Contrôle de mathématiques PDF 4 déc. 2017 Exercice

Correction contrôle de mathématiques

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Contrôle de mathématiques

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Contrôle de mathématiques

Lundi 04 décembre 2017

Exercice1

ROC(3 points)

On pose la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=ex-x.

1) Étudier les variations defet montrer que :?x?R,f(x)>0.

2) En déduire que lim

x→+∞ex= +∞.

3) En faisant un changement de variable astucieux démontrerque : limx→-∞ex=0.

Exercice2

Propriétés, équation et inéquation(3 points) On justifiera chaque étape des résolutions suivantes.

1) Résoudre dansR, les équations suivantes :

a)ex2+5=e2x+4b)xe2x-2e2x=0

2) Résoudre dansR, l'inéquation suivante :e2x-1>ex.

Exercice3

Limite et dérivée.(4 points)

1) En mettant en évidence les limites de référence, déterminer les limites suivantes

a) lim x→+∞e x-1 xb) limx→0e x-13xc) limx→-∞(x-1)ex

2) Déterminer la dérivée de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=(1-x)e2x+1.

Donner les variations def. On ne demande par les limites en-∞et+∞

Exercice4

Un grand BOUM(10 points)

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=4

ex+1.Cfest sa courbe représentative.

Partie A

Soitgla fonction définie surRpar :g(x)=ex-xex+1

1) Calculer lim

x→-∞g(x) et limx→+∞g(x).

2) Étudier les variation deg, puis dresser le tableau de variation deg.

3) Montrer que l'équationg(x)=0 a une unique solutionαsurR.

Donner un encadrement à 10

-3deαà l'aide de l'algorithme de dichotomie. On don- nera le nombre d'itérations. On pourra calculerg(2).

PaulMilan1 TerminaleS

contrˆole de math´ematiques

4) Démontrer queeα=1α-1

5) Étudier le signe deg(x).

Partie B

On donne la courbeCfreprésentative de la fonctionf. Soit M un point deCfet B et U les projetés de M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. 123

1 2 3-1

M BU O

1) SoitAla fonction qui à toutx?R?associe l'aire du rectangle BOUM.

a) DéterminerA(x). b) Démontrer queA?(x)=4g(x) (ex+1)2. c) En déduire les variations deA.

2) Montrer que l'aire du rectangle BOUM est maximale lorsque Ma pour abscisseα.

Déterminer un encadrement de cette aire maximale à l'aide dela partie A.

3) Démontrer que la tangente àCfau point d'abscisseαest parallèle à la droite (BU).

paul milan2terminaleSquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Contrôle de mathématiques 4 déc. 2017 Exercice

Contrôle de mathématiques

Lundi 04 décembre 2017

Exercice1

ROC(3 points)

1) Étudier les variations defet montrer que :?x?R,f(x)>0.

2) En déduire que lim

3) En faisant un changement de variable astucieux démontrerque : limx→-∞ex=0.

Exercice2

1) Résoudre dansR, les équations suivantes :

2) Résoudre dansR, l'inéquation suivante :e2x-1>ex.

Exercice3

Limite et dérivée.(4 points)

1) En mettant en évidence les limites de référence, déterminer les limites suivantes

2) Déterminer la dérivée de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=(1-x)e2x+1.

Exercice4

Un grand BOUM(10 points)

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=4

Partie A

1) Calculer lim

2) Étudier les variation deg, puis dresser le tableau de variation deg.

3) Montrer que l'équationg(x)=0 a une unique solutionαsurR.

Donner un encadrement à 10

PaulMilan1 TerminaleS

4) Démontrer queeα=1α-1

5) Étudier le signe deg(x).

Partie B

1 2 3-1

1) SoitAla fonction qui à toutx?R?associe l'aire du rectangle BOUM.

2) Montrer que l'aire du rectangle BOUM est maximale lorsque Ma pour abscisseα.

3) Démontrer que la tangente àCfau point d'abscisseαest parallèle à la droite (BU).