On appelle somme télescopique toute somme de la forme (1 ) n k k k p a a+ = Somme de termes consécutifs s’une suite arithmétique (n) n u Î
n la somme 1 kn nk k Su ¦ Montrer que, pour tout entier n non nul, Sn n 1 1 Partie B : somme télescopique Soit (a n) n N une suite de nombres On appelle somme télescopique associée à la suite (a n) la somme 1 0 in ii i aa ¦ 1 a) Calculer, pour tout entier n, la somme 1 0 in ii i aa ¦ b) Soit p un entier naturel fixé, calculer
Soit r la raison de la suite u Pour tout entier naturel k, on a 1 uk − 1 uk+1 = r 1 ukuk+1 En sommant ces égalités, on obtient : r Xn k=0 1 ukuk+1 = Xn k=0 1 uk − 1 uk+1 = 1 u0 − 1 un+1 (somme télescopique) = un+1−u0 u0un+1 = (n +1)r u0un+1 Si r 6= 0, on obtient Xn k=0 1 ukuk+1 = (n +1) u0un+1, et si r =0, u est constante et le
Exercice 3 On considère la suite (u n) n∈N définie par : u0 =0et ∀n∈ N,u n+1 =u n+n+1 À l’aide d’une somme télescopique, exprimer u n en fonction de n Exercice 4 1 Déterminer deux réels aet btels que pour tous réels xde Rr{−1;0}, 1 x(x+1) = a x+1 + b x 2 En déduire une expression en fonction de nde Xn k=1 1 k(k+1
(c) On peut faire une récurrence ou faire apparaître une somme télescopique vn −v0 = n k=1 (vk −vk−1) ln(2) n k=1 1 2k ln(2) 1 2 1−1 2n 1−1 2 ln(2) 1− 1 2n 2 ln(2) On en déduit : ∀n∈ N, vn 2ln(2)+v0 (d) On a donc (vn) croissante, et (vn) majorée par 2ln(2)+v0 On en déduit que la suite (vn) est convergente 4
Puisque la suite (an) converge (vers 0), la série est donc convergente et sa somme vaut : a2 −0 =ln( 2) −ln( 1) =ln( 2) Remarque : la convergence de la série pouvait être obtenue simplement avec un équivalent 4 On peut s’inspirer d’une situation déjà rencontrée et chercher à mettre un sous forme télescopique
19 Faire apparaître une somme télescopique 20 1 Donner un équivalent du terme général 2 Raisonner par équivalence en appliquant tan 3 Faire apparaître une somme télescopique 21 Faire apparaître une somme télescopique 22 Exprimer la somme partielle et dériver l’expression obtenue
Trouver une suite d’entiers relatifs (vk)k˚1 telle que 8k ˚2, k3 ¡1 k3 ¯1 ˘ k¡1 k¯1 £ vk vk¡1 2 En déduire une simplification de un 3 En déduire la limite de un lorsque n tend vers l’infini LLG \PCSI2 Exercices3 \4
< I) Conclure On en déduit par le théorème d'encadrement que la suite (un) converge vers O — (somme télescopique) — — — 4 Puis en sommant l'encadrement du a) pour k variant de 1 à n — 1, on : E -1) < '2(n — 1) + n4=1 — < 4 + 2(n — 1) + On conclut en remarquant que 2(n — 1) 4-4 = 2(n 4- 1)
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Les symboles somme et produit - lyceedadultesfr
1 LE SYMBOLE SOMME Σ 1 3 Sommes télescopiques Théorème 1 : Sommes télescopiques Soit une suite (an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ∀n, p ∈ N, p 6n, n ∑ k=p (a k+1 −a k)=an+1 −ap Remarque : n ∑ k=0 (a k+1 −a k)=an+1 −a0 et n ∑ k=0 (b k −b k+1)=b0 −bn+1 Démonstration : On pose : Sn = n ∑ k=p (a k+1 −a k) • On utilise la linéarité : Sn = n ∑ k=p aTaille du fichier : 102KB
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Exo7 - Cours de mathématiques
Une somme télescopique est une série de la forme X k>0 (ak+1 ak) Cette série est convergente si et seulement si ‘:= limk+1ak existe et dans ce cas on a : +X1 k=0 (ak+1 ak) = ‘ a0 Démonstration Sn = Xn k=0 (ak+1 ak) = (a1 a0)+(a2 a1)+(a3 a2)+ +(an+1 an) = a0 +a1 a1 +a2 a2 + +an an +an+1 = an+1 a0 Voici un exemple très important pour la suite Exemple 3 La série +X1 k=0 1Taille du fichier : 260KB
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Chapitre 1- Les suites numériques
n la somme 1 kn nk k Su ¦ Montrer que, pour tout entier n non nul, Sn n 1 1 Partie B : somme télescopique Soit (a n) n N une suite de nombres On appelle somme télescopique associée à la suite (a n) la somme 1 0 in ii i aa ¦ 1 a) Calculer, pour tout entier n, la somme 1 0 in ii i aa ¦ b) Soit p un entier naturel fixé, calculer, pour tout entier n, tel que:npt,
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Sommes, produits, récurrence
la forme du terme général de la suite (par exemple en calculant ses premiers termes) aanvt de pouvoir véri er la formule par récurrence 3 Sommes télescopiques, sommes doubles et produits 3 1 Sommes télescopiques Le concept de somme télescopique ne fait rien
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I Intervalles d’entiers
Définition : Somme télescopique Soient deux entiers m ˙n On dit que S ˘ Xn k˘m ak est une somme télescopique si l’on peut trouver une suite (uk) telle que pour tout entier k, ak ˘uk¯1 ¡uk C’est-à-dire S ˘ Xn k˘m (uk¯1 ¡uk) Valeur d’une somme télescopique Soit S ˘ Xn k˘m (uk¯1 ¡uk) une somme télescopique Alors Xn k˘m
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Planche no 32 Séries numériques : corrigé
(somme télescopique) =sin (2n +1)t 2 −sin t 2 Par suite, si t ∈]0,π]de sorte que 2sin t 2 6= 0, fn(t)= sin (2n +1)t 2 2sin t 2 − 1 2 et d’autre part, fn(0)=n 3) Pour t ∈]0,π], t2 2π −t fn(t)= t2 2π −t 2sin t 2 sin (2n +1)t 2 − 1 2 t2 2π −t Pour t ∈]0,π], on pose alors g(t)= t2 2π −t 2sin t 2
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9782340-021112 001 livre - Éditions Ellipses
n la somme 1 kn nk k Su ¦ Montrer que, pour tout entier n non nul, Sn n 1 1 Partie B : somme télescopique Soit (a n) n N une suite de nombres On appelle somme télescopique associée à la suite (a n) la somme 1 0 in ii i aa ¦ 1 a) Calculer, pour tout entier n, la somme 1 0 in ii i aa ¦ b) Soit p un entier naturel fixé, calculer, pour tout entier n, tel que:npt,
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Séries numériques Chap 02 : cours complet
Théorème 1 4 : convergence d’une série télescopique Une série télescopique réelle ou complexe ∑un, avec : ∀ n ∈ , u n = a n+1 – a n, converge si et seulement si (a n) est une suite convergente Dans ce cas, on a : ∑ +∞ = →+∞ − = 0 ( lim) 0 n n n n a a u Démonstration : Soit (S n) la suite des sommes partielles de la série ∑un Taille du fichier : 83KB
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Le binôme Les symboles et Õ - Exo7
(a)Calculer la suite (u n 3) n2N (b)Calculer ån k=0 u k Correction H [005142] Exercice 7 Sommes télescopiques Calculer les sommes suivantes : 1 (**) ån k= 1 1 k( +1) et å n k=1 1 k( +)( 2) 2 (***) Calculer S p =ån k=1 k p pour n 2N et p 2f1;2;3;4g(dans chaque cas, chercher un polynôme P p de degré p+1 tel que P p(x+1) P p(x)=xp) 3 (**) Calculer ån k=1 arctan 1 k2+k+1Taille du fichier : 215KB
On appelle somme télescopique toute somme du type suivant En français, la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égal au produit de la
SommesProduits
18 sept 2010 · être devrais-je dire plutôt pour les suites, puisqu'il s'agit du premier thème faisant 3 Sommes télescopiques, sommes doubles et produits
recurrence
1 7 Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou d'une suite Cette somme rentre dans le cadre général des sommes télescopiques qui sera
sigma binome
27 fév 2017 · LE SYMBOLE SOMME r 1 3 Sommes télescopiques Théorème 1 : Sommes télescopiques Soit une suite (an) une suite de nombres réels ou
symboles somme produit
On peut aussi trouver une forme de la somme des termes de la suite (un) En effet par On appelle somme télescopique toute somme qui prend la forme : n ∑
sommes produits
On dit qu'on a une somme télescopique Schématiquement, on peut retenir la formule suivante pour la somme des termes d'une suite arithmétique : n X k=p
fetch.php?media=mat :cours: hk sommes
pour tout n ∈ N, la somme partielle d'indice n associée à la suite (un) : Lorsqu' on reconnaît une série télescopique, la règle est toujours d'étudier les sommes
fetch.php?media=mat :cours: kk series
12 oct 2013 · Proposition 1 1 27 (calcul des sommes téléscopiques) Soit ∑(bk+1 − bk) une somme téléscopique Alors : n ∑ k=0 (bk+1 − bk) = bn+1
coursMPSI fondements
Exemple. Le calcul de la somme géométrique donné plus haut faisait aussi intervenir une somme télescopique. Exemple. Soit r ? R et u
est la suite des entiers naturels impairs. Proposition I.5 (somme et produit télescopique) ... Or le premier terme est une somme télescopique. Donc.
27 févr. 2017 LE SYMBOLE SOMME r. 1.3 Sommes télescopiques. Théorème 1 : Sommes télescopiques. Soit une suite (an) une suite de nombres réels ou complexes ...
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
pour tout n ? N la somme partielle d'indice n associée à la suite (un) : Lorsqu'on reconnaît une série télescopique
On dit qu'on a une somme télescopique Schématiquement on peut retenir la formule suivante pour la somme des termes d'une suite arithmétique :.
16 mars 2020 2.2 Séries télescopiques . ... Comme
Réciproquement si on veut étudier une suite (ak)k?0 on peut utiliser le résultat suivant : Proposition 3. Une somme télescopique est une série de la forme.
13 déc. 2011 On reconnait une somme télescopique dans la somme partielle : ... Comme un tend vers 0 la suite vn diverge vers ?? quand n tend vers +?
5 juin 2014 Rien d'évident ici mais on sait que la suite (Fn) est récurrente linéaire d'ordre 2
18 sept 2010 · Nous allons donc la présenter sur un exemple Exemple : La somme télescopique consiste à constater que la différence de deux sommes ayant
On dit qu'on a une somme télescopique Schématiquement on peut retenir la formule suivante pour la somme des termes d'une suite arithmétique :
Exemple 12 : Calculer la somme des nombres impairs de 1 à 99 en utilisant une suite arithmétique Soient (un)n?N une suite de réels ou de complexes et q ? K
27 fév 2017 · Exemples : Les sommes télescopiques sont une méthode très efficace pour calcu- ler la somme des termes d'une suite (un) Il s'agit de trouver
Le calcul de la somme géométrique donné plus haut faisait aussi intervenir une somme télescopique Exemple Soit r ? R et u la suite définie par u0 ? R
Somme téléscopique 8 mars 2022 cas fini de la somme il suffit de prendre le nombre de termes et de le diviser par le produit du
On appelle somme télescopique toute somme du type suivant En français la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égal au produit de la
La suite (Sn) s'appelle aussi la suite des sommes partielles Exemple 1 Fixons q ? Une somme télescopique est une série de la forme
On considère donc la suite (Sn) définie pour n ? 2 par Sn = 1 × 2+2 × 3 + ··· + (n ? 1) × n On reconnaîtra ensuite une somme télescopique
21 sept 2022 · La somme u0 + u1 + + un des n + 1 premiers termes de la suite (uk) On parle dans ce cas de sommes téléscopiques a Illustration
Comment calculer la somme d'une série telescopique ?
D'une manière générale, b?k=a(f(k+1)?f(k))=f(b+1)?f(a), tous les autres termes s'étant "télescopés" mutuellement dans la somme.Comment calculer la somme dans les suites ?
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.Comment Ecrire la somme d'une suite ?
En règle générale, on utilise la première version si �� < 1 et la seconde si �� > 1 . Si �� = 1 , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : �� = �� × �� ? .- Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on peut se demander s'il s'agit d'une somme ou d'un produit. C'est une somme car : on commence le calcul par la multiplication, elle est prioritaire : 3 × 4 = 12 ; on effectue l'addition : 2 + 12 = 14.
Sommes et produits