Proposition 11 7 (Inégalité de Jensen généralisée) Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé, B une tribu incluse dans A et X une v a r de carré intégrable Soit ϕ une
poly proba
E[XkB] = lim inf E[XnB] Pour les derniers points (convergence dominée conditionnelle et inégalité de Jensen conditionnelle) il suffit de reprendre les
ProbaAgreg COURS EspCond Mart
ce cas, l'espérance conditionnelle de X sachant G par la relation Propriété 1 3 [ Inégalité de Jensen] Soient ϕ : IR → IR convexe, X ∈ L1(Ω, F, IP) une var et G
esp cond mart
Proposition (Inégalité de Jensen) Soient X une v a intégrable et G une sous- tribu de F Soit g : R −→ R une fonction convexe telle que E[
EsperanceConditionnelle screen
tandis que l'espérance conditionnelle de S sachant X1 est 3, 5X1 propriétés que l'espérance (linéarité, positivité, inégalité de Jensen, théor`emes de conver-
proba alfonsi
En effet, (Mn) est adapté d'apr`es la définition de l'espérance conditionnelle, ce qui donne (i) Pour tout n, Mn ≤ E( ξ ¿n) par l'inégalité de Jensen (version
ch
inégalité de Jensen, 8 de Kolmogorov, 19 de moments de Doob, 20 et S une sous-tribu de J On appelle espérance conditionnelle de Z sachant S, l'unique
Mrt
l'espérance conditionnelle de X sachant G si X est intégrable ou si X est Pour tout n, Xn ≤ E( ξ Fn) par l'inégalité de Jensen (version conditionnelle)
M poly shi
L'inégalité ∫ fn − ∫ f ≤ ∫ fn − f permet alors de conclure 5 Inégalité de Jensen Théorème 4 2 Espérance conditionnelle par rapport à une tribu
RappelsProbas
Définissons maintenant l'espérance conditionnelle de X sachant Z comme la variable (Par Jensen juste apr`es, on déduit que E(Xn G) → E(X G), p p 8
CoursTD
Proposition 11.7 (Inégalité de Jensen généralisée). Soit (?A
Proposition (Inégalité de Jensen). Soient X une v.a. intégrable et G une sous-tribu de F. Soit g : R ?? R une fonction convexe telle que E[
Pour les derniers points (convergence dominée conditionnelle et inégalité de Jensen conditionnelle) il suffit de reprendre les démonstrations faites dans le
encore une inégalité un résultat de convergence
(anbn) de couples de réels telle que ?x ? R
On appelle espérance conditionnelle de X (on la note E !X = 5" ou E& !X") sa projection Proposition 3:(inégalité de Jensen au conditionnel).
1.5.8 A propos de l'inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 1.5.9 Espérance conditionnelle et meilleure approximation Fn-mesurable.
Propriétés de l'espérance conditionnelle. (2.1a) Linéarité. (2.1d Inégalité de Jensen) ... Montrer l'inégalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le.
et S une sous-tribu de J. On appelle espérance conditionnelle de Z sachant S l'unique Il suffit maintenant d'appliquer l'inégalité de Jensen.
11.3 Propriétés spécifiques de l'espérance conditionnelle . Théor`eme 4.1.2 (Inégalité de Jensen) Supposons que µ est une mesure de probabilité.
1 3 Propriétés fondamentales de l’espérance conditionnelle Propriété1 3[Inégalité de Jensen]Soient’: IR!IRconvexe X2L1(;F;IP) unevaret Gunesous-tribu
La fonction inverse est convexe donc l’inégalité de Jensen conditionnelledonne E M 1 n+1 jF n E[M n+1jF n] 1 = M 1 n; donc(M 1 n) n 0 estbienunesous-martingale DeplussiM n+1 n’estpasF n-mesurable(cequi doit être le cas en pratique) alors l’inégalité est stricte En?n si M n est la valeur en euros d’undollaralorsM 1
Espérance conditionnelle 1 Introduction Pour de nombreux problèmes concrets (prédiction observation incomplète etc ) il est important de pouvoir estimer une variable aléatoire sur laquelle on n’a qu’une information partielle Dès lors on comprendl’importancedelanotiond’espéranceconditionnelle
P p s On parlera alors de Y comme (d’une version) de l’esp´erance conditionnelle et on la notera E(XG) Avant d’entamer la preuve de l’existence de l’esp´erance conditionnelle faisons quelques re-marques Notations 1) Quand on consid`ere au lieu de G la tribu engendr´ee par une variable al´eatoire Z(resp
(inégalité de convexité généralisée) Considérations générales : Une démonstration classique mais riche en passages techniques et intéressants Correction : 1) On nous demande tout simplement de généraliser l’inégalité de convexité (qui compare
les atomes de la partition associ´ee a la tribu F toute combinaison lin´eaires ?X + µY pour ? et µ r´eels quelconques est encore F-mesurable Proposition 3 3 Soient X une v a et F une tribu L’esp´erance conditionnelle de X par rapport a la tribu F est la projection orthogonale de X sur le sous espace G des v a F-mesurables
Comment calculer l’espérance conditionnelle?
Donner l’expression de E[Z|X,Y], espérance conditionnelle de Z sachant (X,Y )? 6. En déduire une variable aléatoire T = aX + bY +cZ +d qui soit indépendante de X et Y. Préciser la variance de T. 7. On observe Y = 1 et Z = 2. Quelle est la loi de la variable aléatoire X sachant ces données? IV.
Est-ce que l’espérance conditionnelle est linéaire?
Tout comme l’espérance classique, l’espérance conditionnelle est linéaire. La dernière propriété est assez spectaculaire : du point de vue de l’espérance conditionnelle, toute fonction de la variable aléatoire X se comporte comme une constante, on peut donc la sortir du crochet.
Comment interpréter l’espérance conditionnelle 21?
Interprétation géométrique de l’espérance conditionnelle 21 Dans ce cadre, dire que les variables aléatoires X et Y sont orthogonales pour le produit scalaire h.,.i signi?e que E[XY] = 0. Dans le cas de variables centrées, l’orthogonalité correspond donc à la non-corrélation.
Qu'est-ce que les espérances conditionnelles?
1 Espérances conditionnelles Cette notion sert à modéliser la réponse à la question suivante : si X est une v.a.r. liée à une certaine expérience, que sait-on d’elle si l’on n’a pas toute l’infor- mation (donnée par la tribu A des événements, mais seulement une information partielle (donnée par une sous-tribu B? 1.1 Dé?nition
Espérance conditionnelle et martingales