[PDF] Un lemme de descente - Arnaud BEAUVILLE et Yves LASZLO

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G´eom´etrie alg´ebrique/Algebraic Geometry

Un lemme de descente

Arnaud BEAUVILLEet Yves LASZLO

R´esum´e- Soient A un anneau,fun ´el´ement simplifiable de A ,?A le s´epar´e compl´et´e de A pour la topologie (f)-adique. Nous prouvons que la donn´ee d"un fibr´e vectoriel sur Spec(A) ´equivaut `a celle d"un fibr´e sur l"ouvertf?= 0 de Spec(A) et sur Spec( ?A) , et d"un isomorphisme de leurs images r´eciproques sur l"ouvertf?= 0 de Spec(?A) .

A descent lemma

Abstract- Let A be a ring,fa nonzero divisor in A ,?A the completion of A for the (f)-adic topology. We prove that the data of a vector bundle on Spec(A) is equivalent to the data of a vector bundle on the open subsetf?= 0 of Spec(A) and on Spec(?A) , together with an isomorphism of their pull back to the open subsetf?= 0 of Spec(?A) . Abridged English Version:Let A be a ring,fa nonzero divisor in A,?A the completion of A for the (f)-adic topology. We denote by Afand?Afthe ring of fractions A[1/f] and?A[1/f]. To any A-module we can associate an Af-module F = M f, an?A-module G =?A?AM and an?Af-isomorphism?:?A?AF→Gf. Conversely, can we recover an A-module from the data (F,G,?)? This turns out to be true under the assumption that M isf-regular, i.e. that the homothetyfM is injective:

THEOREM.-Suppose given:

- anAf-moduleF; - anf-regular?A-moduleG; - an ?Af-linear isomorphism?:?A?AF-→Gf. Then there exists af-regularA-moduleMand isomorphismsα: Mf-→F,

β:?A?AM-→Gsuch that?is the composition of

A?AF1?α-1----→?A?AMfβ

f----→Gf. The triple(M,α,β)is uniquely determined up to a unique isomorphism. IfFandGare finitely generated(resp.flat,resp.projective and finitely generated), thenMhas the same property. Though this looks like a classical descent problem, it does not seem to follow directly from Grothendieck"s faithfully flat descent theory: if A is not noetherian, the map A→?A is not flat. Proof: Put B = Af×?A, and letρ: A→B be the canonical map. The homomor- phismρisfaithful, which means that for each nonzero A-module M the B-module 1 B?AM is nonzero. This implies that a homomorphismu: M→N is surjective if and only ifu(B): M(B)→N(B)is surjective. Let us prove the unicity first. The canonical map A f/A→?A?A(Af/A) is easily seen to be an isomorphism. Therefore we have an exact sequence

0→A-→Af-→?Af/?A→0.

Let (M,α,β) be a triple as in the Theorem. Since M isf-regular one has Tor A1(A/fnA,M) = 0 for eachn, and therefore TorA1(Af/A,M) = 0, so we get an exact sequence Using the isomorphismsαandβwe can write this as

0→M-→F?-→Gf/G→0,

where?is deduced from?in the obvious way. This implies the unicity assertion.

Conversely, starting from a triple (F,G,?), we consider the A-linear map?: F→Gf/G deduced from?; we claim that it is surjective. Sinceρis faithful

and A f?A(Gf/G) = 0, it is enough to check this after tensor product with?A. But 1 ?A??:?A?AF-→Gf/G is the composition of the isomorphism?and the canonical surjectionπ: Gf→Gf/G, hence our assertion. We put M = Ker?, so that we have an exact sequence

0→Mi-→F?-→Gf/G→0.

By tensor product with A

fwe see thatif: Mf→F is an isomorphism: we denote it byα. One checks that TorA1(?A,Gf/G) = 0, so tensor product with?A gives an exact sequence therefore the mapβ:=?◦(1?A?i) is an isomorphism of?A?AM onto G. By constructionβf◦(1?A?α-1) coincides with?. The last assertions can be deduced without difficulty from the fact thatρis faithful.Remarks.-1) In categorical terms, the theorem can be formulated in the following elegant way (due to [F-R]). For each ring R, let us denote byM(R) the category of R-modules; forf?R, letMf(R) be the full subcategory ofM(R) whose objects are thef-regular R-modules. Thenthe diagram of categories 2

Mf(A)--→Mf(?A)

M(Af)--→M(?Af)

where the arrows are the natural base extension functors,is cartesian.

2) The theorem can be easily generalized to a global situation. Let us just

mention here the following corollary, which was our original motivation (the proof we gave in [B-L] is rather sketchy). Let X be an algebraic curve over a fieldk,pa smooth rational point of C ,za local coordinate atp, R ak-algebra. Thenthere is a functorial bijection between the set of isomorphism classes of triples(E,τ,σ), whereEis a rankrvector bundle onXRandτ,σtrivializations ofEover (Xp)RandDRrespectively, and the groupGLr?R((z))?.

Version fran¸caise:

1. INTRODUCTION. - Soient A un anneau commutatif,fun ´el´ement simplifiable

de A, ?A le s´epar´e compl´et´e de A pour la topologie (f)-adique. Notons comme d"habitude A fet?Afles anneaux de fractions A[1/f] et?A[1/f]. A chaque A- module M on associe un A f-module F = Mf, un?A-module G =?A?AM et un ?Af-isomorphisme?:?A?AF→Gf. Dans cette note nous consid´erons le probl`eme inverse: peut-on reconstruire un A-module `a partir des donn´ees (F,G,?)? Il s"agit d"un probl`eme de descente tel que l"on en rencontre fr´equemment en g´eom´etrie alg´ebrique, o`u ce genre de technique joue un rˆole fondamental. Cepen- dant, comme nous l"ont fait observer V. Drinfeld et M. Rapoport, l"´enonc´e ne ren- tre pas directement dans le cadre de la descente fid`element plate d´evelopp´ee par A. Grothendieck. Dans celle-ci, la donn´ee de descente sur F×G n"est pas constitu´ee seulement de l"isomorphisme?, mais aussi d"un isomorphisme?A?AG→G?A?A. Plus s´erieusement, si A n"est pas noeth´erien, l"homomorphisme A→?A n"est pas n´ecessairement plat

1, ce qui exclut tout recours `a la descente fid`element plate.

Il est possible que l"´enonc´e r´esulte d"une g´en´eralisation convenable de la th´eorie

de Grothendieck. Nous nous contenterons ici d"une solution ´el´ementaire du probl`eme

sp´ecifique que nous venons de d´ecrire. Cette approche ´etait d´ej`a indiqu´ee dans [B-L,

prop. 1.4], mais dans un cadre plus restreint, et avec fort peu de d´etails; c"est ce qui nous a sembl´e justifier cette note.1Voir remarque 4 ci-dessous. 3

2. HOMOMORPHISMES FID`ELES. - Nous conservons les notations de l"introduction,

qui se r´esument dans le diagramme suivant

A-→?Af????

A-→Af.

Il est important de remarquer quel"´el´ementfest encore simplifiable dans?A; on peut le voir par exemple en ´ecrivant l"homoth´etief?Acomme la limite du syst`eme projectif d"applications injectives A/fnA×f-→A/fn+1A. Rappelons que par con- struction de ?A, l"homomorphisme A→?A induit pour toutnunisomorphisme

A/fnA-→?A/fn?A.

Disons qu"un homomorphisme d"anneauxρ: A→B estfid`elesi pour tout

A-module non nul M le B-module B?AM est non nul.

Lemme1.-SoitMunA-module dont tout ´el´ement est annul´e par une puissance def. Alors l"application canoniqueM→?A?AMest bijective. En particulier, l"homomorphismeρ: A-→Af×?Aest fid`ele. Pour tout entiern, notons M(n) le sous-module de M form´e des ´el´ements annul´es parfn. Puisque l"homomorphisme A/fnA-→?A/fn?A est bijectif, l"appli- cation canonique M(n)-→?A?AM(n) est un isomorphisme pour toutn; on en d´eduit la premi`ere assertion du lemme par passage `a la limite inductive. Comme l"hypoth`ese sur M ´equivaut `a M

f= 0, la seconde assertion en r´esulte.Certaines propri´et´es de finitude descendent par un homomorphisme fid`ele:

Lemme2.-Soientρ: A→Bun homomorphisme fid`ele,M,NdeuxA-modules, u: M→Nune applicationA-lin´eaire. a)Siu(B): M(B)→N(B)est surjective, il en est de mˆeme deu. b)Si leB-moduleM(B)est de type fini, leA-moduleMest de type fini. c)SiMest plat et leB-moduleM(B)de pr´esentation finie,Mest de pr´esentation finie (donc projectif). a) Le B-module Cokeru(B)est canoniquement isomorphe `a (Cokeru)(B), d"o`u a); l"assertion b) r´esulte de a). Sous les hypoth`eses de c), M est de type fini (par b)); consid´erons une presentation

0→R→An→M→0.

Comme M est plat, on obtient par produit tensoriel avec B une suite exacte

0→R(B)→Bn→M(B)→0.

4 Puisque M(B)est de pr´esentation finie, R(B)est de type fini, donc R est de type fini par b).3. LE R´ESULTAT PRINCIPAL. - Soit M un A-module; nous supposerons que M est f-r´egulier, c"est-`a-dire que l"homoth´etiefMest injective. Alors TorA1(M,A/fA) est nul, de sorte que le ?A-module?A?AM est aussif-r´egulier. Les?Af-modules ?A?AM)fet?A?AMfsont naturellement isomorphes. R´eciproquement:

TH´EOR`EME.-Supposons donn´es:

- UnAf-moduleF; - un ?A-modulef-r´egulierG; - un isomorphisme ?Af-lin´eaire?:?A?AF-→Gf. Il existe alors unA-modulef-r´egulierMet des isomorphismesα: Mf-→F, β:?A?AM-→Gtels que?soit l"application compos´ee

A?AF1?α-1----→?A?AMfβ

f----→Gf. Le triplet(M,α,β)est unique `a un isomorphisme unique pr`es. SiFetGsont de type fini(resp.plat,resp.projectifs de type fini),Ma la mˆeme propri´et´e. Prouvons d"abord l"assertion d"unicit´e. D"apr`es le lemme 1 l"application cano- nique A f/A→?A?A(Af/A) est un isomorphisme; on a donc une suite exacte

0→A-→Af-→?Af/?A→0.

Soit (M,α,β) un triplet poss´edant les propri´et´es de l"´enonc´e. Puisque M est

f-r´egulier, on a TorA1(A/fnA,M) = 0 pour chaquen. Comme Af/A s"identifie `a la limite inductive des A/fnA, on en d´eduit TorA1(Af/A,M) = 0, d"o`u une suite exacte A l"aide des isomorphismesαetβcelle-ci s"´ecrit

0→M-→F?-→Gf/G→0,

o`u?est l"homomorphisme d´eduit de?. L"assertion d"unicit´e r´esulte de l`a. Inversement, partons d"un triplet (F,G,?), et consid´erons l"application A- lin´eaire?: F→Gf/G d´eduite de?; montrons qu"elle est surjective. Comme A f?A(Gf/G) est nul, il suffit d"apr`es les lemmes 1 et 2 de v´erifier que l"application 1 ?A??:?A?AF-→Gf/G est surjective. Or elle est compos´ee de l"isomorphisme ?et de la surjection canoniqueπ: Gf→Gf/G, d"o`u notre assertion. 5 Posons M = Ker?, de sorte qu"on a une suite exacte (1) 0→Mi-→F?-→Gf/G→0.

En prenant le produit tensoriel avec A

fon voit queif: Mf→F est un isomor- phisme: notons-leα. Par le lemme 3 a) ci-dessous, on obtient par produit tensoriel avec ?A une suite exacte

0→?A?AM1?i--→?A?AFπ◦?--→Gf/G→0 ;

par suite l"applicationβ:=?◦(1?A?i) est un isomorphisme de?A?AM sur G. Par constructionβf◦(1?A?α-1) co¨incide avec?. Si F et G sont de type fini, il en est de mˆeme de M par le lemme 2 b).

Supposons que F et G soient plats sur A

fet?A respectivement. Alors F est plat sur A; pour tout A-module T, on d´eduit du lemme 3 b) ci-dessous et de la suite exacte (1) que Tor A1(M,T) est nul, de sorte que M est plat. Si de plus F et G

sont de pr´esentation finie, M est projectif par le lemme 2 c).Lemme3.-SoitGun?A-modulef-r´egulier.

a)On aTorA1(?A,Gf/G) = 0. b)SiGest plat (sur?A), on aTorAi(T,Gf/G) = 0pour toutA-moduleTet i≥2.

Comme G

f/G est la limite inductive des modules G/fnG, il suffit de prouver les deux assertions en rempla¸cant G f/G par G/fnG. L"assertion a) pour G = A r´esulte de la suite exacte (2) 0→Afn-→A-→A/fnA→0. Dans le cas g´en´eral, on choisit une pr´esentation

0→Nj-→(A/fnA)(I)p-→G/fnG→0 ;

alors Tor A1(?A,G/fnG) est isomorphe `a Ker(1?A?j) = Kerj= 0.

Prouvons b). Si G est plat sur

?A, G/fnG est plat sur A/fnA; il en r´esulte facilement que Tor Ai(G/fnG,T) est isomorphe `a (G/fnG)?A/fnATorAi(A/fnA,T) (utiliser une r´esolution plate de T). Mais `a cause de la suite exacte (2), les modules Tor Ai(A/fnA,T) sont nuls pouri≥2.4. REMARQUES ET COMPL´EMENTS Remarques.-1) En termes de cat´egorie, le th´eor`eme admet la traduction ´el´egante suivante (emprunt´ee `a [F-R]). Pour tout anneau R, notonsM(R) la cat´egorie des 6 R-modules; pourf?R, soitMf(R) la sous-cat´egorie pleine deM(R) dont les objets sont les R-modulesf-r´eguliers. Alorsle diagramme de cat´egories M f(A)--→Mf(?A)

M(Af)--→M(?Af)

o`u les fl`eches sont les foncteurs naturels d"extension des scalaires,est cart´esien.

2) Consid´erons le cas particulier o`u F et G sont des modules libres de rang

r; le th´eor`eme signifie alors quela donn´ee d"unA-moduleMet de trivialisations A

rf≂-→Mf,?Ar≂-→?A?AMest ´equivalente `a celle d"un ´el´ement du groupe lin´eaire

GL r(?Af).

3) Supposons que l"anneau quotient B := A/fA soit une alg`ebre formelle-

ment lisse (par exemple lisse) sur un anneauk. L"isomorphisme B→?A/f?A se rel`eve alors en un homomorphisme dek-alg`ebres?: B→?A. L"homomorphisme ˜?: B[[z]]→?A qui ´etend?et appliquezsurfinduit un isomorphisme sur les gradu´es associ´es, donc est lui-mˆeme un isomorphisme dek-alg`ebres. Ainsi l"anneau ?A est isomorphe (non canoniquement) `a l"alg`ebre de s´eries formelles B[[z]], et l"anneau ?Af`a l"anneau B((z)).

4) Peut-on r´ecup´erer tout A-module M `a partir des modules M

f,?A?AM et de l"isomorphisme ?A?AMf→(?A?AM)f? Le th´eor`eme donne une r´eponse positive `a cette question lorsque M estf-r´egulier, et le lemme 1 lorsque tout ´el´ement de M est annul´e par une puissance def. Cependant la r´eponse est n´egative en g´en´eral, car il se peut que l"application canonique M→Mf×(?A?AM) ne soit pas injective. Prenons par exemple pour A l"anneau des germes au voisinage de 0 de fonctions r´eelles de classe C ∞surR, et pourfla fonction identique. L"anneau ?A s"identifie `a l"anneau de s´eries formellesR[[t]], l"homomorphisme A→?A est surjectif et son noyau est l"id´ealpdes germes de fonctions plates. Soit?un ´el´ement simplifiable dep; prenons M = A/?A. Comme?est divisible parfle module M contient des ´el´ements non nuls annul´es parf, qui s"annulent dans Mf et dans ?A?AM≂=?A.

Bien entendu l"anneau

?A n"est pas plat sur A (le A-module TorA1(?A,M) s"identifie `a ?A). Soient X un sch´ema, H?X un diviseur de Cartier effectif. Notons?OX

l"alg`ebre (quasi-coh´erente) compl´et´ee lim←-OX/InH, et?X le X-sch´ema affine Spec?OX.

Posons X

?= XH, et notons?X?le produit fibr´e X?×X?X, de sorte qu"on a un 7 carr´e cart´esien

X?j?--→?X

i ?????i X ?j--→X. Le th´eor`eme se g´en´eralise aussitˆot `a cette situation globale; contentons-nous de l"´enoncer dans le cadre des fibr´es vectoriels: COROLLAIRE.-SoientFetGdes fibr´es vectoriels surX?et?Xrespectivement, et?:i??F→j??Gun isomorphisme. Il existe un fibr´e vectorielEsurXet des isomorphismesα:j?E→F,β:i?E→Gtels que?=j??β◦i??α-1. Le triplet (E,α,β)est uniquement d´etermin´e `a isomorphisme unique pr`es.

Soit (U

ι)ι?Iun recouvrement de X par des ouverts affines dans lesquels H est d´efini par une ´equation. Le th´eor`eme fournit dans chacun des U

ιune solution

(E

ι,αι,βι); l"assertion d"unicit´e entraˆine que ces solutions d´efinissent par recolle-

ment un triplet (E,α,β), unique `a isomorphisme unique pr`es.Exemple([B-L], prop. 1.4).-Soient X une courbe alg´ebrique sur un corpsk,pun

point rationnel lisse de X,zune uniformisante deOp. Pour toutek-alg`ebre R, appliquons ce qui pr´ec`ede au sch´ema X

R:= X×kSpec(R) et au diviseur de Cartier

{p} ×kSpec(R). L"alg`ebre?OXs"identifie `a R[[z]] (remarque ci-dessus); notons D Rson spectre. On d´eduit du corollaireune bijection fonctorielle entre l"ensemble des classes d"isomorphismes de triplets(E,τ,σ), o`uEest un fibr´e vectoriel de rangrsurXRetτ,σdes trivialisations deEau-dessus de(Xp)RetDR respectivement, et le groupeGLr?R((z))?.

BIBLIOGRAPHIE

[B-L] A. BEAUVILLE, Y. LASZLO:Conformal blocks and generalized theta func- tions.Comm. Math. Phys.164, 385-419 (1994). [F-R] D. FERRAND, M. RAYNAUD:Fibres formelles d"un anneau local noeth´erien.

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Math´ematiques, Bˆat. 425,Universit´e Paris-Sud, 91 405 ORSAYCedex 8quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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