Chapitre 3: La démonstration par récurrence
Chapitre 3: La démonstration par récurrence. 3.1 Un exemple pour comprendre le principe. Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de . C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que
La démonstration par récurrence
?4 ? ······. Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer
Raisonnement par récurrence
Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités
Prouver une inégalité
2 Passer à l?inverse dans des inégalités de nombres de même signe : 2 Une démonstration par récurrence pour comparer deux expressions An et Bn pour.
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - suite bornée - inégalité. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 3. 4un + 4. On consid`ere la fonction f
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple. Résolution. Pour tout entier naturel non nul n on pose : n. P
Cours complet
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en fonction de un Méthode 2 – Structure d'une démonstration par récurrence.
LES SUITES (Partie 1)
D'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n
1 La formule de Taylor-Young
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. Pour n = 0 l'hypoth`ese implique que f est continue en a et la formule est évidente avec ?(x) =.
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Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres im- pairs on commence par quelques essais Si n = 1: 1 = 1 Si n = 2:
[PDF] Raisonnement par récurrence - PAESTEL
Le raisonnement par récurrence est un outil très puissant pour démontrer des propriétés Il est étudié en classe de Terminale S Voici deux exercices qui vousÂ
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La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété dépendant de n est vraie pour toutes les valeurs de n On appelle dans ceÂ
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L'inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :
[PDF] Entraînement sur les récurrences
donc la propriété est vraie au rang n + 1 ce qu'on voulait Corrigé 2 Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence sur n Initialisation : pour n = 1Â
[PDF] RAISONNEMENT PAR RECURRENCE ET LIMITE DE SUITE
Chapitre 2 : Démonstration par récurrence et limite de suite mathématicien peut être utilisé pour démontrer l'inégalité de Bernoulli
[PDF] Inégalités
Démonstration Montrons le résultat par récurrence sur n Pour n = 1 l'inégalité est évidente Supposons maintenant l'inégalité vraie pour un certainÂ
[PDF] Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Dans ce cas on dispose d'une formule permettant de calculer directement Un en fonction de C'est à dire qu'il existe une fonction définie sur telle que pourÂ
Comment démontrer une inégalité par récurrence ?
Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ? 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.Quand utiliser la démonstration par récurrence ?
La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.Comment justifier une inégalité ?
2 Multiplier par un réel positif ? : si x ? y et ? ? 0, alors ?x ? ?y. 2 Ajouter des inégalités : si x ? y et a ? b, alors x + a ? y + b. 2 Multiplier des inégalités de nombres positifs : si 0 ? x ? y et 0 ? a ? b, alors xa ? yb. sur R, x ?? ? x sur R+.- Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
LES SUITES (Partie 1)
I. Raisonnement par récurrence
1) Le principe
C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent. Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n 0 si lorsque pour un entier k n 0 , la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n
0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n 0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n 0 Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n 0 = 1. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).On en déduit que tous les dominos tombent.
2 Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en oeuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile.2) Exemples avec les suites
Méthode : Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suiteVidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ +2í µ+3 et =1.Démontrer par récurrence que : í µ
í µ+1 • Initialisation : à Le premier domino tombe. 0+1 =1=í µLa propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : à On suppose que le k-ième domino tombe. Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : í µ 0 í µ+1 - Démontrons que : à Le k+1-ième domino tombe-t-il ? La propriété est vraie au rang k+1, soit : í µ 0#$ í µ+2 0#$ 0 +2í µ+3, par définition í µ+1 +2í µ+3, par hypothèse de récurrence +2í µ+1+2í µ+3 +4í µ+4 í µ+2à Le k+1-ième domino tombe.
• Conclusion : à Tous les dominos tombent.La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : í µ í µ+1 Méthode : Démontrer la monotonie par récurrenceVidéo https://youtu.be/nMnLaE2RAGk
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ 3 +2 et =2.Démontrer par récurrence que la suite (u
n ) est croissante. On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : í µ • Initialisation : í µ =2 et í µ 3 +2= 3×2+2=
6 3 >2 donc í µ 3 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : í µ 0#$ 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : í µ 0#. 0#$On a í µ
0#$ 0 donc : 3 í µ+1 3 et donc 3 í µ+1 +2≥ 3 +2 soit í µ 0#. 0#$ • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : í µ et donc la suite (u n ) est croissante.3) Inégalité de Bernoulli
Soit un nombre réel a strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on a :
1+í µ
≥1+í µí µ.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
• Initialisation : - La propriété est vraie pour n = 0.En effet,
1+í µ
=1 et 1+0Ã—í µ=1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :1+í µ
0 ≥1+í µí µ - Démontrons que : la propriété est vraie au rang k+1, soit :1+í µ
0#$ ≥1+ í µ+11+í µ
0 ≥1+í µí µ, d'après l'hypothèse de récurrence.Donc :
1+í µ
1+í µ
01+í µ
1+í µí µ
Soit :
1+í µ
0#$ ≥1+í µí µ+í µ+í µí µSoit encore :
1+í µ
0#$ ≥1+ í µ+1 ≥1+ í µ+1 í µ, car í µí µ ≥0.Et donc :
1+í µ
0#$ ≥1+ í µ+1 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Remarque : L'initialisation est indispensable sinon on peut démontrer des propriétés fausses ! En effet, démontrons par exemple que la propriété "2 n est divisible par 3" est héréditaire sans vérifier l'initialisation. 4Supposons qu'il existe un entier k tel que 2
k est divisible par 3. 2 k+1 = 2 k x 2 = 3p x 2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6pDonc 2
k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie.II. Limite finie ou infinie d'une suite
1) Limite infinie
Exemple :
La suite (u
n ) définie sur â„• par í µ a pour limite +∞. En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite à partir d'un certain rang.Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.Définitions : - On dit que la suite (u
n ) admet pour limite +∞ si tout intervalle a réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim í±¢â†’#C - On dit que la suite (u n ) admet pour limite -∞ si tout intervalle , b réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim í±¢â†’#C Algorithme permettant de déterminer un rang à partir duquel une suite croissante de limite infinie est supérieure à un nombre réel A :On considère la suite (u
n ) définie par í µ =2 et pour tout entier n, í µ =4í µ Cette suite est croissante et admet pour limite +∞.Voici un algorithme écrit en langage naturel :
En appliquant cet algorithme avec A = 100, on
obtient en sortie n = 3.A partir du terme u
3 , la suite est supérieure à 100.En langage calculatrice et Python, cela donne :
Vidéos dans la Playlist :
Langage naturel
Entrée
Saisir le réel A
Initialisation
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
Traitement des données
Tant que u < A
FaireAffecter à n la valeur n + 1
Affecter à u la valeur 4u
Sortie
Afficher n
5TI CASIO Python
2) Limite finie
Exemple : La suite (u
n ) définie sur â„•* par í µ =1+ a pour limite 1. En effet, les termes de la suite se resserrent autour de 1 à partir d'un certain rang. Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 1, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang.Définition : On dit que la suite (u
n ) admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim í±¢â†’#CUne telle suite est dite convergente.
Définition : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.Remarque :
Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie.Par exemple, la suite de terme générale
-1 prend alternativement les valeurs -1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.3) Limites des suites usuelles
Propriétés :
-lim í±¢â†’#C í µ=+∞, lim í±¢â†’#C =+∞, lim í±¢â†’#C - lim í±¢â†’#C =0, lim í±¢â†’#C =0, lim í±¢â†’#C =0.Démonstration de : lim
í±¢â†’#C =0Soit un intervalle quelconque ouvert
, a réel positif non nul, contenant 0.Pour tout n, tel que : n >
I , on a : 0 < < a et donc 6 Ainsi, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle et donc lim í±¢â†’#C =0.III. Opérations sur les limites
Vidéo https://youtu.be/v7hD6s3thp8
1) Limite d'une somme
lim í±¢â†’#C L L L lim í±¢â†’#C L' lim í±¢â†’#CL + L'
F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle.Exemple : lim
í±¢â†’#C lim í±¢â†’#C =+∞ et lim í±¢â†’#C D'après la règle sur la limite d'une somme : lim í±¢â†’#C2) Limite d'un produit
lim í±¢â†’#C L L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 +∞ -∞ +∞ 0 lim í±¢â†’#C L' +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ -∞ +∞ ou lim í±¢â†’#C L L' +∞ -∞ -∞ +∞ +∞ +∞ -∞ F.I.Exemple : lim
í±¢â†’#C M +1N +3 lim í±¢â†’#C =0 donclim í±¢â†’#C M +1N=1 et lim í±¢â†’#C =+∞ donc lim í±¢â†’#C +3 D'après la règle sur la limite d'un produit : lim í±¢â†’#C M +1N +33) Limite d'un quotient
lim í±¢â†’#C L L L > 0 ou L < 0 ou L > 0 ou L < 0 ou 0 ou lim í±¢â†’#C L'0 ou 0 avec >0 0 avec >0 0 avec <0 0 avec <0 0L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0
ou lim í±¢â†’#C0 +∞ -∞ -∞ +∞
F.I. F.I. 7Exemple : lim
í±¢â†’#CQí±¢
Q3 lim í±¢â†’#C =+∞ donc lim í±¢â†’#C =-∞ et donc lim í±¢â†’#C -3=-∞ D'après la règle sur la limite d'un quotient : lim í±¢â†’#CQí±¢
Q3 =0Remarque :
Tous ces résultats sont intuitifs. On retrouve par exemple, un principe sur les opérations de limite semblable à la règle des signes établie sur les nombres relatifs. Il est important cependant de reconnaître les formes indéterminées pour lesquelles il faudra utiliser des calculs algébriques afin de lever l'indétermination ou utiliser d'autres propriétés sur les calculs de limites. Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : "∞-∞", "0×∞", " " et " 0 0Méthode : Lever une indétermination
Vidéo https://youtu.be/RQhdU7-KLMA
Vidéo https://youtu.be/wkMleHBnyqU
Vidéo https://youtu.be/loytWsU4pdQ
Vidéo https://youtu.be/9fEHRHdbnwQ
Déterminer les limites suivantes :
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