Chapitre 3: La démonstration par récurrence
Chapitre 3: La démonstration par récurrence. 3.1 Un exemple pour comprendre le principe. Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de . C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que
La démonstration par récurrence
?4 ? ······. Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer
Raisonnement par récurrence
Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités
Prouver une inégalité
2 Passer à l?inverse dans des inégalités de nombres de même signe : 2 Une démonstration par récurrence pour comparer deux expressions An et Bn pour.
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - suite bornée - inégalité. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 3. 4un + 4. On consid`ere la fonction f
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple. Résolution. Pour tout entier naturel non nul n on pose : n. P
Cours complet
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en fonction de un Méthode 2 – Structure d'une démonstration par récurrence.
LES SUITES (Partie 1)
D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
1 La formule de Taylor-Young
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. Pour n = 0 l'hypoth`ese implique que f est continue en a et la formule est évidente avec ?(x) =.
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Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres im- pairs on commence par quelques essais Si n = 1: 1 = 1 Si n = 2:
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Le raisonnement par récurrence est un outil très puissant pour démontrer des propriétés Il est étudié en classe de Terminale S Voici deux exercices qui vous
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L'inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :
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donc la propriété est vraie au rang n + 1 ce qu'on voulait Corrigé 2 Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1
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Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite mathématicien peut être utilisé pour démontrer l'inégalité de Bernoulli
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Démonstration Montrons le résultat par récurrence sur n Pour n = 1 l'inégalité est évidente Supposons maintenant l'inégalité vraie pour un certain
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Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que pour
Comment démontrer une inégalité par récurrence ?
Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ? 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.Quand utiliser la démonstration par récurrence ?
La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.Comment justifier une inégalité ?
2 Multiplier par un réel positif ? : si x ? y et ? ? 0, alors ?x ? ?y. 2 Ajouter des inégalités : si x ? y et a ? b, alors x + a ? y + b. 2 Multiplier des inégalités de nombres positifs : si 0 ? x ? y et 0 ? a ? b, alors xa ? yb. sur R, x ?? ? x sur R+.- Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
PanaMaths Septembre 2013
L'inégalité de Bernoulli.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnxAnalyse
Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
nP : " 1; , 1 1
nxxnx »Initialisation
Pour1n, on a : 1; , 1 1
n xxx et1; , 1 1xnx x .
L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x
supérieur ou égal à 1. 1P est donc vraie.
Hérédité
Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose NP vraie. On suppose donc que
l'on a :1; , 1 1
N xxNx (hypothèse de récurrence).On veut montrer que
1NP, c'est-à-dire :
11; , 1 1 1
N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :111111
NN xNxxxNxxC'est-à-dire :
12 111N xNx N x
PanaMaths Septembre 2013
Comme 20Nx, il vient
211 11NxNx Nx et, finalement :
1 111N xNx t 1N
P est donc vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel n non nul,
nP est vraie.
Résultat final
*, 1; , 1 1 n nx xnxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] moliere 1662
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