[PDF] Le lemme dArtin. Lemme (Artin). Soient L est

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Le lemme d'Artin.

Lemme(Dedekind).Soientn1et'1;:::'n:L!Kdes homorphismes de corps distincts entre les corpsKetL. Alors le systeme engendre par les'1;:::;'nest libre :h

8x2K;nX

i=1 i'i(x) = 0i =)1=:::=n= 0: Preuve.Raisonnons par l'absurde. Comme un homomorphisme de corps n'est ja- mais nul, on considerer2 le nombre minimal tel que, quitte a re-numeroter les'i, il existe une relation de dependance lineaire :

8x2K;rX

i=1 i'i(x) = 0:(1) Puisque'16='r, il existey2Ktel que'1(y)6='r(y). On a :

8x2K;rX

i=1 i'i(yx) =rX i=1 i'i(y)'i(x) = 0:(2)

Il sut d'operer : (2) (2)'1(y)(1) et on conclut :

r X i=2 i('1(y)'i(y))'i= 0

ce qui contredit la minimalite der.Lemme(Artin).SoientLest un corps etHun sous-groupe ni deAut(L). Alors

l'extensionL=LHest un extension nie de degre[L:LH] =jHj.

Preuve.On note une bonne fois pour toutes :

m= [L:LH]2N[ f1g; n=jHj<1etH=f1;:::;ng:

Etape 1. On montre quenm.

Par l'absurde, on suppose quem < n <1et on considerex1;:::;xmuneLH-base deL. La matrice des (j(xi))i;jest de taillemnavecm < ndonc il existe une solution (y1;:::;yn) non nulle au systeme :

8i2 f1;:::;mg;nX

j=1 j(xi)yj= 0: 1 Comme lesx1;:::;xmforment uneLH-base deLon a obtenu une relation de dependance lineaire entre lesjcar six=mX i=1 ixi2Laveci2LH, on a : n X j=1y jj(x) =nX j=1m X i=1y jij(xi) =mX i=1 im X j=1 j(xi)yj= 0:

Ce qui contredit le lemme de Dedekind. Doncnm.

Etape 2. On montre quemn.

Toujours par l'absurde, on suppose quen < m2N[f1g. C'est dire qu'il existe n+ 1 elementsx1;:::;xn+12Llineairement independants surLH. Comme tout a l'heure, il existe une solution (y1;:::;yn+1) non nulle au systeme :

8i2 f1;:::;ng;n+1X

j=1 i(xj)yj= 0: Quitte a re-numeroter lesyj, on peut supposer que le systeme est de rangret se re-ecrit :

8i2 f1;:::;ng;rX

j=1 i(xj)yj= 0:(3) En faisant operer2Hsur ce systeme, ce systeme est equivalent a :

8i2 f1;:::;ng;rX

j=1 i(xj)(yj) = 0:(4)

Maintenant on ecrit(y1)(3)y1(4) et on obtient :

8i2 f1;:::;rg;rX

j=2 i(xj)(yj(y1)(yj)y1) = 0:

Par minimalite der, on en deduit :

8j2 f2;:::;rg; yj(y1)(yj)y1= 0i.e.yjy112LH:

On peut conclure : en notantyj=y1zjaveczj2LH, le systeme (3) donne pour l'indiceitel quei=idL: r X j=1x jy1zj= 0 doncrX j=1x jzj= 0 cary16= 0. Mais c'est impossible car lesxjsont lineairement independants.2 Corollaire.SoientLun corps etHun sous-groupe ni deAut(L). AlorsL=LHest nie et

H= Aut(L=LH):

Preuve.On noteG= Aut(L=LH). On a dejaHG.

(1) Comme L=LHest une extension nie,Gest un groupe ni. En eet, sia1;:::;an est uneLH-base deL, on peut considerer

P=P1:::Pr

ou lesPisont les polyn^omes minimaux desaisurLH. On appelleRl'ensemble des racines dePcontenue dansL. Alors l'application : :G!Bij(R); 7!jR est un homomorphisme injectif et commeRest ni, il en est de m^eme pour Bij(R) et pourG. (2)

Rega rdonsles inclusions :

L

GLHLetLHLGL

ou le deuxieme triptyque d'inclusions provient du fait queLAut(L=LH)est un corps intermediaire (c'est presque la denition). (3)

Fina lement,LG=LHet par le theoreme precedent :

jGj= [L:LG] = [L:LH] =jHj et commeHG, on conclutG=H.Sur la theorie de Galois. Le lemme d'Artin est uneetape cruciale du theoreme de correspondance de Galois : Theoreme(Galois).SoitL=Kune extension nie galoisienne1. Alors, entre autres choses, il y a une bijection fcorps intermediaire deL=Kg ! fsous-groupe deGal(L=K)g donnee par :

Gal:M7!Gal(L=M)etFix:H7!LH:1. C'est a dire une extension normale (tout polyn^ome irreductible dansK[X] qui a une racine

dansLa toutes ses racines dansL) et separable (tout polyn^ome irreductible dansKou dansLn'a que des racines simples dans son corps des racines). C'est equivalent a dire queL=Kest algebrique et L

Gal(L=K)=K

ou on note plus volontier Aut(L=K)Gal(L=K). C'est aussi equivalent a dire queLest le corps des racines d'un polyn^ome deK[X] ou encore quejGal(L=K)j= [L:K]. 3 Le corollaire du lemme d'Artin dit queGalFix(H) =H. Dans l'autre sens c'est plus un peu plus conceptuel mais c'est aussi plus simple : il sut de voir que siKMLalorsL=Mest une extension galoisienne2doncLGal(L=M)=M,i.e.

FixGal(M) =M.

Apres, il s'agit aussi de montrer le lien entre les sous-groupes normaux de Gal(L=K) et les corps intermediairesMtels queM=Kest galoisienne. Reference.A. Jeanneret, D. Lines,Invitation a l'Algebre

125Extensions de corps. Exemples et applications.

151Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension nie).

Rang. Exemples et applications.

162Systemes d'equations lineaires; operations elementaires, aspects algorithmiques

et consequences theoriques.2. SiMest un corps intermediaire deL=K, alors, puisqueL=Kest galoisienne,Lest le corps

des racines d'un certainP2K[X]. C'est aussi le corps des racines de ce m^eme polyn^ome vu dans

M[X] doncL=Mest galoisienne.

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