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Correction contrôle de mathématiques
Du lundi 04 décembre 2017
Exercice1
ROC(3 points)
Voir cours.
Exercice2
Propriétés, équation et inéquation(3 points)1) a) Comme la fonction exp est monotone surR, on a les équivalences :
e S={1} b) Comme la fonction exp est strictement positive surR, on a les équivalences : xe2x-2e2x=0?e2x(x-2)=0?x=2?S=(2)
2) Comme la fonction exp est strictement croissante surR, on a les équivalences :
e2x-1>ex?2x-1>0?x>1?S=]1 ;+∞[.
Exercice3
Limite et dérivée.(4 points)
1) a) ex-1 x=exx-1x. lim x→+∞e x x= +∞et limx→+∞-1x=0 par somme limx→+∞e x-1x= +∞. b) ex-13x=13×ex-1x, or limx→0e
x-1x=1 par produit limx→0e x-13x=13. c) (x-1)ex=xex-ex. lim x→-∞xex=0 et limx→-∞-ex=0 par somme limx→-∞(x-1)ex=0.2) (eu)?=u?eu
f f ?(x)=0?x=12car?x?R,e2x+1>0. Signef?(x)=signe (1-2x)
x f ?(x) f(x) -∞12+∞ 0- 1 2e21 2e2
paul milan1terminale s correction du contrˆole de math´ematiques
Exercice4
Un grand BOUM(10 points)
Partie A
1) lim
x→-∞ex=0 et limx→-∞xex=0 par somme limx→-∞g(x)=1. g(x)=(1-x)ex+1 donclimx→+∞1-x=-∞ lim lim x→+∞g(x)=-∞.2)g?(x)=ex-ex-xex=-xex.
g ?(x)=0?x=0 car?x?R,ex>0 signe deg?(x)=signe de (-x). On obtient le tableau de variation suivant : x g ?(x) g(x) -∞0+∞ 0- 11 223) Sur ]- ∞; 0[,g(x)>1 donc ne peut s'annuler.
Sur [0 ;+∞[
gest continue car dérivable.
gest monotone car décroissante.
gchange de signe carg(0)=2 et limx→+∞g(x)=-∞ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équationg(x)=0 admet une unique solutionα. Conclusion : SurR, l'équationg(x)=0 admet une unique solutionα. g(2)=-e2+1≈ -6,39 doncgchange de signe sur [0,2] et donc 0< α <2. L'algorithme de dichotomie donne : 1,278< α <1,279 après 11 itérations.4)g(α)=0?(1-α)eα+1=0?eα=-1
1-α=1α-1.
5) D'après les variation deg, six< αalorsg(x)>0 et six> αalorsg(x)<0
Partie B
1) a)A(x)=x×f(x)=4x
ex+1. b)A?(x)=4(ex+1)-4xex (ex+1)2=4(ex-xex+1(ex+1)2=4g(x)(ex+1)2. c)?x?R,4 (ex+1)2>0 donc signedeA?(x)=signedeg(x). D'aprèslapartieA: paul milan2terminale s correction du contrˆole de math´ematiques x A ?(x)A(x)0α+∞
0- 00A(α)A(α)
2) L'aire du rectangle BOUM est donc maximale lorsque M a pour abscisseα.
A(α)=4α
eα+1A 5)=4α1α-1+1×(α-1)=4α(α-1)
1+α-1=4α(α-1)α=4(α-1)
1,278< α <1,279?0,278< α-1<0,279?1,112<4(α-1)<1,116?
1,112 3) La pente de la droite (BU) enαvaut :m=-OU
OB=-f(α)α.
La pente de la tangente àCfenαvaut :f?(α). On dérivef:f?(x)=-4ex
(ex+1)1, la valeur enαvaut donc : f ?(α)=-4eα (eα+1)2=-4eα+1×eαeα+1A 5)=-f(α)×1 α-1
1 α-1+1=-f(α)×1
1+α-1
=-f(α) Les deux pentes sont égales, donc la tangente àCfenαest parallèle à la droite (BU). 123
1 2 3-1
Amax M B U O paul milan3terminale squotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
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