Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété :.
Le raisonnement par récurrence
Le premier jour de repos permet d'écrire que P (1) est vraie. C'est ce que l'on appelle l'initialisation. 1. PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.
RAISONNER RÉDIGER
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Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
Chapitre 3 Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations
Exercice - Montrer que pour tout entier naturel n
La récurrence au fil des siècles
récurrence elle
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence. Table des matières. 1 Éléments de logique. 3. 1.1 Proposition connecteurs logiques .
Exemples de raisonnement par récurrence
Quelle conjecture pouvons-nous faire ? On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n : 1+3
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Alors pour tout ombre e tier aturel n n0 Pn est vraie. h pitre 1 R i onnement p r récurrence. 2/8. 1 Assimiler le cours
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Le raisonnement par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver qu'une affirmation est vraie pour tous les nombres entiers positifs
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La REDACTION d'un raisonnement par récurrence est FONDAMENTALE 1 Page 2 1 Annonce: pour être complète elle doit contenir:
Comment expliquer le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.Comment comprendre la récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie). 2Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).Quelles sont les grandes étapes du raisonnement par récurrence ?
Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.- Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
Chapitre 3
Éléments de logique et Raisonnement par récurrenceTable des matières
1 Éléments de logique3
1.1 Proposition, connecteurs logiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Proposition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Connecteurs logiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2.1 "et" et "ou" logiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2.2 implication
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2.3 Equivalence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Négation d"une proposition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Contraposée d"une implication
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Négation d"une implication
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Quantificateurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Démontrer une proposition avec quantificateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Négation des propositions avec quantificateurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Récurrence d"ordre 1 et 2
102 Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
ECS1 - Mathématiques
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence 31 Éléments de logique
1.1 Proposition, connecteurs logiques
1.1.1 PropositionDéfinition 1. (Proposition logique)
On appelle proposition toute phrase mathématique qui a un sens et qui peut être vraie ou fausse..Exemple 1.
x= 3est une proposition dont la vérité dépend dex.2 + 3 = 5est une proposition vraie.
2 + 3 = 6est une proposition fausse.
2 + 3est un énoncé mathématique qui a un sens mais ça n"est pas une proposition.
2lim3est un énoncé qui n"a aucun sens. Ce n"est donc pas une proposition.
x?Eest une proposition dont la vérité dépend dexet deE.3?Zes une proposition vraie.
π?Qest une proposition fausse.En fait, presque tous les énoncés mathématiques, dès qu"ils ont un sens, sont des propositions :
Exemple 2.
"limx→0xlnx= 0»est une proposition vraie. "x?→x2est croissante surR» est une proposition fausse. "x2est croissante surR+» N"est pas une proposition cette phrase n"a aucun sens. "limx→+∞un=1x » n"est pas une proposition! Car cette phrase n"a aucun sens. "⎷-1 =i» n"est pas une proposition car⎷-1n"a aucun sens. Le théorème de Pythagore est une proposition vraie."Tout nombre entier pair supérieur à3est la somme de deux nombres premiers» est une proposition
dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse : c"est la conjecture de Goldbach (1742), on la notera
Gold."Tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs. » est aussi
une proposition dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse (c"est la conjecture de Goldbach faible)
on la noteraGoldF.ECS1 - Mathématiques4 Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
Une proposition est souvent formée de propositions plus petites :Exemple 3.
" Sia=bAlorsa2=b2» est une proposition formée des propositions"a=b» et "a2=b2».1.1.2 Connecteurs logiques
1.1.2.1
"et" et " ou"logiquesOn construit de nouvelles propositions à l"aide des deux connecteurs logiques que sont leet logiqueet leou
logique.Définition 2. ("et" et "ou" logiques)SoientAetBdeux propositions.
La proposition "AetB» est la proposition qui est vraie siAetBsont toutes les deux vraies. La proposition "AouB» est la proposition qui est vraie si l"une au moins des propositionsAetBest vraie.Exemple 4. 1. " 2 + 3 = 5et3×2 = 6» est une proposition vraie. 2. " 2 + 3 = 5et3×2 = 7» est une proposition fausse. 3. " 2 + 3 = 4et3×2 = 7» est une proposition fausse. 4. " 2 + 3 = 5ou3×2 = 6» est une proposition vraie. 5. " 2 + 3 = 5ou3×2 = 7» est une proposition vraie. 6." 2 + 3 = 4ou3×2 = 7» est une proposition fausse.On a donc la "table de vérité" suivante :
PQPetQPouQVVVV
FVFV VFFV FFFFECS1 - Mathématiques
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence 51.1.2.2
implicationOn crée également de nouvelles propositions à l"aide du connecteur=?.Définition 3. (Implication)
A=?B(se lit "AimpliqueB") signifie :SiAest vraie, alorsBest vraie.Cette proposition est uneimplicationExemple 5.
Si on sort du champ des mathématiques et que l"on notePle fait qu"il pleuve etAle fait que mon jardin
soit arrosé. "P=?A» est vraie. "A=?P» est fausse car j"ai peut-être arrosé mon jardin moi-même.Mais hors du champ mathématique, beaucoup de propositions peuvent être longuement discutées quant
à leur vérité.Définition 4. (Réciproque d"une implication)La réciproque de "A=?B» est l"implication "B=?A" ».Attention !Comme le montre l"exemple ci-dessus, une implication peut être vraie et sa réciproque fausse! C"est
même assez souvent le cas.Méthode à retenir n o1Comment prouver qu"une implication est vraie?
Pour montrer queA=?Best vraie, on suppose queAest vraie et on montre que sous cette hypothèse,Best vraie.
La démonstration deA=?Bdoit donc commencer par "supposons queAest vraie".Remarque.Nous verrons plus loin une autre méthode pour prouver une implication : la méthode par contraposée.Exemple 6.
Soitx?Retn?N?. Montrer que si1< x <2alors(x-1)n+1-xnx2<0.Exemple 7.
Montrer que :Gold=?GoldF(voir l"exemple2 p ourla définition de GoldetGoldF)ECS1 - Mathématiques
6 Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
On voit ci-dessus qu"on peut prouver que "A=?B» est vraie sans savoir siAetBsont vraies.Méthode à retenir n
o2Comment prouver qu"une implication est fausse?
Pour montrer queA=?Best fausse, on exhibe uncontre-exemplepour lequelAest vraie et pourtantBest fausse.Exemple 8.
Soita,b?RMontrer que "ab >0 =?a >0etb >0» est fausse. Que dire de sa réciproque? Le prouver.1.1.2.3EquivalenceDéfinition 5. (Equivalence)
"A??B» signifie : "A=?Bet "B=?Afg "A??B» se lit, selon le contexte : "Aest équivalent(e) àB» ou "Aéquivaut àB»ou "Asi et seulement siB».Remarque.On peut, si on veut écrire vite, utiliser l"abréviation "ssi»pour "si et seulement si»Exemple 9.Soienta,b?R?.
1.a=b??a-b= 0.
2.ab >0si et seulement siaetbsont de même signe.
3.ab <0si et seulement siaetbsont de signe contraire.1.2 Négation d"une proposition
1.2.1 DéfinitionDéfinition 6. (Négation)
SoitPune proposition, on note " nonP» la proposition contraire dePappelée négation dePqui est vraie
lorsquePest fausse, et fausse lorsquePest vraieExemple 10.Soientx,y?RetEun ensemble de réels.La négation de "x=y» estx?=y.
La négation de "x?E» estx /?E.ECS1 - Mathématiques Éléments de logique et Raisonnement par récurrence 7 Proposition 1. (Négation d"un " et » et d"un " ou » )(admis)La négation de "AetB» est(nonA)ou(nonB).
La négation de "AouB» est(nonA)et(nonB).Exemple 11.Soientx,y?RetEun ensemble de réels. La négation de "x= 1oux= 2» estx?= 1etx?= 2. La négation de "x?Eoux≥0» estx /?Eetx <0.1.2.2 Contraposée d"une implicationReprenons l"exemple de la pluie et du jardin vu plus haut. On comprends aisément que si le jardin n"est pas arrosé,
on peut en conclure qu"il ne pleut pas. Ainsi, on voit que l"implication " nonA=?nonP» est vraie. Cette
implication est la contraposée de l"implication "P=?A».Définition 7. (Contraposée d"une implication)
On appelle contraposée de l"implication "A=?B» L"implication " nonB=?nonA»L"exemple ci-dessus nous montre que siP=?Aest vraie alors sa contraposée ausssi. Et réciproquement.
Autrement dit :Proposition 2. (Equivalence de la contraposée)(admis)Une implication est équivalente à sa contraposée.Remarque.Pour prouver une proposition, on peut donc toujours prouver sa contraposée. C"est parfois plus
facile. On dit alors que l"on fait unedémonstration par contraposée.Exemple 12.Soitn?N. Montrer que sin2est impair alorsnest impair.Attention !On prendra garde à ne pas confondre contraposée et réciproque! Une implication n"est pas équivalente
à sa réciproque!
1.2.3 Négation d"une implication
Pour les expert.e.s...Proposition 3. (Négation d"une implication)(admis) La négation de "A=?B» estAet(nonB).ECS1 - Mathématiques8 Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
1.3 Quantificateurs
1.3.1 Définition
Il est très souvent utile de pouvoir signifier qu"une proposition est vraie pour toute valeur d"une variablexou
pour au moins une valeur. On utilise pour cela lesquantificateurs: "?a?A,» se lit "pour toutaappartenant àA» ou " quelque soitaappartenant àA» "?a?A,» se lit "il existeaappartenant àAtel que»Exemple 13. 1. " ?x?R,x2+ 1>0» est une proposition vraie. 2. " ?x?[0,+∞[tel quex2+x≥12» est une proposition vraie. 3. " ?x?[0,+∞[tel quex2+x= 12» est une proposition vraie. 4. " ?x?R,?n?N, n≥x» set lit : " Pour toutxappartenant àRil existenappartenant àNtel quen≥x» et est une proposition vraie. 5. " ?n?N,?x?R, n≥x» set lit : " Il existenappartenant àNtel que Pour toutxappartenant àRil existenappartenant àNtel quen≥x»et est une proposition fausse.Les exemples 3 et 4 ci-dessus montre que l"ordre des quantificateurs est important! On ne peut pas intervertir
un?et un?. On peut aussi utiliser le quantificateur suivant : "?!a?A,se lit "il existe un uniqueaappartenant àAtel que»Mais l"utilisation de la notation ci-dessus estréservée aux expert.e.squi sont certain.e.s de bien l"utiliser et de
ne pas la confondre avec la factorielle.ECS1 - Mathématiques Éléments de logique et Raisonnement par récurrence 91.3.2 Démontrer une proposition avec quantificateur
Méthode à retenir n
o3 Démontrer une proposition commençant par un?On considère ici une proposition notéeP(x)dont la vérité dépend dex(par exemplex2+ 3x= 12).
Pour démontrer une proposition de la forme "?x?E,P(x)», on peut prendre un élément génériquex
deEet on démontre queP(x)est vraie pour cex. La démonstration doit donc commencer par : " Soit x?E»Exemple 14.Démontrer que pour tout entiern?N?,n-1n
La première assertion signifie que pour montrer le contraire d"une d"une proposition de la forme "?x,P(x)», on
exhibe un contre-exemple.Exemple 16. non[?n?N,un+1≥un]? ?n?N,un+1< un non[?n?N,X=n]? ?n?N,X?==n non[?x?R,f(x) = 0]? ?x?R,f(x)?= 0 non[?M?R+,?N?N,?n≥N,un≥M]? ?M?R+,?N?N,?n≥N,un< MECS1 - Mathématiques10 Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
2 Récurrence d"ordre 1 et 2
Proposition 5. ((Rappel) : Principe de récurrence d"ordre 1)(admis) SoitP(n)une proposition dépendant d"un entier naturelnet soitn0?N. Si ?P(n0)est vraie et ?n≥n0,P(n) =? P(n+ 1)Alors?n≥n0,P(n)est vraie.Exercice de cours 1.On considère la suite(un)définie par :
?n?N,un+1= 3un-2etu0= 2.Démontrer par récurrence que :
?n?N,un= 1 + 3n.Exercice de cours 2.On considère la suite(un)définie par :
?n?N,un+1=15 un+ 3×0,5netu0= 2.Démontrer par récurrence que :
?n?N?,un≥154 ×0,5n.Proposition 6. (Principe de récurrence d"ordre 2)(admis) SoitP(n)une proposition dépendant d"un entier naturelnet soitn0?N. Si ????P(n0)etP(n0+ 1)sont vraies et ?n≥n0,?P(n)etP(n+ 1)?
=? P(n+ 2)Alors?n≥n0,P(n)est vraie.Exercice de cours 3.Soit(un)n?Nune suite définie paru0= 2,u1= 5et?n?N,un+2= 5un+1-6un.
Montrer que?n?N,un= 2n+ 3n.ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] le régime de vichy fiche de révision
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