[PDF] Document - Applications du lemme des noyaux

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Document - Applications du lemme des noyaux Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frApplications du lemme des noyaux

1. Le lemme des noyaux

On considère un espace vectorielEsur un corps commutatifKetu?L(E). Lemme des noyaux :Soits?N?. SiQ1,...,Qs?K[X]sont des polynômes premiers entre eux deux à deux, alors Ker ?(Q1···Qs)(u)?=s? i=1Ker(Qi(u)). De plus, chacun des projecteurs associées à cette décomposition en somme di- recte est la restriction àKer?(Q1···Qs)(u)?d"un polynôme enu. Démonstration:1)Les polynômesR1,...,Rs?K[X]définis par ?k?J1,sK, Rk=?

16i6si?=kQ

i sont premiers entre eux dans leur ensemble, donc d"après le théorème de Bezout, il existe des polynômesV1,...,Vs?K[X]tels que V

1R1+···+VsRs= 1.

2)Six?Ker?(Q1···Qs)(u)?, on déduit de la relation précédente que

x=x1+···+xsoù?i?J1,sK, xi=?(ViRi)(u)?(x).

De plus, pour chaquei?J1,sK, on a

?Qi(u)?(xi) =?(QiViRi)(u)?(x) =Vi(u)??(Q1···Qr)(u)?(x)? = 0, doncxi?Ker(Qi(u)). On a donc montré que Ker

?(Q1···Qs)(u)?= Ker(Q1(u)) +···+ Ker(Qs(u)).3)Il reste à prouver que la somme est directe. On considère un élément

(x1,...,xs)?Ker(Q1(u))× ··· ×Ker(Qs(u)) vérifiantx1+···+xs= 0. En remarquant que pour tout couple(i,j)?J1,sK2 aveci?=j, on a[Ri(u)](xj) = 0et en utilisant la relation de Bézout, on a x i=s? j=1?

VjRj(u)?(xi) =?ViRi(u)?(xi) =?ViRi(u)?(

(s? j=1x j) = 0, donc la somme est directe.Décomposition de Dunford :On suppose queEest de dimension finie. Si le polynôme caractéristique deuest scindé surK, alors il existe un unique couple(d,n)?L(E)2vérifiant les conditions suivantes. (i) L"endomorphisme dest diagonalisable et l"endomorphismenest nilpotent. (ii)

L esendomorphisme detncommutent.

De plus, les endomorphismesdetnsont des polynômes enu.

Démonstration:1)Pour la démonstration de l"existence et de l"unicité de la décomposition de

Dunford, voir [

Gou09 , Chapitre 4, Partie 4.2].

2)Vérifions que(d,n)?K[u]2. Par le théorème de Cayley-Hamilton et le

lemme des noyaux, il existeλ1,...,λs?Kdistincts etm1,...,ms?N?tel que E=s? i=1Ker((u-λiIdE)mi) et les projecteursp1,...,ps:E→Eassociés sont des polynômes enu. On conclut en reprenant la démonstration de [ Gou09 ] qui montre que d=s? i=1λ ipi?K[u]etn=u-d?K[u].1/5

Document - Applications du lemme des noyaux Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr2. Applications à une matrice diagonalisable

On fixe un corps commutatifKet un entiern?N?.

2.1. Généralités

SoitA?Mn(K)une matrice telle qu"il existe des scalairesλ1,...,λs?K distincts deux à deux tels que (A-λ1In)···(A-λsIn) = 0.

Calcul des projecteurs sur les espaces propres

Par le lemme des noyaux, on a la décomposition

K n=s? i=1Ker(A-λiIn). On procède comme dans la démonstration du lemme des noyaux pour calculer les projecteurs associés à cette décomposition. Pour chaquei?J1,sK, on définit R

λi=?

16j6s j?=i(X-λj). Les polynômesRλ1,...,Rλssont premiers entre eux dans leur ensemble, donc d"après Bezout, il existe des polynômesVλ1,...,Vλs?K[X]tels que V

λ1Rλ1+···+VλsRλs= 1.

On en déduit que les projecteursPλ1,...,Pλs?Mn(K)cherchés sont ?i?J1,sK, Pλi= [VλiRλi](A).Calcul des puissances de la matrice Pour chaquei?J1,sK, on aIm(Pλi)?Ker(A-λiIn), donc on a ?k?N, AkPλi=λkiPλi.

On en déduit que pour toutk?N, on a

A k=Aks? i=1P

λi=s?

i=1AkPλi=s? i=1λkiPλi.

Calcul de l"exponentielle de la matrice

SiK=C, pour chaquei?J1,sK, on a

exp(A)Pλi=+∞? k=0A kk!Pλi=+∞? k=0λ kik!Pλi=eλiPλi.

On en déduit la formule

exp(A) = exp(A)s? i=1P

λi=s?

i=1exp(A)Pλi=s? i=1eλiPλi. Remarque :Une relation de Bézout entreRλ1,...,Rλss"obtient facilement dans les exemples. Dans le cas général, on peut décomposer en éléments simples la fraction rationnelle1(X-λ1)···(X-λs). En effet, on peut déterminer facilement les scalairesα1,...,αs?Ktels que

1(X-λ1)···(X-λs)=s?

i=1α iX-λi. En mettant au même dénominateur, on en déduit la relation s i=1α iRλi= 1. 2/ 5

Document - Applications du lemme des noyaux Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr2.2. Premier exemple avec une matrice diagonalisable

On considère une matriceA?Mn(K). On suppose qu"il existe un couple de scalaire(λ,μ)?K2avecλ?=μtel que (A-λIn)(A-μIn) = 0.

Calcul des projecteurs sur les espaces propres

On procède comme dans la démonstration du lemme des noyaux. On introduit R

λ=X-μ?K[X]etRμ=X-λ?K[X].

On détermine facilement une relation de Bézout entre ces deux polynômes

1λ-μRλ+1μ-λRμ= 1.

On en déduit que les projecteurs associés à la décomposition sont P

Calcul des puissances de la matrice

En utilisant la partie précédente, pour toutk?N?, on a A

Calcul de l"exponentielle de la matrice

De même siK=C, avec la partie précédente, on a

exp(A) =eλPλ+eμPμ=eλ-eμλ-μA+λeμ-μeλλ-μIn.2.3. Second exemple avec une matrice diagonalisable

On considère une matriceA?Mn(C)vérifiant

A(A-In)(A-2In) = 0.

Calcul des projecteurs sur les espaces propres

On introduit les polynômes

R

0= (X-1)(X-2), R1=X(X-2)etR2=X(X-1).

En remarquant queR2-R0= 2X-2etR2-R1=X, on obtient la relation de Bézout12

R0-R1+12

R2= 1.

On en déduit que les projecteurs associés à la décomposition sont P 0=12 (A-In)(A-2In), P1=-A(A-2In)etP2=12

A(A-In).

Calcul des puissances de la matrice

On en déduit que pour toutk?N?, on a

A k= 0kP0+ 1kP1+ 2kP2 = (2 k-1-1)A2-(2k-1-2)A.

Calcul de l"exponentielle de la matrice

De même, on en déduit que

exp(A) =e0P0+e1P1+e2P2 =?12 -e+e22 A 2+? -32 + 2e-e22

A+ In.

3/ 5

Document - Applications du lemme des noyaux Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr3. Application à une matrice trigonalisable

On fixe un corps commutatifKet un entiern?N?.

3.1. Généralités

SoitA?Mn(K)une matrice telle qu"il existe des scalairesλ1,...,λs?K distincts deux à deux et des entiersm1,...,ms?N?tels que (A-λ1In)m1···(A-λsIn)ms= 0.

Calcul des projecteurs sur les espaces propres

Par le lemme des noyaux, on a la décomposition

K n=s? i=1Ker(A-λiIn)mi. On procède comme dans la démonstration du lemme des noyaux pour calculer les projecteurs associés à cette décomposition. Pour chaquei?J1,sK, on définit R

λi=?

16j6s j?=i(X-λj)mj. Les polynômesRλ1,...,Rλssont premiers entre eux dans leur ensemble, donc d"après Bezout, il existe des polynômesVλ1,...,Vλs?K[X]tels que V

λ1Rλ1+···+VλsRλs= 1.

On en déduit que les projecteursPλ1,...,Pλs?Mn(K)cherchés sont ?i?J1,sK, Pλi= [VλiRλi](A). Calcul de la décomposition de Dunford de la matrice En reprenant la démonstration de l"existence de la décomposition de Dunford, on aA=D+Noù D=s? i=1λ iPλietN=A-D.Calcul des puissances de la matrice Pour chaquei?J1,sK, on aIm(Pλi)?Ker(A-λiIn)mi, donc pour toutk?N, on a en utilisant le binôme de Newton A kPλi=?(A-λiIn) +λiIn?kPλi=m i-1? j=0? k j? k-j i(A-λiIn)jPλi.

On en déduit que pour toutk?N, on a

A k=Aks? i=1P

λi=s?

i=1AkPλi=s? i=1m i-1? j=0? k j? k-j i(A-λiIn)jPλi.

Calcul de l"exponentielle de la matrice

SiK=C, pour chaquei?J1,sK, on a

exp(A)Pλi= exp?(A-λiIn) +λiIn?Pλi=eλim i-1? j=0(A-λiIn)jj!Pλi.

On en déduit la formule

exp(A) = exp(A)s? i=1P

λi=s?

i=1exp(A)Pλi=s? i=1eλim i-1? j=0(A-λiIn)jj!Pλi. Remarque :On peut obtenir une relation de Bézout entreRλ1,...,Rλsen décomposant en éléments simples la fraction rationnelle

1(X-λ1)m1···(X-λs)ms.

En effet, il existe des scalairesαi,j?Kpouri?J1,sKetj?J1,miKtels que

1(X-λ1)m1···(X-λs)ms=s?

i=1m i? j=1α i,j(X-λi)j. En mettant au même dénominateur, on en déduit la relation s i=1( (m i? j=1α i,j(X-λi)mi-j)

Rλi= 1.

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Document - Applications du lemme des noyaux Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr3.2. Un exemple avec une matrice trigonalisable

On considère une matriceA?Mn(C)vérifiant

(A-2In)2(A-3In) = 0.

Calcul des projecteurs sur les espaces propres

On introduit les polynômes

R

2= (X-3)etR3= (X-2)2.

En utilisant l"algorithme d"Euclide, on obtient la relation de Bézout R

3-(X-1)R2= 1.

On en déduit que les projecteurs sur les espaces caractéristiques sont respecti- vement P

2=-(A-In)(A-3In)etP3= (A-2In)2.

Décomposition de Dunford de la matrice

On en déduit que la décomposition de DunfordA=D+Nest

D= 2P2+ 3P3=A2-4A+ 6InetN=A-D=-(A-2In)(A-3In).

Calcul des puissances de la matrice

Sik?N?, on a avec le binôme de Newton

A kP2=?(A-2In) + 2In?kP2= (2kIn+k2k-1(A-2In))P2.

On en déduit

A k=Ak(P2+P3) =AkP2+AkP3= (2kIn+k2k-1(A-2In))P2+ 3kP3

2kIn+k2k-1(A-2In)?

(A-In)(A-3In) + 3k(A-2In)2 En simplifiant avec la relation de départ, on obtient finalement A

k= (3k-2k-k2k-1)A2+(-4·3k+2k+2+5k2k-1)A+(4·3k-3·2k-3k2k)In.Calcul de l"exponentielle de la matrice

En reprenant la formule énoncée dans la partie précédente, on a exp(A)P2=e2?In+ (A-2In)?P2=e2(A-In)P2.

On en déduit que

exp(A) = exp(A)P2+ exp(A)P3=e2(A-In)P2+e3P3 =-e2(A-In)2(A-3In) +e3(A-2In)2. En simplifiant avec la relation de départ, on obtient finalement exp(A) = (e3-2e2)A2+ (-4e3+ 9e2)A+ (4e3-9e2)In.

Bibliographie

[Gou09]X. Gourdon-Algèbre, 2eédition, Ellipses, 2009. 5/ 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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