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Contrôle de mathématiques
Lundi 04 décembre 2017
Exercice1
ROC(3 points)
On pose la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=ex-x.1) Étudier les variations defet montrer que :?x?R,f(x)>0.
2) En déduire que lim
x→+∞ex= +∞.3) En faisant un changement de variable astucieux démontrerque : limx→-∞ex=0.
Exercice2
Propriétés, équation et inéquation(3 points) On justifiera chaque étape des résolutions suivantes.1) Résoudre dansR, les équations suivantes :
a)ex2+5=e2x+4b)xe2x-2e2x=02) Résoudre dansR, l'inéquation suivante :e2x-1>ex.
Exercice3
Limite et dérivée.(4 points)
1) En mettant en évidence les limites de référence, déterminer les limites suivantes
a) lim x→+∞e x-1 xb) limx→0e x-13xc) limx→-∞(x-1)ex2) Déterminer la dérivée de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=(1-x)e2x+1.
Donner les variations def. On ne demande par les limites en-∞et+∞Exercice4
Un grand BOUM(10 points)
Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=4
ex+1.Cfest sa courbe représentative.Partie A
Soitgla fonction définie surRpar :g(x)=ex-xex+11) Calculer lim
x→-∞g(x) et limx→+∞g(x).2) Étudier les variation deg, puis dresser le tableau de variation deg.
3) Montrer que l'équationg(x)=0 a une unique solutionαsurR.
Donner un encadrement à 10
-3deαà l'aide de l'algorithme de dichotomie. On don- nera le nombre d'itérations. On pourra calculerg(2).PaulMilan1 TerminaleS
contrˆole de math´ematiques4) Démontrer queeα=1α-1
5) Étudier le signe deg(x).
Partie B
On donne la courbeCfreprésentative de la fonctionf. Soit M un point deCfet B et U les projetés de M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. 1231 2 3-1
M BU O1) SoitAla fonction qui à toutx?R?associe l'aire du rectangle BOUM.
a) DéterminerA(x). b) Démontrer queA?(x)=4g(x) (ex+1)2. c) En déduire les variations deA.2) Montrer que l'aire du rectangle BOUM est maximale lorsque Ma pour abscisseα.
Déterminer un encadrement de cette aire maximale à l'aide dela partie A.3) Démontrer que la tangente àCfau point d'abscisseαest parallèle à la droite (BU).
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