Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
Le raisonnement par contraposition s'utilise lorsque l'assertion (non Q) est plus facile ` vérifie (non P(x)) : on dit qu'on a trouvé un contre-exemple.
Exercices Le contre-exemple
VII. 1) Prouver que : si deux nombres entiers sont multiples de 3 alors leur somme et leur différence sont multiples de 3.
TS : correction du TD - Différents types de raisonnements utilisés en
IV Raisonnement par contre-exemple. Exemple : Soit la propriété P : « ?x ? R x. 2. +2x +1 = 0. On veut montrer que cette proposition est fausse.
Différents types de raisonnement rencontrés au collège
contre exemple. • Deux figures ayant le même périmètre n'ont pas forcément la même aire (et inversement). Raisonnement par disjonction des cas.
TS : AP1 - Différents types de raisonnements utilisés en
+2x +1. Donner ce contre-exemple. III Raisonnement par contraposée. Soit (P) la proposition mathématique vraie : Si
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
Exemple : démontrer que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 2 et 3. Par contre dans Z
Cours : Logique et raisonnements
Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l'as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As
5 Cours – Initiation au raisonnement déductif 1. Les règles du débat
« un contre-exemple est un cas qui vérifie la condition et qui ne vérifie pas la conclusion. Exemple : Pour l'énoncé « Si un nombre est divisible par 5 alors
Raisonnement logique et résolution de problème
22 nov. 2016 F) Le raisonnement par l'utilisation d'un contre-exemple. Chapitre 3 : Incidence dans la mise en œuvre de résolution de problèmes (page ...
Différents types de raisonnement en mathématiques
e) Raisonnement par l'utilisation d'un contre exemple. Définition : Si l'on veut montrer une assertion du type : 'pour tout x de E P(x)' est vraie.
[PDF] Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
Contre-exemple Pour montrer qu'une assertion du type (?x ? E P(x)) est fausse il suffit de montrer que sa négation (?x ? E non P(x)) est vraie Il
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Voici une phrase : « Si la somme des chiffres d'un nombre entier naturel est un multiple de 6 alors le nombre est un multiple de 6 » Exemples : 42 84 Cette
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Ce raisonnement est appelé le "raisonnement par l'absurde" Exemple : démontrer que si x et y sont des nombres premiers tels que x2 ? y2 = pq avec p et q
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Une proposition est un énoncé pouvant être vrai ou faux Par exemple « tout nombre premier est impair » et « tout carré de réel est un réel positif » sont
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IV Raisonnement par contre-exemple Exemple : Soit la propriété P : « ?x ? R x 2 +2x +1 = 0 On veut montrer que cette proposition est fausse
[PDF] Logique et raisonnements - Exo7 - Cours de mathématiques
Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l'as de cœur Autre exemple : que répondre à la question « As
[PDF] Raisonnement et démonstration - mediaeduscoleducationfr
Il offre de plus un contexte privilégié pour explorer des modes de raisonnement diversifiés : déductif par l'absurde contre-exemple disjonction de cas etc
[PDF] Quelques méthodes de raisonnement 1 Raisonnement direct - LIPN
3 Raisonnement par production d'un contre-exemple Exemple : La propriété suivante est-elle vraie : ”deux rectangles de même aire ont même périm`etre”
[PDF] BASES DU RAISONNEMENT
10 sept 2006 · On appelle cela un contre-exemple `a la propriété P Exercice 22 L'assertion tout entier positif est somme de trois carrés est-elle vraie ?
[PDF] Exercices_logique_raisonnementpdf
Comprendre le raisonnement par contraposée Mener un raisonnement par l'absurde ou par disjonction des cas en étant guidé Exhiber un contre-exemple
Quand utiliser le raisonnement par contre-exemple ?
Quand utiliser le raisonnement par contre-exemple ? Il faut utiliser le raisonnement par contre-exemple quand nous voulons réfuter une affirmation plus générale.Comment trouver un contre-exemple ?
Quand un énoncé commence par « Pour tout… », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe… ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée du contre-exemple.Comment faire un raisonnement par contraposition ?
Le raisonnement par contraposition s'appuie sur le fait qu'il y a équivalence entre une implication et sa contraposée : Exemple : Les fleurs de coquelicot sont rouges est équivalent à : ce qui n'est pas rouge ne peut être une fleur de coquelicot.- Il s'agit de supposer qu'une proposition est vraie et `a démontrer que cela conduit `a une absurdité. Cette forme de raisonnement est fondée sur le principe du tiers-exclu qui stipule que toute proposition est soit vraie soit fausse et cela de façon exclusive.
IQuantificateur existentiel
Exercice: "il existe un entier naturelntel quen2soit supérieur à 23.»s"écrit : ?n?N,n2>23.IIQuantificateur universel
Exercice:la proposition : "le carré de tout nombre réel est positif ou nul.»s"écrit : ?x?R,x2?0.IIINégation
Exercice
Écrire la négation des propositions suivantes et préciser laquelle est vraie.1.P:?x?R,x+1>x
P:?x?R,x+1?x
Pest vraie, carx+1>x?1>0 (en soustrayantxdes deux côtés)2.P:?x?R,1
x2+1<1P:?x?R,1x2+1?1
Pest vraie car, pourx=0,1x2+1=1.
3.P: Tout triangle est rectangle.
P: il existe un triangle non rectangle.
Pest vraie, car les triangles équilatéraux ne sont jamais rectangles (trois angles deπ3radians)
4.P: Tout carré est un losange.
P: il existe un carré qui ne soit pas un losange. Pest vraie; les carrés sont des losanges particuliers.5.P: tout nombre premier est impair.
P: il existe un nombre premier pair.
Pest vraie, car 2 est premier et pair (seul nombre premier pair).6.P: Il existe un réelxtel quex2+x+1=0
P: pour toutx?R,x2+x+1?=0
Pest vraie, carΔ=-3<0
IV Raisonnement par contre-exemple
Exemple :
Soit la propriété P : "?x?R,x2+2x+1?=0. On veut montrer que cette proposition est fausse. Il est équivalent de montrer que la proposition contraire non P?x?R,x2+2x+1=0 est vraie. Autrement dit, il suffit d"exhiber un réelxrendant nulle l"expressionx2+2x+1. x2+2x+1=0?(x+1)2=0?x=-1; l"expresion s"annule pourx=-1.
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V Raisonnement par contraposée
Exercice :
1. Démontrer que :?n?N,nimpair?n2impair.
Eneffet:sinestimpair,ilexistep?Ntelquen=2p+1. Alorsn2=(2p+1)2=4p2+4p+1=2?2p2+2p?+1=2q+1 en posantq=2p2+2p?N. n2est donc impair
2. Démontrer que :?n?N,n2impair?nimpair.
Cela équivaut à montrer que sinest pair, alorsn2est pair. Sinets pair,n=2pdoncn2=4p2=2×2p2doncn2est pair.3. Ces deux propriétés se traduisent par une éuivalence :
nimpair?n2impairExercice :
Démontrer la proposition "Soitxun nombre réel tel que pour toutε>0,x?ε. Alorsx?0.» On montre la contraposée : six>0, i existeε>0 tel quex>ε.Il suffit de prendrex=ε
2.VI Raisonnement par l"absurde
Le raisonnement parl"absurde est une forme de raisonnementlogique, consistant soit à démontrer la vérité d"une
proposition en prouvant l"absurdité de la proposition contraire, soit à montrer la fausseté d"une proposition en
déduisant logiquement des conséquences absurdes.Définition :
Exercice :démontrer que l"ensemble I des rationnels strictement supérieurs à 1 n"a pas de plus petit élément
VII Raisonnement par récurrence
Nous avons vu ce type de raisonnement en cours.
VIII Raisonnementpar disjonction des cas
Lorsd"un raisonnementpardisjonction des cas, on étudie tousles cas possibles enfaisant aupréalable untripour
restreindre le nombre de cas à étudier.Définition :
Exemple :Démontrer que pour tout entier natureln, le produitn(n+1) est divisible par 2.Premier cas :nest pair.?k?Ntel quen=2k.
Alors :n+1=2k+1 etn(n+1)=2k(2k+1)=2[k(2k+1)]=2mavecm=k(2k+1)?N. n(n+1) est pair. Deuxième cas :nest impair.?k?Ntel quen=2k+1. Alors :n+1=2k+2=2(k+1) etn(n+1)=(2k+1)×2(k+1)=2[(k+1)(2k+1)]=2pavecp=(k+1)(2k+1)?N. n(n+1) est pair. On en déduit que, dans tous les cas,n(n+1) est pair.Page 2/2
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