[PDF] Lemme Fondamental pour les algèbres de Lie daprès Ngô Bao-Châu

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LEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE

(D"APRÈS NGÔ BAO-CHÂU)

DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN

La formule des traces sur les corps de nombres a été introduite par Selberg, puis développée par Arthur. Parmi les applications importantes de la formule des traces d"Arthur-Selberg, on trouve plusieurs cas du principe de fonctorialité de Langlands et l"expression de la cohomologie des variétés de Shimura en termes automorphes. Cependant, pour beaucoup de ces applications, il est nécessaire de la stabiliser. La stabilisation a été faite par Langlands et Kottwitz pour la partie elliptique modulo une conjecture connue sous le nom "lemme fondamental de Langlands-Shelstad". Récemment Arthur a réussi à stabiliser toute la formule des traces invariante modulo le lemme fondamental pondéré - une version élargie du lemme fondamental. Le lemme fondamental est de nature locale. Etant donnés un groupe réductifGsur un corps local et un groupe endoscopiqueHdeGassocié à une donnée endoscopique

(·;½·), le lemme fondamental est une égalité conjecturale entre la·-intégrale orbitale

deGet l"intégrale orbitale stableH. Plusieurs cas particuliers de cette conjecture ont été prouvés, nous renvoyons le lecteur au [19, Introduction] pour une liste des cas connus. Grâce aux travaux de Waldspurger [21] et Cluckers-Hales-Loeser [5], pour prouver le lemme fondamental, il suffit de démontrer sa variante pour les algèbres de Lie pour les corps locaux d"égales caractéristiques dont la caractéristique peut être supposée très grande par rapport au groupe réductifGen question. Voici l"énoncé de cette variante [19, Introduction]: Théorème(Lemme fondamental pour les algèbres de Lie). Soientkun corps fini àqéléments,Oun anneau de valuation discrète complet de corps résiduelketFson corps des fractions. SoitGun schéma en groupes réductifs au-dessus deOdont l"ordre du groupe de Weyl n"est pas divisible par la caractéristique dek. Soient(·;½·)une donnée endoscopique deGau-dessus deO etHle schéma en groupes endoscopiques associé. On a l"égalité entre la·-intégrale orbitale et l"intégrale orbitale stable

G(a)O·a(1g;dt) = ¢H(aH)O·a(1h;dt)

associées aux classes de conjugaison stable semi-simples régulièresaetaHdeg(F) eth(F)qui se correspondent, aux fonctions caractéristiques et des compactsg(O)et h(O)dansg(F)eth(F)et où on a noté G(a) =q¡val(DG(a))=2;¢H(a) =q¡val(DH(aH))=2; D G,DHétant les fonctions discriminant deGet deH. 1

Date: 18 février 2009.

1

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Kazhdan et Lusztig ont remarqué que les intégrales orbitales apparaissent na- turellement dans les comptages des points des fibres de Springer affines. Ainsi, l"intégrale orbitale admet une interprétation en termes de la géométrie. Puis Goresky, Kottwitz, MacPherson ont donné une interprétation géométrique du lemme fonda- mental en utilisant la cohomologie équivariante des fibres de Springer affines [9]. Modulo une conjecture de pureté, ils ont réussi à démontrer le lemme fondamen- tal dans un cas particulier dit nonramifié. Toujours sous l"hypothèse de la validité de la conjecture de pureté, par un argument de déformation, Laumon a généralisé cette méthode et prouvé le lemme fondamental pour les groupes unitaires dans le cas éventuellement non ramifié [13, 14]. Soulignons que tous ces résultats sont de nature locale. Dans [17], Ngô propose d"étudier les fibrations de Hitchin comme analogues globaux des fibres de Springer affines et donne une interprétation géométrique du processus de stabilisation elliptique en termes de la cohomologie des fibrations de Hitchin. Dans un travail en commun avec Laumon [16], ils combinent cette nouvelle approche avec la technique de cohomologie équivariante pour démontrer le lemme fondamen- tal pour les algèbres de Lie des groupes unitaires. Récemment, Ngô a prouvé le lemme fondamental pour les algèbres de Lie en toute généralité. Dans sa preuve, la cohomologie équivariante n"apparait plus, et l"argument clef est une version forte du théorème de support, qui peut être considéré comme l"analogue global de la conjec- ture de pureté. La preuve de ce théorème de support est basée essentiellement sur une technique due à Goresky et MacPherson. Le but de ce texte est de présenter une introduction à la preuve de Ngô Bao Châu du lemme fondamental pour les algèbres de Lie. Nous nous contentons d"esquisser les grandes lignes et d"expliquer les arguments clefs de sa preuve. Nous espérons que ce texte facilitera la lecture de l"article original [19]. Pour d"autres articles de synthèse sur le même sujet, le lecteur pourra consulter les articles [6, 15, 18].

1.Préliminaires

1.1.Notations.Soitkun corps fini àqéléments. On utilise librement la notion de

champs dont une excellente référence est le livre de Laumon-Moret Bailly [12]. Sauf mention contraire, tous les schémas et les champs considérés dans ce texte seront définis surk. Fixons une fois pour toutesXune courbe projective, lisse, géométriquement con- nexe surk. On note¹kune clôture algébrique deket¹Xle produit fibréX£k¹k. Soit Fle corps de fonctions deX, d"anneau des adèlesA; on note¹F=F£k¹k. Pour une place finievdeF, on notev:F£¡!Zla valuation associé. PuisFvsera la complétion deFpar rapport à cette valuation,Ovsera l"anneau des entiers deFv, k vsera son corps résiduel etdeg(v)le degré de l"extensionkv=k. Soit?un groupe réductif déployé surk. Fixons une fois pour toutes?un tore maximal déployé surkde?et?un sous-groupe de Borel de?qui contient?. Avec la donnée de(?;?), on notera?le groupe de Weyl de?et©(resp.¢)

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l"ensemble des racines de?(resp. celui des racines simples). Les algèbres de Lie de ?,?, et?seront notées?,?, et?. On noteadl"action adjointe de?sur?. Pour chaque racine simple®2¢, on choisit un vecteur non nulx®dans?®. Il existe alors un unique vecteur non nulx¡®dans?¡®tel que[x®;x¡®] =®_. On pose x +=P

®2¢x®etx¡=P

®2¢x¡®. La donnée de ces vecteurs est appeléeépinglage. SoitDun diviseur deXqui s"écrit sous la formeD= 2D0oùD0est un diviseur effectif de degré plus grand queg- le genre de la courbeX. On notera?D= ?OXOX(D)et?D=?OXOX(D); ce sont les fibrés vectoriels surXobtenus en tordant?et?par le diviseurD. Désormais, on suppose que la caractéristique dekne divise pas le cardinal du groupe de Weyl?de?. Exemple :?= GLn.Dans ce cas, on prend pour?le sous-groupe des matrices diagonales et pour?le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. L"algèbre de Lie?(resp.?et?) est l"algèbre des matrices carrées de taillen(resp. la sous- algèbre des matrices diagonales et des matrices triangulaires supérieures de taille n£n). L"ensemble©est l"ensemble des caractères®i;j: diag(t1;¢¢¢;tn)2?7!tit¡1 j pouri6=j, et le sous-ensemble¢est constitué des®i;i+1pouri= 1;¢¢¢;n¡1. L"épinglage est donné par les matricesxi;jayant une seule entrée non nulle et égale à1à la position(i;j). Le groupe?est le groupe symétriqueSndes permutations def1;2;:::;ng. Un élémentw2Snenvoie l"élémentt= diag(t1;t2;:::;tn)de? sur l"élémentdiag(t¾(1);t¾(2);:::;t¾(n)).

1.2.Morphisme de Chevalley.On considère l"action adjointe de?sur?et on

s"intéresse à l"algèbrek[?]?des fonctions?-invariantes sur?. En restreignant à?, on obtient un homomorphismek[?]?¡!k[?]Wet on vérifie que c"est en fait un isomorphisme. De plus, on montre quek[?]?est une algèbre de polynôme, c"est-à- dire il existe des fonctions régulières homogènesa1;a2;:::;arde degréd1;d2;:::;dr dansk[?]?telles quek[?]?=k[a1;a2;:::;ar]. Bien que le choix des fonctions homogènesa1;a2;:::;arne soit pas unique, les entiersd1;d2;:::;drsont uniques à une permutation près. On les appelle lesexposants de Kostantde?. On définit?= Speck[?]?= Speck[?]Wet une action deGmsur?via les exposants de Kostant: t±(a1;a2;:::;ar) = (td1a1;td2a2;:::;tdrar): On considère le morphisme naturel ditcaractéristique de ChevalleyÂ:?¡!?. SiGmagit sur?par l"homothétie et sur?via ses exposants de Kostant,Âest G m-équivariant, de sorte qu"on a un1-morphisme de champs :

Â: [?=(?£Gm)]¡![?=Gm]:

On va rappeler maintenant la construction due à Kostant d"une section deÂ: ?¡!?. On a déjà construit un vecteur non nulx+2?; on note?x+le centralisateur dex+dans?. Alors la restriction de?¡!?au sous-espacex¡+?x+est un

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isomorphisme. L"inverse de cet isomorphisme sera appelé la section de Kostant de?. Notons que cela permet de munir?d"une structure d"espace affine sous?x+, et même d"espace vectoriel avec l"origine évidente. Cette structure d"espace vectoriel est compatible à l"action deGmdéfinie ci-dessus. Exemple :?= GLn.Dans ce cas,?est l"espace affine des polynômes unitaires de degrén, etÂenvoie une matriceAsur son polynôme caractéristiquedet(X:In¡A). Plus explicitement, l"espace des polynômes unitaires de degrénest isomorphe àAn via(a1;¢¢¢;an)7!Xn¡a1Xn¡1+¢¢¢+(¡1)nan. Identifiant donc?àAn,Âenvoie une matrice carréeAde taillensur len-uplet a= (tr(A);tr(^2A);¢¢¢;tr(^nA)): En particulier les exposants de Kostant sontd1= 1;d2= 2;¢¢¢;dn=n. Bien que ce ne soit pas tout à fait la section de Kostant,Âa une section bien connue qui envoie un polynôme sur sa matrice "compagnon". La matrice associée àa= (a1;¢¢¢;an) est la suivante :

²(a) =0

B

BBB@0 0:::0 (¡1)n¡1an

1 0:::0 (¡1)n¡2an¡1...............

0 0:::0¡a2

0 0:::1a11

C CCCA:

1.3.Lieux réguliers. Centralisateurs réguliers.Pour toute racine®2©, on

dispose d"une flèched®:?¡!k. Le discriminantD=Q

®2©d®est une fonction

régulière?-invariante sur?, donc elle est une fonction régulière sur?et définit un diviseur sur?notéD. On montre aisément que c"est un diviseur réduit, cf. [19, Lemme 1.10.1]. Le complémentaire de ce diviseur sera appelé l"ouvert des éléments semisimples réguliers de?et on le note?rs. On a vu que le schéma?est le schéma quotient de?par l"action du groupe fini ?. Le morphisme?¡!?est donc fini et plat. De plus, au-dessus de l"ouvert régulier?rs,?j?rsest étale galoisien de groupe de Galois?. Si l"on considère l"action deGmsur?par l"homothétie et sur?via les exposants de Kostant, ce morphisme estGm-équivariant. On considère le schéma en groupes des centralisateursIau-dessus de?défini par

I=f(g;x)2?£?: ad(g)x=xg:

Il n"est pas lisse au-dessus de?, ni même plat. On définit l"ouvert régulier?regde? comme suit. Un ¹k-pointxde?est dans?reg(¹k)si et seulement si son centralisateur I xest de dimension minimale, c"est-à-diredimIx= rangG. On montre qu"au-dessus de cet ouvert?reg,Ij?regest un schéma en groupes commutatifs lisse. Rappelons que le morphisme de ChevalleyÂ:?¡!?admet une section de Kostant²:?¡!? dont l"image est contenue dansx¡+?x+, donc dans?reg. Ainsi, le centralisateur

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un tore au-dessus du lieu semi-simple régulier?rs, mais peut avoir des fibres non connexes et une partie additive le long du diviseurD. Par la descente fidèlement sur?reg. Puis, par normalité, Ngô montre que cet isomorphisme s"étend en un Exemple :?= GLn.Dans ce cas,?rsest le lieu des polynômes unitaires de degré nqui sont séparables (sans racines multiples). Sia= (a1;a2;:::;an)2?(¹k) =¹kn représente le polynôme unitairePa=tn¡a1tn¡1+:::+(¡1)nan, alorsJaest le groupe des éléments inversibles de l"algèbre ¹k[T]=Pa. En particulier, la partie additive de J aest non triviale si et seulement si le polynômePaa des racines multiples. Soit A2g(¹k)une matrice de caractéristiquea; on fait agir¹k[T]surg(¹k)de manière suivante: l"action des éléments de ¹kest par la multiplication et l"action deTest par la multiplication avec la matriceAà droite. La flèche obtenue n"est rien d"autre que l"homomorphismeJa¡!IA. On vérifie sans peine que siAest régulier, c"est un isomorphisme.

1.4.Formes quasi-déployées de?surX.Le lemme fondamental concerne des

groupes quasi-déployés sur un corps local. Ce sont des formes "extérieures" de groupes déployés. De même ici, on doit considérer des formes extérieures de? surX. Une telle forme est donnée par un morphisme

½:¼1(X;x)¡!Out(?)

(le groupe discret des automorphismes extérieurs de?). Plus précisément, la forme Gde?surXassociée à½s"obtient en choisissant un revêtement Galoisien(X½;x½) de(X;x)de groupe not飽et tel que½se factorise par¼1(X;x)¡!£½, puis en tordant?par ce torseur. On a doncG=?££½X½. CommeOut(?)s"identifie au sous-groupe deAut(?)qui préserve la paire(?;?)et l"épinglage desx®, toutes les constructions précédentes peuvent être tordues pour donner une paire(T;B)dansG au-dessus deX, un groupe de WeylW, des algèbres de Liet,g, un quotientc=t=W, son lieu réguliercrs, le morphisme de ChevalleyÂ:g¡!c, une section de Kostant ":c¡!gde ce morphisme, ainsi qu"un centralisateur régulierJcommutatif et g. On remarque quecs"identifie au quotient c= (?£X½)=(?o£½): Exemple : groupes unitaires.Pour?= GLn, on aOut(?) =Z=2Z, donc une forme de?est donnée par un revêtement étaleX½de degré2. L"élément non trivial deAut(?)préservant l"épinglage qu"on a fixé plus haut est donné parg7!

ntg¡1©¡1noù©nest la matrice antidiagonale. La forme associée àX½est le schéma

en groupes qui à unX-schémaSassocie U X½=X(n)(S) :=fg2GLn(¡(S£XX½;OS£XX½));©n¿(tg¡1)©¡1n=gg

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où¿est l"automorphisme non-trivial deX½. C"est un groupe unitaire surX, qui devient isomorphe au groupe constantGLnaprès extension àX½.

1.5.Constructions sur le groupe dual.Soit^?le groupe dual de?sur¹Q`. Sa

donnée radicielle s"obtient à partir de celle de ^?en échangeant racines et coracines. Il vient avec une paire(^?;^?)et même un épinglage(^x®)®, et on aOut(?) = Out(^?). Soit·un élément de^?. On note^?=^?(·), resp.¼0(·), la composante neutre, resp. le groupe des composantes, du centralisateur de·dans^?oOut(?). Le groupe ^?est réductif, contient la paire de Borel(^?;^?\^?)et est muni de l"épinglage induit par celui de ^?. Le groupe¼0(·)est muni de morphismes évidents Out( ^?)á¼0(·)¡!Out(^?): D"après [19, 1.9.8], on peut alors prolonger l"inclusion?^?,!?^?en un morphisme ^?o¼0(·)¡!?^?o¼0(·) compatible avec l"action sur ^?et la projection sur¼0(·).

Au groupe

^?correspond un groupe réductif déployé?surk, muni d"une paire (??;??)et d"un épinglage, ainsi que d"un isomorphisme??»¡!?compatible avec le morphisme??o¼0(·)¡!??o¼0(·)évoqué ci-dessus. En particulier, cet isomorphisme induit un morphisme detransfert compatible avec l"action de¼0(·). Le transfert n"envoie bien-sûr pas?rs?dans?rs. On note?G¡rs ?l"image réciproque pour un diviseur réduit effectifR??de??, cf. [19, Lemme 1.10.2]. Exemple :?= GLn.Dans ce cas,?est un produit deGLniavecP ini=n, et¼0(·)est soit trivial, soit égal àZ=2Z. Dans ce dernier cas,?est isomorphe à GL

m¡k£ ¢¢¢ £GLm¡1£(GLn1£ ¢¢¢ £GLnr)£GLm1¢¢¢ £GLmkavecm¡i=mi

pouri= 1;¢¢¢;k. L"élément non trivial de¼0(·)échangeGLmietGLm¡iet induit g7!©nitg¡1©¡1n isur chaqueGLni. De plus, le transfertºest donné par le produit des polynômes unitaires correspondants.

1.6.Données endoscopiques.Unedonnée endoscopiquepour le groupeGest un

couple(·;½·)avec·comme ci-dessus et un morphisme½·:¼1(X;x)¡!¼0(·)qui induit½. Legroupe endoscopiqueassocié à la donnée(·;½·)est alors la forme de ?associée à l"homorphisme¼1(X;x)¡!Out(?)déduit de½·. Il est de la forme H=?££½X½si l"on a pris soin de choisir(X½;x½)(voir plus haut) de sorte que½· se factorise par£½. Le morphisme de transfertº:??¡!?passe à la torsion par

·pour donner un transfert

º:cH¡!c:

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Exemple : groupes linéaires.SiG= GLn, les groupes endoscopiques sont isomor- phes à des sous-groupes de Levi deG, c"est-à-dire de la formeH=Q iGLniavecP ini=n. Exemple : groupes unitaires.SoitGle groupe unitaire associé au revêtementX½ de degré2deX. Pour une donnée endoscopique, on doit avoir¼0(·)non trivial, donc égal àZ=2Z. Avec les notations ci-dessus, le groupe endoscopiqueHest de la

formeGLm1£¢¢¢£GLmk£UX½=X(n1)£¢¢¢£UX½=X(nr). Un tel groupe est isomorphe

à un sous-groupe de Levi si et seulement sir= 1(et éventuellementn1= 0).

2.Lemme fondamental et fibres de Springer affines

Il s"agit de la partie locale de la théorie. SoitGun groupe du type décrit au paragraphe 1.4 dont on reprend les notations. Fixons un point fermévdeX, notons O vson anneau local complété,Fvle corps des fractions de celui-ci et¡vun groupe de décomposition envdu groupe de Galois deF(X). Fixons aussi un point a2c(Ov)\crs(Fv):

2.1.Intégrales orbitales.Le pointadéfinit une classe de conjugaisonstablesemi-

simple régulière¡1(a)deg(Fv), ainsi qu"un représentant de Kostant°0=²(a)2 g(Fv)de cette classe. Les centralisateurs des éléments de¡1(a)sont des tores, touscanoniquementisomorphes à celui de°0, que l"on noteI°0. Ils sont aussi canoniquement isomorphes au toreJa:=?^?o£½¼¡1½(a)obtenu en tordant? par le?o£½-torseur¼¡1½(a)au-dessus deSpec(Fv), où¼½:?£X½¡!cest la projection canonique. Notons qu"un tel torseur est donné par un morphisme

½;a: ¡v¡!?o£½

qui relève la restriction½j¡v: ¡v¡!£½de½à¡v. Si°2¡1(a), le transporteur de°sur°0dansGest un torseur sous le central- isateur de °0donc définit un torseur sousJa. L"application ainsi obtenue

¡1(a)¡!H1(Fv;Ja)

°7!inv(°;°0)

induit une bijection entre l"ensemble des classes de conjugaison dans¡1(a)et le "noyau"ker(H1(Fv;Ja)¡!H1(Fv;G))qui est le même ensemble apparu dans la formule (3.1) de [10]. Le groupeH1(Fv;Ja)peut se calculer au moyen de la dualité de Tate-Nakayama. Celle-ci fournit un accouplement parfait Étant donné un caractère·deH1(Fv;Ja), on définit la·-intégrale orbitale d"une fonction localement constantefsurg(Fv) O

·a(f;dtv) =X

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où la somme porte sur les classes de conjugaison dans la classe stable¡1(a)et O

°(f;dtv) =Z

I dtv désigne l"intégrale orbitale defen°pour la mesure de HaardtvsurJa(Fv)(identifié au centralisateur de°) et la mesure de Haardgvnormalisée parG(Ov)surG(Fv).

2.2.Lemme fondamental.Fixons maintenant une donnée endoscopique(·;½·),

ainsi qu"un élémentaH2cH(Ov)d"imageadansc(Ov). Comme ci-dessus, on en

déduit un morphisme¼aH;½: ¡v¡!??o£½, dont le morphisme précédent¼a;½se

déduit par composition avec le morphisme naturel??o£½¡!?o£½de 1.5. Il s"ensuit que l"isomorphisme??»¡!?induit un isomorphismeJH;aH»¡!Ja, et par conséquent des identifications H

Par définition, l"élément·est dans^?¼a;½(¡v)et définit donc un caractère des groupes

H

1(Fv;JH;aH)etH1(Fv;Ja). De plus, tout choix de mesure de HaardtvsurJa(Fv)

en détermine un surJH;aH(Fv). Le lemme fondamental est l"égalité suivante : O

·a(1g(Ov);dtv) =qrGH;v(aH)O·a

H(1h(Ov);dtv)

On notera que·est dans le centre de^?, donc le caractère qu"il définit sur H

1(Fv;JH;aH)est trivial sur le noyau deH1(Fv;JH;aH)¡!H1(Fv;H). En d"autres

termes, pour tout°Hdans¡1

H(aH), on a

h·;inv(°H;°H;0)i= 1: Le membre de droite de l"égalité ci-dessus est donc l"intégrale orbitale stableenaH.

2.3.Fibres de Springer affines.NotonsXv:= Spec(Ov)le disque formel envet

X ²v:= Spec(Fv)le disque épointé. Pour unk-schémaS, on noteXv^£Sla complétion v-adique deXv£SetX²v^£Sle complémentaire defvg £S. Enfin, notonsE0le

G-torseur trivial surX²v.

La fibre de Springer affineMv(a)associée àapeut se définir comme le champ qui

àSassocie le groupoïde

M v(a;S) :=8 'une section deg^GEsurXv^£S Ce groupoïde est en réalité discret,i.e.équivalent à l"ensemble de ses classes d"isomorphisme. En particulier, on a M v(a;k)' fg2G(Fv)=G(Ov);ad(g)¡1(°0)2g(Ov)g: On montre queMv(a)est représentable par un ind-schéma surk. morphismeJa¡!Aut (E;'), ce qui permet de tordre(E;')par toutJa-torseur.

LEMME FONDAMENTAL 9

On en déduit une action surMv(a)du champ de Picard (ou "champ en groupes abéliens")Pv(a)qui àSassocie le groupoïde P v(a;S) :=½ Ici encore, ce groupoïde est équivalent à l"ensemble de ses classes d"isomorphisme, lequel est un groupe abélien. Par exemple, P agit de la manière évidente surMv(a;k). On montre quePv(a)est représentable par un ind-schéma en groupes surk. Exemple : groupes linéaires et unitaires.PourG= GLn,Mv(a;k)s"identifie à l"ensemble desOv-réseaux°0-stables deFnv. Pour un groupe unitaire,Mv(a;k) s"identifie à l"ensemble desO(Xv£XX½)-réseaux autoduaux dans(FvF(X)F(X½))n.

2.4.Quotients naïfs et intégrales orbitales.Rappelons que siMest un ensem-

ble sur lequel agit un groupeP, on peut former le groupoïde quotient[M=P]dont les objets sont les éléments deMet les morphismes sont donnés par l"action deP. Lorsque le quotientM=Pest fini et les fixateurs des éléments deMdansPsont finis, alors on définit le cardinal de[M=P]par ][M=P] :=X m2M=P1 ]Aut[M=P](m): On remarque alors d"après le paragraphe précédent que ][Mv(a;k)=Pv(a;k)] =O°0(1g(Ov);dtv) pour la mesure de Haar normalisée parJa(Ov). Ainsi,l"intégrale orbitale admet une interprétation naturelle en termes de la géométrie.

2.5.Quotients champêtres et·-intégrales orbitales.Supposons maintenant

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