Chapitre 3: La démonstration par récurrence
Chapitre 3: La démonstration par récurrence. 3.1 Un exemple pour comprendre le principe. Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de . C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que
La démonstration par récurrence
?4 ? ······. Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer
Raisonnement par récurrence
Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités
Prouver une inégalité
2 Passer à l?inverse dans des inégalités de nombres de même signe : 2 Une démonstration par récurrence pour comparer deux expressions An et Bn pour.
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - suite bornée - inégalité. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 3. 4un + 4. On consid`ere la fonction f
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple. Résolution. Pour tout entier naturel non nul n on pose : n. P
Cours complet
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en fonction de un Méthode 2 – Structure d'une démonstration par récurrence.
LES SUITES (Partie 1)
D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
1 La formule de Taylor-Young
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. Pour n = 0 l'hypoth`ese implique que f est continue en a et la formule est évidente avec ?(x) =.
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Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres im- pairs on commence par quelques essais Si n = 1: 1 = 1 Si n = 2:
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Le raisonnement par récurrence est un outil très puissant pour démontrer des propriétés Il est étudié en classe de Terminale S Voici deux exercices qui vous
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La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété dépendant de n est vraie pour toutes les valeurs de n On appelle dans ce
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L'inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :
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donc la propriété est vraie au rang n + 1 ce qu'on voulait Corrigé 2 Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1
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Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite mathématicien peut être utilisé pour démontrer l'inégalité de Bernoulli
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Démonstration Montrons le résultat par récurrence sur n Pour n = 1 l'inégalité est évidente Supposons maintenant l'inégalité vraie pour un certain
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Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que pour
Comment démontrer une inégalité par récurrence ?
Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ? 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.Quand utiliser la démonstration par récurrence ?
La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.Comment justifier une inégalité ?
2 Multiplier par un réel positif ? : si x ? y et ? ? 0, alors ?x ? ?y. 2 Ajouter des inégalités : si x ? y et a ? b, alors x + a ? y + b. 2 Multiplier des inégalités de nombres positifs : si 0 ? x ? y et 0 ? a ? b, alors xa ? yb. sur R, x ?? ? x sur R+.- Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
Raisonnement par recurrence : Exercices
Corriges en video avec le cours sur
jaicompris.comIntroduction
SoitP(n) la propriete denie pour tout entiern1 par :12 + 23 +::::+n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)3
1)Ecrire la propriete au rang 1, au rang 2.
2) Verier que la propriete est vraie au rang 1 et au rang 2.
3)Ecrire la propriete au rangn+ 1
4) Demontrer par recurrence que pour tout entiern1, la proprieteP(n) est vraie.Somme des n premiers entiers
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
1 + 2 + 3 +:::+n=n(n+ 1)2
Somme des carres
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
12+ 22+ 32+:::+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)6
Somme des cubes
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
13+ 23+ 33+:::+n3=n2(n+ 1)24
Recurrence - suite bornee
On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=pu n+ 11) Demontrer que pour tout entier natureln, 0< un<2
2) Demontrer que pour tout entier natureln,unun+1
Que peut-on deduire?Recurrence - suite croissante, decroissante On considere la suite (un) denie paru0= 10 et pour tout entier natureln,un+1=12 un+ 11) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).
3) Etudier les variations de la fonctionfdenie surRparf(x) =12 x+ 14) Demontrer la conjecture par recurrence.Soit la suite (hn) denie parh0= 80 et pour tout entier natureln,hn+1= 0:75hn+ 30.
1) Conjecturer les variations de (hn).
2) Demontrer par recurrence cette conjecture.Soit (un) la suite denie paru1= 0;4 et pour tout entiern1,un+1= 0;2un+ 0;4.
Demontrer que la suite (un) est croissante.1
Recurrence - suite bornee - inegalite
Soit la suite (un) denie paru0= 0 et pour tout entier natureln,un+1=un+ 34un+ 4 On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =x+ 34x+ 41)Etudier les variations def.
2) Demontrer que pour tout entier natureln, 0un1.Recurrence et suite
On considere la suite (un) denie paru02]0;1[ et pour tout entier natureln,un+1=un(2un)Soit la fonctionfdenie sur [0;1] parf(x) =x(2x).
1) On a trace la courbe defci-dessous.Representer les premiers termes de la suite.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).2)Etudier les variations de la fonctionfdenie sur [0;1] parf(x) =x(2x)
3) Demontrer que pour tout entier natureln, 0un1
4) Demontrer que la conjecture du 1).Recurrence - arithmetique
Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 7n1 est divisible par 6.Erreur classique dans les recurrences
Pour tout entier natureln, on considere les deux proprietes suivantes : P n: 10n1 est divisible par 9 Q n: 10n+ 1 est divisible par 91) Demontrer que siPnest vraie alorsPn+1est vraie.
2) Demontrer que siQnest vraie alorsQn+1est vraie.
3) Un eleve arme : " DoncPnetQnsont vraies pour tout entier natureln.
Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
4) Demontrer quePnest vraie pour tout entier natureln.
5) Demontrer queQnest fausse pour tout entier natureln.
On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.SoitP(n) la propriete denie surNpar : 4 n+ 1 est divisible par 31) Demontrer que siP(n) est vraie alorsP(n+ 1) est vraie.
2) Que peut-on conclure?2
Recurrence et arithmetique
Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 32n1 est un multiple de 8.Recurrence et inegalite
Demontrer que pour tout entiern2, 5n4n+ 3n.Demontrer que pour tout entiern4, 2nn2.On considere la suite (un) denie paru0= 2 et pour tout entier natureln,un+1=un+ 2n+ 5.
Demontrer que pour tout entier naturel n,un> n2.On considere la fonction denie sur ]0;+1[, parf(x) =x2
+1x1)Etudier les variations def.
2) On considere la suite denie paru0= 5 et pour tout entier natureln,un+1=f(un)
a) Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln,p2un+1un5 b) Que peut-on conclure?Recurrence - inegalite de Bernoulli xest un reel positif. Demontrer que pour tout entier natureln, (1 +x)n1 +nxRecurrence et geometrieOn placenpoints distincts sur un cercle, etn2.
Demontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec cesnpoints estn(n+ 1)2Recurrence et somme des angles dans un polygone
Demontrer par recurrence que la somme des angles dans un polygone non croise vaut (n2)radian.Recurrence - formule explicite d'une suite
Soit la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=p2 +un21) Determiner les quatre premiers termes de la suite.
2) Conjecturer l'expression deunen fonction den.
3) Demontrer cette conjecture.On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=12
un+ 3.Demontrer que pour tout entier natureln,un=52
n+ 6Recurrence et derivation Rappel: siuetvsont deux fonctions derivables sur un intervalle I alors8 :uvest derivable sur I et (uv)0=u0v+uv0Soitfune fonction derivable sur un intervalle I.
1) Demontrer par recurrence que pour tout entiern1,fnest derivable sur I et que (fn)0=nf0fn1.
2) Appliquer ce resultat a la fonctionfdenie surRparf(x) =xnounest un entier naturel non nul.Algorithme pour calculer la somme d'une suite
Soit la suiteudenie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1= 2un+ 1 +n.Ecrire un algorithme pour calculer la sommeSn=u0+u1+:::+unen utilisant la boucle "Tant que ...".3
Sens de variation d'une suite par 2 methodes - Exercice tres classique On considere la suite denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=unu n+ 2.1) Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln,un>0.
2) En deduire le sens de variation de (un).
3) On considere la fonctionfdenie sur ]2;+1[ parf(x) =xx+ 2.
a)Etudier les variations def.
b) Refaire la question 2) par une autre methode.Piege classique - Algorithme et suiteOn considere les suites (un) et (vn) denies par :
u0= 1 etv0= 0 et pour tout entier natureln,un+1= 3un+ 4vnetvn+1= 2un+ 3vn.
On chercheunetvnqui soient tous les deux superieurs a 1000.Ecrire un algorithme qui ache le premier couple (un;vn) qui verie cette condition, en
utilisant une boucleTant Que.Determiner les termes d'une suite a l'aide d'un tableur 1. Soit la suite ( un) denie paru0= 3 et pour tout entier naturelnparun+1= 2un+ 5. A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite (un). Quelle formule, etiree vers le bas, peut-on ecrire dans la cellule A3 pour obtenir les termes successifs de la suite (un)? 2. Soit la suite ( vn) denie parv0= 3 et pour tout entier naturelnparvn+1= 2nvn+ 5. A l'aide d'un tableur, determiner les premiers termes de la suite (vn).A 1u n23 311427
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Suite et algorithmique - Completer un algorithme - Un piege tres classique! On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier naturel n,un+1=n+ 12n+ 4 u n.
On admet la limite de la suite (un) vaut 0.
Completer l'algorithme ci-contre, an qu'il ache la plus petite valeur denpour laquelleun6105.n 0U 1Tant que:::n :::U :::Fin Tant que AchernRaisonnement par recurrence - Erreur classique - Surtout a ne pas faire!Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant :
SoitPnla proprieteMn=PDnP1.
P1MP=D,PP1MP=PD,MP=PD,MPP1=PDP1
,M=PDP1. Donc la proprietePnest vraie au rang 1. On suppose que pour tout entierp>1 la propriete est vraie, c'est-a-dire queMp=PDpP1. D'apres l'hypothese de recurrenceMp=PDpP1et on sait queM=PDP1donc : MDonc la propriete est vraie au rangp+ 1.
La propriete est vraie au rang 1; elle est hereditaire pour toutn>1 donc d'apres le principe de recurrence la propriete
est vraie pour toutn>1.Donc, pour toutn>1,Mn=PDnP1.4
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