[PDF] Cours complet La formule par récurrence





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Chapitre 3: La démonstration par récurrence

Chapitre 3: La démonstration par récurrence. 3.1 Un exemple pour comprendre le principe. Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n 



Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence

Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de . C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que



La démonstration par récurrence

?4 ? ······. Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer 



Raisonnement par récurrence

Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités



Prouver une inégalité

2 Passer à l?inverse dans des inégalités de nombres de même signe : 2 Une démonstration par récurrence pour comparer deux expressions An et Bn pour.



Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le

Récurrence - suite bornée - inégalité. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 3. 4un + 4. On consid`ere la fonction f 



Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout

La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple. Résolution. Pour tout entier naturel non nul n on pose : n. P 



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La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en fonction de un Méthode 2 – Structure d'une démonstration par récurrence.



LES SUITES (Partie 1)

D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n



1 La formule de Taylor-Young

Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. Pour n = 0 l'hypoth`ese implique que f est continue en a et la formule est évidente avec ?(x) =.



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Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres im- pairs on commence par quelques essais Si n = 1: 1 = 1 Si n = 2:



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Le raisonnement par récurrence est un outil très puissant pour démontrer des propriétés Il est étudié en classe de Terminale S Voici deux exercices qui vous 



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L'inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :



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donc la propriété est vraie au rang n + 1 ce qu'on voulait Corrigé 2 Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1 



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Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite mathématicien peut être utilisé pour démontrer l'inégalité de Bernoulli



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Démonstration Montrons le résultat par récurrence sur n Pour n = 1 l'inégalité est évidente Supposons maintenant l'inégalité vraie pour un certain 





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Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que pour 

  • Comment démontrer une inégalité par récurrence ?

    Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ? 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.

  • Quand utiliser la démonstration par récurrence ?

    La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.

  • Comment justifier une inégalité ?

    2 Multiplier par un réel positif ? : si x ? y et ? ? 0, alors ?x ? ?y. 2 Ajouter des inégalités : si x ? y et a ? b, alors x + a ? y + b. 2 Multiplier des inégalités de nombres positifs : si 0 ? x ? y et 0 ? a ? b, alors xa ? yb. sur R, x ?? ? x sur R+.
  • Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
OURSU COURS

1.Définition etnotation

Unesuite uest uneapplication dontl "ensemble dedépart(ensembledesantécé- dents) estdans l" ensembledesentiersnaturels. On note nà laplace dexet onnote u n

à laplace deu(n)ou def(x).

u:n?→u n

La suiteuest doncune suitede termes

u p ;u p+1 ;...;u n-1 ;u n ;u n+1 ?u p est lepr emiertermede lasuite.S ouvent ceser au 0 ouu 1 u n est leter mederang nde lasuite u(image denparu). u n+1 est leter mederang n+1ou leter mesuivantde u n u n-1 est leter mederang n-1ou leter meprécédentdeu n ?La suitede termes u n ,n?N, senote uou(u n )ou(u n n?N

Définition 1- For muleexplicited"unesuite

La formuleexplicited "unesuite

uest l"expressiondeu n en fonctionde n.

Exemples:

?Pourtout n?N,u n =n 2 -5n+3 ?Pourtout n?N ,u n =1-1 n Définition 2- For muleparrécurrenced"une suite

Laformuleparrécurrenced"unesuite

uestl"expressiondeu n enfonctiondeun ou deplusieurs termes précédents.

Exemples:

?Pourtout n?N,u n =u n-1+4etu 0 =1 ?Pourtout n?N ,u n+1 =u n +u n-1 ,u 0 =1etu 1 =1. Méthode 1- Lecture d"unerelation derécurrence

Exemple:Onnote

ulasuitedéfinieparu 0 =1etpourtoutn?N,u n+1 =2u n -5

Pourlir elarelation derécurr enceu

n+1 =2u n -5, ily adeux possibilités: ?: dire: u n+1 est égalà deuxfois u n moins5. ?: dire:un terme dela suiteestégalà deuxfois leter meprécédent moins 5. La deuxièmepossibilité estbien pluspr atiquedans lesexer cicesetpermet de comprendrelar elationqui relieunter meà l"autre etceci quelquesoitle rang auquel onest.

Autreexemple : Pourtout

n?N ?,u n+1 =u n +u n-1 ,u 0 =1etu 1 =1.

La relationderécurr ence

u n+1 =u n +u n-1 se lit: unter mede lasuiteestégal à la sommedes deuxprécédents . -2-

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2.Démonstration parrécurr ence

de et lorsquela démonstration directeestdifficile . Ilfaut doncav oirà démontrertoutepr opriété ressemblantà:

Pourtout entiernatur el

n≥p, lapr opriétéP n est vraie Méthode 2- Str uctured'unedémonstrationparrécurrence Pourfair ecetypede démonstration onv adev oirprouver lesdeux étapes suivantes: ?La propriétéestvraie aur ang p(initialisation). ?Pourun k estvraiealorsP k+1 l"estaussi.Onditdanscecas que P n a uncar actèrehéréditaireouque P k impliqueP k+1

Onpourr aalorsconclure que

P n est vraiepourtout n≥p. Enfait celar evientà trouverune méthodepour monterunescalierinfini.

Pourpouv oirlemonteril faut:

?Pouvoirmontersur lapr emière marche (Initialisation). ?Sion estsur unemar cheil fautêtr ecapabledemonter surla suivante . (Hérédité) !S"ilmanque unedes deuxétapes (initialisationou hérédité)alors la propriétéestfausse .

Exemple:

Soit aun réelpositif.

Montronsquepour toutentier naturel

n,(1+a) n ≥1+na Onnomme cetteinégalité, l"inégalité deBernoulli.

Démonstrationpar récurrence

Onnote

P n la propriété:(1+a) n ≥1+na, pourn?N

Initialisation: (Pourn=0)

(1+a) 0 =1

1+0×a=1?

doncP 0 est vraie.

Hérédité: onsuppose que

P k est vraiepourun rang k, montronsquedans cecas P k+1 l"estaussi. (1+a) k ≥1+nad"aprèsl"hypothèse derécurrenceet comme1+a>0alors (1+a) k (1+a)≥(1+na)(1+a)?(1+a) k+1 ≥1+a+na+na 2 ?(1+a) k+1 ≥1+(n+1)a+na 2 ≥1+(n+1)a doncP k+1 est vraie. -3-

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Conclusion:

P 0 est vraie P k impliqueP k+1 donc pourtout n?N, (1+a) n ≥1+na

Méthode 3- Démonstrationpar récurrence

Pourrédiger vos démonstrationsparrécurr enceilfautêtr er igoureuxetbien

écriretoutesles étapes.

Voicile squelettede rédaction:

Onnote

P n la propriété:......

Initialisation: (Pourn=...)

Hérédité: onsuppose queP

k est vraiepourun rang k, montronsquedans ce cas P k+1 l"estaussi.

Conclusion:

P p est vraie P k impliqueP k+1 donc...

Exemples:

1) Onnote

u n )la suitedéfinie paru 0 =2et pourtout n?N,u n+1 =2u n -3

Montronsparrécurr enceque pourtoutn?N,u

n =-2 n +3

Onnote P

n la propriété:u n =-2 n +3

Initialisation: (Pourn=0)

u 0 =2 2 0 +3=-1+3=2?quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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