Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété :.
Le raisonnement par récurrence
Le premier jour de repos permet d'écrire que P (1) est vraie. C'est ce que l'on appelle l'initialisation. 1. PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.
RAISONNER RÉDIGER
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Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
Chapitre 3 Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations
Exercice - Montrer que pour tout entier naturel n
La récurrence au fil des siècles
récurrence elle
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence. Table des matières. 1 Éléments de logique. 3. 1.1 Proposition connecteurs logiques .
Exemples de raisonnement par récurrence
Quelle conjecture pouvons-nous faire ? On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n : 1+3
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Alors pour tout ombre e tier aturel n n0 Pn est vraie. h pitre 1 R i onnement p r récurrence. 2/8. 1 Assimiler le cours
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5 jan 2019 · Dans cette partie nous introduisons le principe de récurrence d'abord au travers de l'exemple de la somme des entiers de 0 à n puis de façon
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23 nov 2018 · Conclusion : On a donc démontrer par récurrence forte que Ppnq est vraie pour tout n P N Démonstration 2 : par récurrence double
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Ce chapitre sera l'occasion de découvrir un nouvel outil très puissant pour les démonstrations : le raisonnement par récurrence Celui-ci peut être illustré de
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12 mar 2017 · L'objectif d'un raisonnement par récurrence est de prou- ver qu'une propriété P(n) est vraie pour une infinité d'entiers naturels n ? n0 où n0
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Cette suite est définie par récurrence (chaque terme dépend du précédent) On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en
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Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF
Le raisonnement par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver qu'une affirmation est vraie pour tous les nombres entiers positifs
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La REDACTION d'un raisonnement par récurrence est FONDAMENTALE 1 Page 2 1 Annonce: pour être complète elle doit contenir:
Comment expliquer le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.Comment comprendre la récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Quelles sont les grandes étapes du raisonnement par récurrence ?
Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.- Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
Mathematiques 2010-2011
Exemples de raisonnement par recurrence
Exemple 1(1892)
Le probleme des tours de Hano est un jeu de re
exion imagine par le mathematicien francaisEdouard Lucas, et consistant a deplacer des disques de diametres dierents d'une tour de departa une tour d'arriveeen passant par une tourintermediaireet ceci en un minimum de coups, tout en respectant les regles suivantes : - on ne peut pas deplacer plus d'un disque a la fois, - on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide. On suppose que cette derniere regle est egalement respectee dans la conguration de depart. On cherche le nombre minimum de deplacements a eectuer. On peut obtenir quelques valeurs a la main : pour 2 disques il faut 3 deplacements, pour trois disques il faut 7 deplacements, les manipulations deviennent diciles pour un nombre superieurs de disques. Il est facile de demontrer par recurrence que si n est le nombre de disques, il faut 2 n1 coups au minimum pour parvenir a ses ns, quantite qui augmente tres rapidement avec n. En eet, soient a, b et c les trois emplacements des tours. Notonsxnle nombre de deplacements de disques necessaires au deplacement d'une tour complete. Pour deplacer une tour de n disques de a vers c, on deplace la tour des n-1 premiers disques de a vers b, puis le disque n de a vers c, puis la tour des n-1 disques de b vers c. Le nombre de deplacements de disques verie donc la relation de recurrence :x1= 1; x n= 2xn1+ 1;sin >1 ce qui donne bienxn= 2n1. En eet, cette formule est vraie pourn= 1 et on suppose quexn1= 2n11, alors x n= 2xn1+1 = 2(2n11)+1 = 22n12+1 = 2n1. La formule est vraie au rangn. On peut alors calculer le nombre de deplacements necessaires pour un plus grand nombre de disques, par exemple pour 10 disques il faut 2101 = 1023 deplacements.
Le probleme des tours de Hano est vu en algorithmique (programmation), ou il ore un exemple de la puissance et de la lisibilite des programmes denis de facon recursive. En eet, la methode de resolution vue precedemment conduit a un algorithme recursif.Un lien pour des simulations :
Exemple 2
Les entiers impairs sont les entiers de la forme 2n+1 (le premier obtenu pour n=0, est 1). Calculons les premieres sommes. Quelle conjecture pouvons-nous faire? On va donc montrer par recurrence que la somme des n premiers entiers impairs est egale au carre de n :1 + 3 +:::+ (2n1) =n2.
Remarquons que cette somme peut s'ecrire avec le symbole . En eet 1+3+:::+(2n1) = ni=1(2i1). Bien que l'ecriture precedente puisse laisser entendre que 2n1>3, on ne le supposera pas. La somme est reduite a 1 si n=1, egale a 1+3 si n=2 etc. * initialisation : le cas n=1 est celui ou la somme est 1, elle est donc bien egale a 1 2. 1 * heredite : pour un entier n arbitraire, on suppose que 1+3+:::+(2n1) =n2. Puisque l'entier impair qui suit 2n1 est 2n+ 1, on en deduit que :1 + 3 +:::+ (2n1) + (2n+ 1) =n2+ 2n+ 1 = (n+ 1)2,
c'est-a-dire que la propriete au rang suivant.La propriete est vraie pour toutn.
On peut en deduire alors que 1 + 3 +:::+ 99 = 50i=1(2i1) = 502= 2500.Exemple 3
C'est en fait un exercice qui montre que le raisonnement par recurrence doit ^etre manipule avec precaution. En eet : Trouver l'erreur dans le raisonnement par recurrence suivant. SoitP(n) la propriete " dans n'importe quel groupe denpersonnes, tous les gens ont le m^eme ^age".P(1) est vraie de facon evidente.
Soitntel queP(n) est vraie. Soit G un groupe den+1 personnes que l'on numerote de 1 an+ 1. SoitG1( respG2) le groupe forme desnpremieres (resp dernieres) personnes de G. PuisqueP(n) est vraie, toutes les personnes deG1( respG2) ont le m^eme ^age. Or la personne numeronest a la fois dansG1et dansG2. Donc tous les gens de G ont le m^eme ^age que la personne numeronce qui demontreP(n+ 1).On en deduit que pour toutn P(n) est vraie.
Exemple 4
nest un entier naturel. On noteSn=13 +115+::::+14n21:On peut ecrire cela avec le symbole . S n= ni=114i21 a) CalculerS1; S2; S3;S4:
On trouveS1=13
; S2=25 ; S3=37 ;S4=49 b) Conjecturer une formule exprimantSnen fonction den:Il semble queSn=n2n+ 1.
c) Demontrer cette formule par recurrence.La formule est vraie au rang 1.
Supposons la formule vraie au rangn1 et prouvons la au rangn. (Rq : le passage den an+ 1 est un peu plus dicile au niveau des factorisations) On aSn1=n12n1. AlorsSn=Sn1+14n21=n12n1+1(2n1)(2n+ 1). DoncSn=(n1)(2n+ 1) + 1(2n1)(2n+ 1)=2n2n(2n1)(2n+ 1)=n(2n1)(2n1)(2n+ 1)=n2n+ 1. Ceci est la formule cherchee. On peut alors calculerS10 = 10i=114i21=1021 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] le régime de vichy fiche de révision
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