[PDF] fic00056.pdf Les valeurs propres de C

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

A=0 1 a1+a

On définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N

u n+2= (1+a)un+1aun 1. Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ? 2.

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

3. On suppose Adiagonalisable. On noteUnle vecteurUn=un u n+1 , exprimerUn+1en fonction deUnet deA, puisUnen fonction deU0et deA.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

A=0 @0 1 0 4 4 0

2 1 21

A 1.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

2. Calculer (A2I3)2, puis(A2I3)npour toutn2N. En déduireAn. Soitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 B

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

C CA: 1. Démontrer que 1 et 2 sont des v aleurspropres de f. 2.

Déterminer les v ecteurspropres de f.

3. Soit ~uun vecteur propre defpour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs~vet~wtels que f(~v) =2~v+~uetf(~w) =2~w+~v: 1

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

5.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

A=0 @3 01 2 4 2

1 0 31

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible

tellesA=PDP1. 3. Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A. 4.

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante

A=1 1 2 1 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les v aleurspropres de A. 2. On note l1>l2les valeurs propres deA,E1etE2les sous-espaces propres associés. Déterminer une

base(~e1;~e2)deR2telle que~e12E1,~e22E2, les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme(1;y).

3.

Soit ~xun vecteur deR2, on note(a;b)ses coordonnées dans la base(~e1;~e2). Démontrer que, pourn2N,

on a A n~x=aln1~e1+bln2~e2 4.

Notons An~x=an

b n dans la base canonique deR2. Exprimeranetbnen fonction dea,b,l1etl2. En déduire que, sia6=0, la suitebna ntend versp2 quandntend vers+¥. 5.

Expliquer ,sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de

p2 par une suite de nombres rationnels. SoitP(X)un polynôme deC[X], soitAune matrice deMn(C). On noteBla matrice :B=P(A)2Mn(C). 1. Démontrer que si ~xest un vecteur propre deAde valeur proprel, alors~xest un vecteur propre deBde valeur propreP(l). 2

2.Le b utde cette question est de démontrer que les v aleurspropres de Bsont toutes de la formeP(l), avec

lvaleur propre deA. Soitm2C, on décompose le polynômeP(X)men produit de facteurs de degré 1 :

P(X)m=a(Xa1)(Xar):

(a)

Démontrer que

det(BmIn) =andet(Aa1In)det(AarIn): (b) En déduire que si mest valeur propre deB, alors il existe une valeur propreldeAtelle que m=P(l). 3. On note SAl"ensemble des valeurs propres deA, démontrer que S

B=fP(l)=l2SAg:

4. Soient l1;:::;lrles valeurs propres deAet soitQ(X)le polynôme :

Q(X) = (Xl1)(Xlr);

on noteCla matriceC=Q(A). (a)

Démontrer que SC=f0g.

(b) En déduire que le polynôme caractéristique de Cest(1)nXnet queCn=0.

Exercice 7SoitAla matrice

A=0 @11 0 1 01

1 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5.

Pour t2R, calculer exptB.

6. Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX. 3

1.On note (~e1;~e2;~e3)la base canonique deR3. SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 31

A Donner sans calcul les valeurs propres deAet une base de vecteurs propres. 2. On cherche à déterminer ,s"il en e xiste,les matrices Btelles que expB=A. (a)

Montrer que si A=expB, alorsAB=BA.

(b) En déduire que la base (~e1;~e2;~e3)est une base de vecteurs propres de B. (c) Déterminer toutes les matrices B2M3(R)telles que expB=A. Justifier. 3.

Soit la matrice C,

C=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A Montrer qu"il n"existe pas de matriceD2M3(R)telle queC=expD. 4. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de C. 5. Supposons qu"il e xisteune matrice E2M3(R)telle queE2=C. NotonsQE(X)son polynôme minimal etQC(X)le polynôme minimal deC. (a)

Montrer que QE(X)diviseQC(X2).

(b)

En déduire que E3=0 et queC2=0.

(c) Déduire de ce qui précède qu"il n"e xistepas de matrice Etelle queE2=C. 6. Soient FetGdes matrices deM3(R)telles queF=expG. Démontrer que pour toutn2N, il existe une matriceHtelle queHn=F.

Exercice 9Soitm2R, etAla matrice

A=0 @1+m1+m1 mm1 m m1 01 A 1. F actoriserle polynôme caractéristique de Aet montrer que les valeurs propres deAsont1 et 1. 2.

Pour quelles v aleursde mla matrice est-elle diagonalisable ? (justifier). Déterminer suivant les valeurs

demle polynôme minimal deA(justifier). 1. Donner unexempledematricedansM2(R), diagonalisablesurCmaisnondiagonalisablesurR(justifier). 2. Donner un e xemplede matrice dans M2(R)non diagonalisable, ni surC, ni surR(justifier). 4

SoitAla matrice suivante :

A=0 1 1 0 1.

Diagonaliser la matrice A.

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