Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété :.
Le raisonnement par récurrence
Le premier jour de repos permet d'écrire que P (1) est vraie. C'est ce que l'on appelle l'initialisation. 1. PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.
RAISONNER RÉDIGER
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Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
Chapitre 3 Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations
Exercice - Montrer que pour tout entier naturel n
La récurrence au fil des siècles
récurrence elle
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence. Table des matières. 1 Éléments de logique. 3. 1.1 Proposition connecteurs logiques .
Exemples de raisonnement par récurrence
Quelle conjecture pouvons-nous faire ? On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n : 1+3
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Alors pour tout ombre e tier aturel n n0 Pn est vraie. h pitre 1 R i onnement p r récurrence. 2/8. 1 Assimiler le cours
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Coach : Le raisonnement par récurrence a de très belles applications comme de démontrer certaines propriétés des suites (leur expression leurs variations etc
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5 jan 2019 · Dans cette partie nous introduisons le principe de récurrence d'abord au travers de l'exemple de la somme des entiers de 0 à n puis de façon
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23 nov 2018 · Conclusion : On a donc démontrer par récurrence forte que Ppnq est vraie pour tout n P N Démonstration 2 : par récurrence double
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Ce chapitre sera l'occasion de découvrir un nouvel outil très puissant pour les démonstrations : le raisonnement par récurrence Celui-ci peut être illustré de
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12 mar 2017 · L'objectif d'un raisonnement par récurrence est de prou- ver qu'une propriété P(n) est vraie pour une infinité d'entiers naturels n ? n0 où n0
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Cette suite est définie par récurrence (chaque terme dépend du précédent) On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en
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Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF
Le raisonnement par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver qu'une affirmation est vraie pour tous les nombres entiers positifs
[PDF] Raisonnement par récurrence 1 Première approche
La REDACTION d'un raisonnement par récurrence est FONDAMENTALE 1 Page 2 1 Annonce: pour être complète elle doit contenir:
Comment expliquer le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.Comment comprendre la récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Quelles sont les grandes étapes du raisonnement par récurrence ?
Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.- Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
Historique
L"objectif d"un raisonnement par récurrence est de prou- ver qu"une propriétéP(n)est vraie pour une infinité d"entiers naturels n?n0, oùn0désigne un entier na- turel fixé. Ce raisonnement est rendu possible du fait même de la structure discrète deNet donc de l"existence de la no- tion de " successeur » currence semble remonter àBlaise Pascal
dans son traite autour du triangle qui porte son nom. Mais c"est le ma- thématicienHenri Poincaré
(1854-1912) qui l"a formalisé et a donné à cette méthode très puissance de raisonne- ment un contexte rigoureux et indiscutable.Quand peut-on utiliser un raisonnement par
récurrence? 1) Pour déterminer le terme général d"une suite nu- mérique ou établir une formule explicite de somme (somme des carrés, des cubes par exemple) 2) Pour démontrer qu"une suite est minorée, majorée, bor- née ou encore monotone. 3)Pour prouver un critère de divisibilité.
4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l"inégalité deBernoulli par exemple)
5) Enfin, le raisonnement par récurrence sous-tend quelques démonstration de question ( ROC Le raisonnement par récurrence est parfois délicat à ma- nipuler :Il faut savoir identifier
qu"il s"impose car dans le cadre du BAC, ce n"est pas toujours suggéré. Il faut y penser mais se garder de voir des récurrences partout. Un contexte propice au raisonnement par récurrence est celui des suites récurrentes d"ordre 1. L"étape d"hérédité n"est pas toujours facile à réaliser La stratégie dépend de la forme de la propriété mais dans tous les cas, on doit partir de quelque chose d"ac- quis. Le plus souvent, il s"agit de l"hypothèse de récur- rence (HR). Qu"on débute par elle ou qu"on l"injecte en cours de raisonnement,HR doit toujours avoir été uti-
lisée Les grandes étape du raisonnement par récurrenceInitialisationOn commencetoujourspar s"assurer que la pro-
priété à démontrer est vérifiées au rang initialn0. Dans le cas contraire, inutile d"aller plus loin, la pro- priété est fausse dans le cadre de l"énoncé.Le raisonnement par
récurrence? d0dndn+1Le premier
domino tombe.AmorceSi lenedomino tombe, il
fait tomber le(n+1)e.Propagation
D"autres raisonnements par récurrence existent. Certains sont hors programme comme la récurrence finie, la récurrence descendante ou transfinie. En revanche, on présente parfois au lycée la récur- rence forte . Cette dernière consiste à booster l"hy- pothèse de récurrence par rapport à une récurrence simple en supposant la propriété à démontrer vraie jusqu"à un rang fixé (i.e den0àn).HéréditéIl s"agit de prouver que le caractère mathématique setransmet à la génération suivante.On fait une
hypothèse de récurrence (HR) qui consiste à supposer que la propriété est vraie pour un entier naturelfixéntel quen?n0 Sous cette hypothèse, il "agit alors de montrer que la propriété rest vraie au rang suivant(n+1).Conclusion :Si
P(n0)estvraie
etP(n)?P(n+1)
alors,onamon- tré par récurrence que :?n?n0,P(n)est vraie.L"initialisation est indispensable!
L"étape d"initialisation
consiste en général en une simple formalité (souvent évidente) mais n"en reste pas moins in- dispensable pour rendre le raisonnement effectif En effet, l"hérédité qui est un processus avant tout méca- nique nécessite une amorce pour s"appliquer de proche en proche (effet dominos). Il existe de nombreux exemples de propriétés héréditaires et pourtant fausse.Exemple
:?n?N?, 6n+1 multiple de 5. Cette propriété est héréditaire et pourtant fausse (sin=1, on a 61+1=7 non multiple de 5)ROC et raisonnement par récurrence
Ces propriétés sont en général précédées d"un prére- quis indispensable à la netteté du raisonnement.. 1) ?n?N?,(ex)n=en x 2) ?n?N?, ln(xn) =nlnx, avecx>0. 3) ?n?N?, arg(zn) =narg(z) [2π], avecz?=0. 4) ?n?N?, zn= ( z)n. 5)Inégalité de Bernoulli
: soita?Reta>0 : ?n?N,(1+a)n?1+na.PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE12 mars 2017 à 17:43TERMINALE S La récurrence sur le terrain - Quelques exemplesExemple 1-P(n):?n?N?,n∑
k=1k3=?n(n+1) 2? 2Initialisation:n=1On a1∑
k=1k3=13=1 et?1(1+1) 2? 2 =12=1P(1)est vraie, la proposition est initialisée.
Hérédité
: Soitn?N?fixé, on suppose quen∑ k=1k3=?n(n+1) 2? 2 est vraie. (HR)Montrons alors quen+1∑
k=1k3=?(n+1)(n+2) 2? 2 : ordre(n+1). (But)On a :n+1∑
k=1k3= n∑ k=1k3+ (k+1)3 HR= ?n(n+1) 2? 2 + (n+1)3 n2(n+1)2+4(n+1)34=(n+1)2(n2+4n+4
4 (n+1)2(n+2)24=?(n+1)(n+2
2? 2 P(n+1)est vraie, la proposition est héréditaire.Conclusion:
Par initialisation et hérédité, on a montré que : ?n?N?,n∑ k=1k3=?n(n+1) 2? 2 La récurrence sur le terrain - Quelques exemplesExemple 2-P(n):?n?N, 3?un+1?un?8
La suite(un)est définie par
u0=8 etun+1=⎷3un+1=f(un)
La fonction associéef:x?→⎷
3x+1 est croissante sur[-1
3;+∞[car composée de
deux fonctions croissantes. fne change pas la relation d"ordreInitialisation:n=0
On au0=8 etu1=⎷
24+1=5 donc 3?u1?u0?8
P(0)est vraie. La proposition est initialisée.
Hérédité
: Soitn?Nfixé, on suppose que 3?un+1?un?8. (HR)Montrons alors que 3?un+2?un+1?8.
(But)D"après HR : 3?un+1?un?8
f?? f(3)? f(un+1)? f(un)? f(8) ?3?⎷10?un+2?un+1?5
P(n+1)est vraie. La proposition est héréditaire.Conclusion:
Par initialisation et hérédité :?n?N, 3?un+1?un?8Interprétation:
On a montré
?n?N,un+1?undonc(un)est décroissante ?n?N, 3?un?8 donc(un)est bornée par [3; 8]. En particulier,(un)est minorée par 3.Qu"en déduire ...
La suite(un)converge vers??[3 ; 8]
Exemple 3 - Inégalité de Bernoulli:P(n):?n?N,?a>0(1+a)n?1+naInitialisation:n=0On a(1+a)0=1 et 1+0a=1 ainsi(1+a)0?1+0a.
P(0)est vraie. La proposition est initialisée.
Hérédité
: Soitn?Nfixé, on suppose que(1+a)n?1+na. (HR)Montrons alors que(1+a)n+1?1+ (n+1)a.
(But)D"après HR :(1+a)n?1+na
×(1+a)>0?(1+a)(1+a)n?(1+na)(1+a)
?(1+a)n+1?1+ (n+1)a+na2?1+ (n+1)acarna2>0 P(n+1)est vraie. La proposition est héréditaire.Conclusion:
Par initialisation et hérédité :?n?N,?a>0,(1+a)n?1+naApplication:
limn→+∞qn= +∞siq>1 (ROC)PAULMILAN
TERMINALE S
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