Quel est la différence entre fonction et application ?
De mémoire, en théorie des ensemble une application est définie pour tous les éléments de l'ensemble sur lequel elle s'applique, alors que pour une fonction chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second.
Est-ce qu'une fonction est une application ?
Une fonction et une application sont essentiellement la même chose.
Dans mon expérience, la distinction relève de la théorie des ensembles, où une fonction est formellement décrite comme un graphe fonctionnel, c'est-à-dire un ensemble de couples , tel que si et sont dans , alors .1 août 2022Comment savoir si une fonction est une application ?
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est injective, on peut démontrer :
1que pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) , d'inconnue x∈E x ∈ E , admet au plus une solution;2que pour tous x,x′∈E x , x ′ ∈ E , l'équation f(x)=f(x′) f ( x ) = f ( x ′ ) entraine que x=x′ ;En troisième, on ne voit que trois types de fonctions :
La fonction constante, par exemple f(x)=5.
La fonction constante associe toujours le même nombre à x, quelque soit la valeur de x que l'on choisit. La fonction linéaire, par exemple f(x)=2x. La fonction affine, par exemple f(x)=2x+3.
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Fonctions et ApplicationsUniversité de ToulouseAnnée 2020/20211 / 13Notion de fonctionFonctionUnefonctionf:E!F(deEdansF) est définie par un sous-ensembledeGfEFtel que pour toutx2E, il existe au plus uny2Ftel que(x;y)2Gf, on note y=f(x).Exemple 1 :SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.On définit la fonctionfpar le graphe :Gf=f(1;a);(2;c);(4;a)g EFAutrement ditf:E!F17!a27!c47!aExemple 2 :H=f(1;a);(2;c);(4;a);(1;b)g EFn"est pas le graphe d"unefonctionIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions2 / 13Comment définir une fonctionTable de valeurDiagramme de VennFormule algébriqueCourbeAlgorithmeIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13Comment définir une fonctionTable de valeurDiagramme de VennFormule algébriqueCourbeAlgorithmeEabcdeF1234Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13Comment définir une fonctionTable de valeurDiagramme de VennFormule algébriqueCourbeAlgorithmef:?!?x7!3x2+2x5Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13Comment définir une fonctionTable de valeurDiagramme de VennFormule algébriqueCourbeAlgorithme051015202468Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13Comment définir une fonctionTable de valeurDiagramme de VennFormule algébriqueCourbeAlgorithmeIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13Ensemble imageEnsemble imageSoitf:E!Fune fonction deEdansF.Image :f(x)est l"imagedexEnsemble image deAE:f(A) =fy2Ftel que9x2Avérifiantf(x) =yg=fy2Ftel que9x2Avérifiant(x;y)2GfgEnsemble image def:Im(f) =f(E) =fy2F:9x2Etel quef(x) =ygExemple :SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit parGf=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF.
On a :f(f1g) =fagf(f1;4g) =fagf(f3g) =;f(f1;2;3g) =fa;cgIm(f) =fa;cgIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 13PréimageEnsemble imageSoitf:E!Fune fonction deEdansF.Antécédent :xest l"antécedentdeysiy=f(x)Préimage deBF:f1(B) =fx2Etel que9y2Bvérifiantf(x) =yg=fx2Etel que9y2Bvérifiant(x;y)2GfgDomaine de définition def:Dom(f) =f1(F) =fx2E:9y2Ftel quef(x) =ygExemple :SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit parGf=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF.
On a :f1(fag) =f1;4gf1(fa;cg) =f1;2;4gf1(;) =;f1(fbg) =;Dom(f) =f1;2;4gIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions5 / 13ApplicationApplicationUne fonctionf:E!Fest une application siDom(f) =E.Exemple :SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g EFdéfinit une fonction deEdansFmais pas une application.SoitE0=f1;2;4getF=fa;b;cg.Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g E0Fdéfinit une fonction deE0dansFqui est une application deE0dansF.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions6 / 13CompositionCompositionLafonction composéedef:E!Fparg:F!Gest définie pargf(x) =g(f(x))Dom(gf) =fx2Dom(f) :f(x)2Dom(g)gFabcdeG1234EfggfPropriétésEn généralfg6=gf.Associativité :(fg)h=f(gh).Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions7 / 13InjectionsFonction injectivef:E!Festinjectivesi touty2Fadmet au plus un antécédent.Autrement dit :8x1;x22Eon af(x1) =f(x2) =)x1=x2FEabcdefExemple :Code ASCII, Code INSEE Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions8 / 13SurjectionsFonction surjectivef:E!Festsurjectivesi touty2Fadmet au moins un antécédent.Autrement dit :Im(f) =f(E) =F.EabcdeF1234gIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions9 / 13BijectionsApplication bijectivef:E!Fest une applicationbijectivesi touty2Fadmet exactementun antécédent.Autrement dit :fest une application injective et surjective.EabcdF1234gIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions10 / 13BijectionsApplication réciproqueL"applicationf:E!Fest bijective si et seulement si il existe uneapplicationg:F!Etelle quefg=IdFetgf=IdE.Sifest bijective, l"applicationgest unique, c"est l"application réciproquede l"applicationf, notéef1.Composée de deux bijectionsSoientf:E!Fetg:F!Gdeux applications bijectives.
La composéegfest bijective et(gf)1=f1g1:Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions11 / 13SuitesSoit?un ensemble, unesuite à valeurs dans?est une application de?dans?.On note??l"ensemble des suite à valeurs dans?.Etant donnée une suiteu2??, on note souventunlenèmeélément de lasuite etu= (un)n2?.Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions12 / 13Fonctions caractéristiquesFonctions caractéristiquesSoientAon définit lafonction caractéristiquede l"ensembleApar1A: ! f0;1gx7!(1six2A0six=2APropriétésSoientA;B2 P(), pour toutx2, on a :1A\B(x) =1A(x)1B(x)1A[B(x) =1A(x) +1B(x)1A\B(x)1A(x) =11A(x)Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions13 / 13