S2( ) = ( + 1)(2 + 1) 6 Sommes de puissances Exercice 1 3 Calculer S3( ) 1 4 Changement d'indice
SommesProduits
18 sept 2010 · lettre sans changer la valeur de la somme On choisit traditionnellement les lettres i, j, k, etc pour les indices de sommes • Dans une somme, la
recurrence
k=1 k (k + 1) 3 Simplifiez l'expression de Wn = n ∏ k=2 (1 − 1k2 ) Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice, calculez les sommes suivantes 1 Sn = n
exo
27 fév 2017 · Propriété 2 : Changement d'indice L'expression à l'aide du symbole C n'est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents
symboles somme produit
Le changement de variable permet de mieux comprendre que la somme variable varie de 0 à n − 2 et une symétrie d'indices où la nouvelle variable varie de
sigma binome
uk est le terme général de la somme ou du produit Lorsque I est vide on pose, Avec les changements d'indice k = k − m et k = n − k, on a n ∑ k=m uk + n ∑
Feuilletage
Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p. X k=2.
Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p. X k=2.
S'il vous reste un indice dans l'expression après le calcul de la somme Le principe des sommes télescopiques s'appuie sur le changement d'indices.
27 fév. 2017 Propriété 2 : Changement d'indice. L'expression à l'aide du symbole C n'est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents ...
(noter le changement d'indice) ce qui permettrait assez facilement de terminer le calcul de la somme. En pratique les changement d'indices sont de deux
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique —. Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes.
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Sommes
30 déc. 2018 Passons `a la somme des premiers termes d'une suite arithmétique. La formule littérale est alors ... Le changement d'indice l = n ? k donne.
Sommes. Soit n0 et n deux entiers et a0
un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé • un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l
En pratique les changement d'indices sont de deux formes : — une translation comme j = i + 2 — une symétrie comme j = ?i + 2 15
Utilisez une méthode analogue pour retrouver les valeurs des sommes Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes
18 sept 2010 · La somme est l'opération la plus élémentaire qui soit en mathématiques vous l'utilisez d'aileurs fréquemment depuis une bonne dizaine d'années
19 sept 2022 · Pour faire un changement d'indices il faut des entiers consécutifs et le même nombre de termes dans les deux sommes Démonstration
Le principe des sommes télescopiques s'appuie sur le changement d'indices La méth- ode en elle-même est très simple La vraie difficulté est d'y penser et
Le résultat d'une somme ne peut pas dépendre de l'indice de sommation ça n'aurait aucun sens! Une somme ne dépend que de ses bornes et du terme général sommé
27 fév 2017 · Propriété 2 : Changement d'indice L'expression à l'aide du symbole C n'est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents
6 oct 2019 · Sommation/Exercices/Changement d'indice · 1 Exercice 3-1 · 2 Exercice 3-2 · 3 Exercice 3-3 · 4 Exercice 3-4 · 5 Exercice 3-5 · 6 Exercice 3-6 · 7
Le syst`eme d'indices qui décrit la somme est 1 ? i ? n et i ? j ? n • On synthétise ces conditions : 1 ? i ? j ? n • On les réorganise en ”commençant”
Comment faire un changement d'indice sur une somme ?
un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé Comment faire une somme telescopique ?
Ce que, moi, j'appelle une somme télescopique est une somme s'écrivant sous la forme : q?k=pak+1?ak qui se simplifie donc en aq+1?ap. D'une manière générale, b?k=a(f(k+1)?f(k))=f(b+1)?f(a), tous les autres termes s'étant "télescopés" mutuellement dans la somme.Pourquoi faire un changement d'indice ?
Les calculs de sommes faisant intervenir des changements d'indices sont très utiles en maths (études supérieures), car ils permettent de transformer une lourde expression en un résultat plus concis et donc plus facile à interpréter mathématiquement.- Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on peut se demander s'il s'agit d'une somme ou d'un produit. C'est une somme car : on commence le calcul par la multiplication, elle est prioritaire : 3 × 4 = 12 ; on effectue l'addition : 2 + 12 = 14.
Sommes et produits