Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété :.
Le raisonnement par récurrence
Le premier jour de repos permet d'écrire que P (1) est vraie. C'est ce que l'on appelle l'initialisation. 1. PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.
RAISONNER RÉDIGER
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Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
Chapitre 3 Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations
Exercice - Montrer que pour tout entier naturel n
La récurrence au fil des siècles
récurrence elle
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
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Exemples de raisonnement par récurrence
Quelle conjecture pouvons-nous faire ? On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n : 1+3
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Alors pour tout ombre e tier aturel n n0 Pn est vraie. h pitre 1 R i onnement p r récurrence. 2/8. 1 Assimiler le cours
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La REDACTION d'un raisonnement par récurrence est FONDAMENTALE 1 Page 2 1 Annonce: pour être complète elle doit contenir:
Comment expliquer le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.Comment comprendre la récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Quelles sont les grandes étapes du raisonnement par récurrence ?
Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.- Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
Chapitre3
Elementspourcomprendre
etecriredesdemonstrations n'estpastoujoursclairementpercue. quelquesconseilsderedaction. \Soit:::",\Considerons:::".1.1.Regledel'hypotheseauxiliaire
\demontrer(P=)Q)". parlareglesuivante:Pourdemontrer(P=)Q):
1)onajoutePauxdonnees.
2)ondemontrequeQestvraie.
Exemple
k0=2k2.Doncn2estpair.
demontreQ,letroisiemeestlaconclusion.1.2.Regleduquelquesoit
Pourdemontrer(8x2E;P(x)):
x2E;2)ondemontrequeP(x)estvraie.
Exemple
Demonstration-Soitxunnombrereel.
x2+x+1>3.
Onabienleresultat.
Q1.3.Regledescas
demontreedelaforme(AouB).Pourcela:1)onsupposeAvraieetondemontreP;
{30{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
ou(nonA)".Exemple
Enonce-Soientx;y;desnombresreels,avec<0.
Montrerquel'onamax(x;y)=min(x;y).
max(x;y)=x.D'autrepart,onamin(x;y)=x.Onadoncbienmax(x;y)=min(x;y).
max(x;y)=y.D'autrepart,onamin(x;y)=y.Onadoncencoremax(x;y)=min(x;y).
Danslesdeuxcas,onal'egalitedemandee.
Laderniereligneestlaconclusion.
1.4.Nommerunobjet
n'apparaitpasdanslapropositionQ;3)ondemontreQ.
Exemple
1=2a3=2:
d'ou1=2a3=2.Onabienleresultatdemande. {31{1.5.Raisonnementparl'absurde
Principe-OnveutdemontrerP.Pourcela:
1)onajoute(nonP)auxdonnees;
Exemple
Onobtientunecontradiction.
pasderivableaupoint1.1.6.Raisonnementparcontraposition
Elleluiestequivalente.
Exemple
doncbienleresultat.1.7.Pourdemontreruneequivalence
Pourdemontrer(P()Q):
appeleelareciproquede(P=)Q)). contraposeede(Q=)P). {32{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
Exemple
Enonce-Montrerquepourtoutxreel,(p
2x2+2=3+x)estequivalenta
(x2f1;7g):Demonstration-Soitxunreel.
Supposonsque(p
x26x7=0.Onobtientdonc(x2f1;7g):
doncp2x2+2=100,doncp
2x2+2=10,et3+x=10doncp2x2+2=3+x.
Onabiendemontrel'equivalencecherchee.
2x2+2=3+x)etQ(x)la
proposition(x2f1;7g): soit.Ensuite,ondemontre(Q(x)()P(x)). cas.Autreexemple:
doncn2n'estpasdivisiblepar4. montre(nonP=)nonQ) 2 plusexplicite. sacontraposeequiest((nonQ)=)(nonP)). d'applicationn5pourunexemple).1.8.Pourdemontrer(QouR)
simpledeprendrelanegationdeRquedeQ. {33{Exemple
pair.Onadoncbiennimpairoun2pair.1.9.Raisonnementparrecurrence
OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.
RECURRENCESIMPLE
laproprieteestvraieenn0,RECURRENCEFORTE
sontveriees laproprieteestvraieenn0, k+1, metteenevidencequ'elledependd'unentier. decouvriraveclescasn=n0;n=n0+1,:::SOMMEETPRODUIT
qX q X i=pf(i)=f(p)+f(p+1)++f(q1)+f(q): {34{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
q Y i=pf(i)leproduitdecesm^emestermes: q Y i=pf(i)=f(p)f(p+1)f(q1)f(q):Remarques-qX
i=pf(i)=qX j=pf(j): nX i=1f(i)=n1X i=1f(i)+f(n):Exemples-nX
i=11=n nY i=11=1 denidemanierecorrectepar pourqp=0qX i=pf(i)=f(p) siq>p>0q+1X i=pf(i)=qX i=pf(i)+f(q+1) S n=nX i=0(2i+1): demonstrationdecetteproposition. i=0(2i+1)=(n+1)2:Pourkentiernaturel,notonsSnlasomme
S n=nX i=0(2i+1): procedeparrecurrencesurn.MontronsqueP(0)estvraie.Pourn=0,ona:
S 0=0X i=0(2i+1)=1et(n+1)2=1:DoncP(0)estvraie.
S k+1=k+1X i=0(2i+1)=Sk+(2k+3): {35{Pourtrouverunedemonstration
Enutilisantl'hypothese,onobtient:
S k+1=(k+1)2+(2k+3)=k2+4k+4=(k+2)2:DoncP(k+1)estvraie.
pourn0,n0+1;::: i=1i=n(n+1)=2: 2 )Demontrerlaformuledubin^ome: pourtouslescomplexesaetb,(a+b)n=nX i=0C inaibniavecCin=n! i!(ni)!1.10.D'autresregles
mortel." generalementpeudefautes.2.Pourtrouverunedemonstration
unequisoitbienadaptee. demontrerQ. x convenir. {36{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
\DemontronsmaintenantQ."Exemple
Enonce-Montrerqu'ilexisteunreelxtelquep
x2x+9>px2+x+4). x2x+9=3etpx2+x+4=2.Or,3>2,donc0convient.Autreexemple:
jyjjxjjxyj. jyjjxjjyxj.Onabienleresultatcherche.
(y;x).2.2.Onpeututiliserdesmoyensindirects.
forme(AouB). lavariablereelleetc.Exemple
Enonce-Soitf:R+!R
R +aumoins. {37{Quelquestypesdeproblemesaresoudre
Exemple
onax2+8>5x+4=x. x cequiestevident. =)Q(x)). 43.Quelquestypesdeproblemesaresoudre
3.1.Resultatssurlesensembles
Exemple
(AB=)EnBEnA):ABmontrequex2B.Ilyacontradiction.
Doncx2EnA:
3.2.Enoncesd'analyse
{38{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
faitqu'unevariabledependd'uneautre.Exemple
aussi. jf(x)jM0,doncjf(x)2jM20. evidemmentpasdutoutleresultatcherche.3.3.Resolutiond'equations.
S 0S.Exemple
Enonce-ResoudredansRl'equationx=p
x+2. onap touteslesdeuxpositives.DoncSf1;4g.Synthese-Soitx=4;p
xaunsens,etpx+2=4=x,donc42S.Soitx=1;onap
x+2=36=x.Donc1=2S.OnobtientdoncS=f4g.Ilyauneetuneseulesolutionquiest4.
exe3.4.Contre-exemples
Exemple-A-t-on(8x2R;p
x2x+9px2+x+4)? {39{Quelquesconseils
doncp lesxquiverientp d'ecrire: \Soitxunreel.Si(p x2x+9px2+x+4,alorsona(x2x+9x2+x+4),donc4.Quelquesconseilspourresoudreunprobleme
etecrireunedemonstration.4.1.Pourbienlireletexte
ademontrer.4.2.Pourchercherunesolution.
4.3.Pourredigerunedemonstration.
alors:::"). {40{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
positif". negatifounuluneautrefois. \onax>2;doncx26=1etdonc2x26=2:00 \x>2etx>2=)x26=1=)2x26=2:00 generalementfaux(lequel?): (x>2=)x26=1)=)2x26=2: symboles. {41{Exercicesd'application
EXERCICESD'APPLICATION
Exercicen1
impair.Onproposelademonstrationsuivante: \Soitnunentiertelquen>3.Supposonsnpair.
4)Quellesdonneesyutilise-t-on?
Exercicen2
estpositif.Onabienleresultatdemande."Exercicen3
deE.Montrerque:AB=AC=)B=C".Onproposeletexteincompletsuivant:
rendresastructureplusclaire:2)Leshypotheses\nonvides"ont-ellesservi?
Exercicen4
x7!x2est-ellesurjective?"(pourlaTrouverlafautedansleraisonnementsuivant:
yetx=py;doncfestsurjective.Exercicen5
Onproposeletextesuivant:
\Enonce- proportionnelssietseulementsiab0a0b=0. {42{COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
Demonstration-
-sia06=0,k=a a0doncb=aa0b0etab0a0b=0. -sia0=0,alorsa=0etdoncaussiab0a0b=0.Exercicen6
n X k=1k(k1)=n(n1)(n+1) 3Exercicen7
Soientaetbdeuxreelstelsque(8"2R+;a Exercicen8
8(f;g)2FF;(fg=0=)(f=0oug=0))?
{43{ Indicationsetsolutionssommaires
INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES
Exercicen1
1)L'enoncepeutsetraduirepar:
8n2fm2Njm>3g(npremier=)nimpair)
ouencorepar: 8n2N;(n>3=)(npremier=)nimpair))
tion(npremier=)nimpair); nombrepremiermontrequenn'estpaspremier." diviseurdierentde1etden"). Exercicen2
Unedemonstrationcorrecteserait:
-ilnegligedepreciserquiestx, enlaseconde, 8x2R+;((x+1=x)>2=)(x1)2>0).
Exercicen3
queBCetqueCB: Soitx2B.Onasoitx2A,soitx62A:
adoncmontrequeBC: OnendeduitqueB=C:
Exercicen4
{44{ COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
surjectivitedefdesvaleursdey. Exercicen5
ouu0estnuletunel'estpas. k=a demonstrationdelareciproque. Unedemonstrationpourrait^etrelasuivante:
aegalementtoujoursab0a0b=0. que(a=ka0etb=kb0). ab 0ba0=0.Lorsquea06=0,onak0=a
a0etdoncb=k0b0=aa0b0etab0a0b=0. b0k,onaa=k0a0et b=k0b0.Danslecasoua06=0,onab=a a0b0.Posonsk0=aa0.Onaa=k0a0etb=k0b0. Danslesdeuxcas,uetu0sontproportionnels.
Finalement,onabienl'equivalenceannoncee.
Exercicen6
Suivrelamethodedonneedanslepolycopie.
Exercicen7
impossible.Doncab. Exercicen8
contre-exemple,caronafg=0,f6=0etg6=0. {45{quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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