Correction contrôle de mathématiques PDF

Correction contrôle de mathématiques

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Correction contrôle de mathématiques

Du lundi 04 décembre 2017

Exercice1

ROC(3 points)

Voir cours.

Exercice2

Propriétés, équation et inéquation(3 points)

1) a) Comme la fonction exp est monotone surR, on a les équivalences :

e S={1} b) Comme la fonction exp est strictement positive surR, on a les équivalences : xe

2x-2e2x=0?e2x(x-2)=0?x=2?S=(2)

2) Comme la fonction exp est strictement croissante surR, on a les équivalences :

2x-1>ex?2x-1>0?x>1?S=]1 ;+∞[.

Exercice3

Limite et dérivée.(4 points)

1) a) ex-1 x=exx-1x. lim x→+∞e x x= +∞et limx→+∞-1x=0 par somme limx→+∞e x-1x= +∞. b) ex-1

3x=13×ex-1x, or limx→0e

x-1x=1 par produit limx→0e x-13x=13. c) (x-1)ex=xex-ex. lim x→-∞xex=0 et limx→-∞-ex=0 par somme limx→-∞(x-1)ex=0.

2) (eu)?=u?eu

f f ?(x)=0?x=1

2car?x?R,e2x+1>0. Signef?(x)=signe (1-2x)

x f ?(x) f(x) -∞12+∞ 0- 1 2e2
1 2e2
paul milan1terminale s correction du contrˆole de math´ematiques

Exercice4

Un grand BOUM(10 points)

Partie A

1) lim

x→-∞ex=0 et limx→-∞xex=0 par somme limx→-∞g(x)=1. g(x)=(1-x)ex+1 donclimx→+∞1-x=-∞ lim lim x→+∞g(x)=-∞.

2)g?(x)=ex-ex-xex=-xex.

g ?(x)=0?x=0 car?x?R,ex>0 signe deg?(x)=signe de (-x). On obtient le tableau de variation suivant : x g ?(x) g(x) -∞0+∞ 0- 11 22

3) Sur ]- ∞; 0[,g(x)>1 donc ne peut s'annuler.

Sur [0 ;+∞[

gest continue car dérivable.

gest monotone car décroissante.

gchange de signe carg(0)=2 et limx→+∞g(x)=-∞ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équationg(x)=0 admet une unique solutionα. Conclusion : SurR, l'équationg(x)=0 admet une unique solutionα. g(2)=-e2+1≈ -6,39 doncgchange de signe sur [0,2] et donc 0< α <2. L'algorithme de dichotomie donne : 1,278< α <1,279 après 11 itérations.

4)g(α)=0?(1-α)eα+1=0?eα=-1

1-α=1α-1.

5) D'après les variation deg, six< αalorsg(x)>0 et six> αalorsg(x)<0

Partie B

1) a)A(x)=x×f(x)=4x

ex+1. b)A?(x)=4(ex+1)-4xex (ex+1)2=4(ex-xex+1(ex+1)2=4g(x)(ex+1)2. c)?x?R,4 (ex+1)2>0 donc signedeA?(x)=signedeg(x). D'aprèslapartieA: paul milan2terminale s correction du contrˆole de math´ematiques x A ?(x)

A(x)0α+∞

0- 00

A(α)A(α)

2) L'aire du rectangle BOUM est donc maximale lorsque M a pour abscisseα.

A(α)=4α

eα+1A 5)=4α1

α-1+1×(α-1)=4α(α-1)

1+α-1=4α(α-1)α=4(α-1)

1,278< α <1,279?0,278< α-1<0,279?1,112<4(α-1)<1,116?

1,112
3) La pente de la droite (BU) enαvaut :m=-OU

OB=-f(α)α.
La pente de la tangente àCfenαvaut :f?(α).
On dérivef:f?(x)=-4ex
(ex+1)1, la valeur enαvaut donc : f ?(α)=-4eα (eα+1)2=-4eα+1×eαeα+1A 5)=-f(α)×1
α-1
1
α-1+1=-f(α)×1

1+α-1
=-f(α) Les deux pentes sont égales, donc la tangente àCfenαest parallèle à la droite (BU). 123

1 2 3-1
Amax M B U O paul milan3terminale squotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Du lundi 04 décembre 2017

Exercice1

ROC(3 points)

Voir cours.

Exercice2

1) a) Comme la fonction exp est monotone surR, on a les équivalences :

2x-2e2x=0?e2x(x-2)=0?x=2?S=(2)

2) Comme la fonction exp est strictement croissante surR, on a les équivalences :

2x-1>ex?2x-1>0?x>1?S=]1 ;+∞[.

Exercice3

Limite et dérivée.(4 points)

3x=13×ex-1x, or limx→0e

2) (eu)?=u?eu

2car?x?R,e2x+1>0. Signef?(x)=signe (1-2x)

Exercice4

Un grand BOUM(10 points)

Partie A

1) lim

2)g?(x)=ex-ex-xex=-xex.

3) Sur ]- ∞; 0[,g(x)>1 donc ne peut s'annuler.

Sur [0 ;+∞[

gest continue car dérivable.

gest monotone car décroissante.

4)g(α)=0?(1-α)eα+1=0?eα=-1

1-α=1α-1.

5) D'après les variation deg, six< αalorsg(x)>0 et six> αalorsg(x)<0

Partie B

1) a)A(x)=x×f(x)=4x

A(x)0α+∞

A(α)A(α)

2) L'aire du rectangle BOUM est donc maximale lorsque M a pour abscisseα.

A(α)=4α

α-1+1×(α-1)=4α(α-1)

1+α-1=4α(α-1)α=4(α-1)

1,278< α <1,279?0,278< α-1<0,279?1,112<4(α-1)<1,116?

3) La pente de la droite (BU) enαvaut :m=-OU

OB=-f(α)α.

On dérivef:f?(x)=-4ex

α-1

α-1+1=-f(α)×1

1+α-1

1 2 3-1

gest continue car dérivable.

gest monotone car décroissante.