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2) Algorithme du point fixe. 3) Théorème du point fixe. 4) Exercice calcul numérique de. 5) Deux exercices corrigés. Point fixe.
Analyse Numérique
Corrigé du TD 5. EXERCICE admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. ... Par suite d'apr`es l'exercice 1
Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.
Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9. Résolution numérique des équations non linéaires. Méthode du point fixe pour la
1 Point fixe et Newton
Calculer u2 puis donner un encadrement de
Analyse Numérique
Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de votre Commençons par traiter le cas du point fixe qui est fondamental d'un ...
1 Point fixe et Newton
Calculer u2 puis donner un encadrement de
2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)
SYSTÈMES NON LINÉAIRES. 2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe). Exercice 76 (Calcul différentiel). Suggestions en page 163 corrigé détaillé en page 163.
Analyse Numérique - Exercices Corrigés
c'est-à-dire k ? 21 itérations sont nécessaires. Exercice 7. 1. On regarde la méthode de Newton comme une méthode de point fixe : x(k
Corrigé du D.M. 1 info : points fixes des fonctions `a domaine fini
Remarque 2 : une fonction croissante de En dans En admet toujours un point fixe. Démonstration de cette remarque : Ceci est un joli exercice de mathématiques.
Réponses aux exercices du chapitre 2
c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de ? pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On
225 Exercices (méthodes de point x e) - univ-amufr
2 2 5 Exercices (méthodes de point x e) 2 2 LES MÉTHODES DE POINT FIXE CHAPITRE 2 SYSTÈMES NON LINÉ AIRES 2 2 5 Exercices (méthodes de point x e) Exercice 76 (Calcul différentiel) Suggestionsen page 163 corrigé détaillé en page 163 Soit f 2 C2(IRn;IR) : 1 Montrer que pour tout x 2 IRn il existe un unique vecteur a (x ) 2 IRntel
Théorèmes de point fixe
La méthode converge vers le point fixe (r r) qui est situé à l'intersection de la courbe et de la droite Si la méthode démarre d'une autre valeur initiale prise dans la même région la suite tend vers le même point fixe
Théorèmes de point fixe
Exercice 2 : Montrer que toute fonction continue bornée de R dans R admet au moins un point fixe Solution : Si f(R) ? [a b] alors f([a b]) ? [a b] Appliquer la prop 1 à la restriction de f à [a b] Exercice 3 : Soit f ? C([a b] R) telle que ? b a ( ) f t dt = 2 b²?a² Montrer que ?c ? ]a b[ f(c) = c
EXAMEN 1 - Corrigé
etf0(x) = 20xe10x2cos(x) e2sin(x) :Celadonne 0f’jf(x)j x= 4:1322 1012 Question3 (25points) Onveutcalculerl’uniqueracinepositiverdel’équationf(x) = 0 où f(x) = exx 2: On vous propose d’appliquer 2 méthodes de points ?xes basées sur les fonctions suivantes g 1(x) = ex2 g
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Created Date: 2/20/2008 9:49:03 AM
Comment calculer le point fixe d’une fonction?
» Paul Valéry (Cahiers II, p. 795) Introduction Si f est une fonction d’un ensemble E dans lui-même, on appelle point fixe de f tout élément x de E tel que x = f(x).
Qu'est-ce que le théorème de point fixe?
Le théorème de point fixe que nous allons maintenant exposer est l’un des plus importants des mathématiques : il n’est pas exagéré de parler de «métathéorème» , tant sont nombreuses ses applications pratiques et théoriques.
Qu'est-ce que la propriété de point fixe?
Propriété de point fixe . Définition 1 : On dit qu’un espace métrique (ou topologique) X vérifie la propriété du point fixe (en abrégé, PPF) si toute application continue g : X ? X possède au moins un point fixe. Naturellement tout espace topologique homéomorphe à X possède aussi la propriété de point fixe.
Comment calculer les points fixes?
Enfin, a = f(a) et a ? x0impliquent a ? xnpour tout n par récurrence, donc a ? x ; idem pour b. Remarque : Si E a un plus petit et un plus grand éléments, notés resp. ? et ?, on posera x0= ?, y0= ?. Alors E aura un plus petit et un plus grand points fixes a = sup f n(?) et b = inf fn(?). Comparaison des deux théorèmes.
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 5EXERCICE 1
M´ethode des approximations successives, ordre de convergence SoientIun intervalle ferm´e deR,g:I→Iune fonction assez r´eguli`ere admettant un point fixel?Ii.e.g(l) =l. On consid`ere une suite des it´er´es suivante ?x0?Idonn´e,
x n+1=g(xn),?n≥0.(1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite(xn)n≥0. b. Calculer l"erreuren=xn-let donner une condition pour que la m´ethode du point fixe(1.1)soit d"ordrep≥1. On a e n+1=xn+1-l =g(xn)-g(l) = (xn-l)g?(l) +...+(xn-l)p-1(p-1)!g(p-1)(l) +(xn-l)pp!g(p)(cn),(1.2) o`ucnest un r´eel compris entrexnetl. On trouve que la m´ethode des approximations successives converge `a l"ordrepsous la condition : g(k)(l) = 0,?k= 1,...,p-1,pourp >1, et g (p)(l)?= 0,pourp≥1,(1.3) car sous les hypoth`eses (1.3) on a : lim n→+∞x n+1-l(xn-l)p= limn→+∞1p!g(p)(cn) =1p!g(p)(l)?= 0. Cas o`up= 2. En posantM= supx?I???g??(x)???, on peut ´ecrire ??xn-l???2, 1Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ce qui peut s"´ecrire encore M2 ??xn-l???? 2Par r´ecurrence surn, on trouve
M2 ??x0-l???? 2n10-2n.
Ce qui montre qu"`a chaque it´eration le nombre de d´ecimales exactes double en th´eorie.EXERCICE 2Formules et illustrations graphiques des m´ethodes it´eratives de
recherche des z´eros d"une fonctionOn recherche un z´ero d"une fonction r´eguli`eref:I→Io`uIun intervalle
ferm´e deR.2.1 M´ethode de dichotomie
Rappeler la m´ethode de dichotomie qui permet d"approcher ce z´ero def.Faites une illustration graphique.
La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.1.Soit[a,b]un intervalle ferm´e deRetf: [a,b]→Rune fonction continue.Sif(a)f(b)<0alors?α?]a,b[tel quef(α) = 0.
On se donne un intervalleI0= [a,b] contenant le z´eroαque l"on veut approcher. La m´ethode de dichotomie produit une suite de sous-intervallesIn= [an,bn],n≥0, avec I n+1?Inet tel quef(an)f(bn)<0. En particulier, on prenda0=a,b0=betx0= a 0+b02 et pourn≥0 :on posean+1=an, bn+1=xnsif(an)f(xn)<0, ouan+1=xn, bn+1=bnsif(xn)f(bn)<0, etxn+1=an+1+bn+12 .(2.1) 2Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20092.2 M´ethode de Newton On consid`ere maintenant la m´ethode de Newton pour rechercher ce z´ero. a. ´etablir sa formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor; b. faire un dessin pour illuster la m´ethode. a.Par la formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor On se donnex0. Pourn≥0, on ´ecrit la formule de Taylor def(xn+1enxn, soit f(xn+1) =f(xn) +f?(xn)(xn+1-xn) + (xn+1-xn)ε(xn+1),(2.2) avec lim xn+1→xnε(xn+1) = 0. On n´eglige le terme (xn+1-xn)ε(xn+1), on suppose quef?(xn) inversible et on cherche x n+1tel quef(xn+1) = 0, d"o`u la m´ethode de Newton ?x0donn´e,
x n+1=xn-f(xn)f ?(xn),?n≥0. b.G´eom´etriquementxn+1est l"abscisse du point d"intersection de la tangente enxn`a la courbe defet l"axe des abscisses.EXERCICE 3Un exemple
3.1Soit l"´equation
x=e-x,x?[0,+∞[.(3.1) a. On consid`ere la m´ethode it´erative suivante ?x0?[0,+∞[ donn´e,
x n+1=e-xn,?n≥0.(3.2) Montrer que la m´ethode(3.2)est convergente six0est bien choisi. Donner dans ce cas l"ordre de convergence.Posonsg(x) =e-x.
Clairement 0 n"est pas solution de l"´equation (3.1). Pourx?]0,+∞[,g?(x) =-e-x, donc |g?(x)|<1 ce qui implique quegest contractante sur ]0,+∞[. Comme ]0,+∞[ est unouvert, le th´eor`eme du point fixe ne s"applique pas. Il faut trouver un ferm´e [a,b]?]0,+∞[,
tel queg([a,b])?[a,b]. 3Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
g([1/10,1])?[1/10,1] par continuit´e degsur [1/10,1]. Comme|g?(x)|<1 sur le ferm´e [1/10,1] de ]0,+∞[, on peut appliquer le th´eor`eme du point fixe. Il existel?[1/10,1] tel quel=g(l).Ordre de convergence
Commeg?(c) =-e-c?= 0, la m´ethode est convergente `a l"ordre 1. b. Appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation(3.1)et montrer que la convergence est quadratique. Pour appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation (3.1), on poseh(x) =x-e-x. Comme h ?(x) = 1 +e-x?= 0 sur ]0,+∞[, la m´ethode de Newton pour l"´equationh(x) = 0 s"´ecrit ??x0?[110
,1] donn´e, x n+1=xn-h(xn)h ?(xn),?n≥0, ou encore ?x0?[110
,1] donn´e, x n+1=xn-xn-e-xn1 +e-xn,?n≥0.Ordre de convergence
La fonctionh(x) =x-e-xestC2. Soitαla racine dehque l"on souhaite approcher par la m´ethode de Newton. Cette m´ethode peut se mettre sous la forme : ?x0donn´e,
x n+1=φ(xn),?n≥0, o`uφest donn´ee parφ(x) =x-h(x)h
?(x). On a ?(x) = 1-(h?(x))2-h(x)h??(x)(h?(x))2=h(x)h??(x)(h?(x))2. et donc ?(α) =h(α)h??(α)(h?(α))2= 0, carh(α) = 0. 4Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009De l"expression de la d´eriv´ee seconde ??(x) =(h?(x))3h??(x) +h(x)h(3)(x)(h?(x))2-2h(x)h?(x)(h??(x))2(h?(x))4, il vient ??(α) =h??(α)h ?(α)=-e-α1 +e-α?= 0. Par suite, d"apr`es l"exercice 1, la convergence de la m´ethode de Newton est quadratique pour l"´equationx=e-x,x?[0,+∞[. 3.2 Montrer que l"´equationx=-ln(x),x?]0,+∞[admet une solution unique.Montrer que la m´ethode it´erative
?x0?]0,+∞[ donn´e,
x n+1=-lnxn,?n≥0,(3.3) diverge. Proposer une m´ethode d"approximation de la solution.Posonsf(x) =-ln(x).
La fonctionfest d´erivable sur ]0,+∞[ et sa fonction d´eriv´ee estx?→f?(x) =-1/x. La
fonctionfest donc d´ecroissante sur ]0,+∞[. Comme limx→0f(x) = +∞etf(1) = 0, le point
fixe defsur l"intervalle ]0,+∞[ est localis´e dans le segment ouvert ]0,1[. Sur le segment ouvert ]0,1[, on a|f?(x)|>1, mˆeme en prenant un intervalle ferm´e [a,b]?]0,1[, la suite (xn)n≥0construite `a partir de la formule (3.3) diverge. En effet, pourn≥0,
il existe un r´eelξentrexnetltel que x n+1-l=f(xn)-f(l) =f?(ξ)(xn-l), et doncPar r´ecurrence on obtient
???xn-l???>???xn-1-l???> ... >???x1-l???>???x0-l???.D"o`u la m´ethode it´erative (3.3) diverge.
Une autre m´ethode d"approximation de la solution On cherche `a r´esoudrex=-ln(x) sur ]0,+∞[. En prenant l"exponentielle de cette derni`ere´egalit´e on obtient
x=e-x,x?[0,+∞[. C"est l"´equation (3.1) du d´ebut de cet exercice. La m´ethode (3.1) permet d"approcher la solution de l"´equationx=-ln(x) sur ]0,+∞[. 5Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009EXERCICE 4Points fixes attractif, r´epulsif
SoientIun intervalle ferm´e deR,φ:I→Iune fonctionC1(I)admettant un point fixea?Ii.e.φ(a) =a. On consid`ere une suite des it´er´es suivante ?x0?Idonn´e,
x n+1=φ(xn),?n≥0.(4.1) a. On suppose que|φ?(a)|<1.Soitktel que|φ?(a)|< k <1. Montrer que :
x?→φ?(x) est continue ena:En prenantε=k- |φ?(a)|>0, on a
Par in´egalit´e triangulaire, on trouve
Ce qui donne le r´esultat demand´e.
Prouver queφ([a-h,a+h])?[a-h,a+h]et que?x0?[a-h,a+h], la suite (xn)n≥0donn´ee par la formule(4.1)converge versa. On a •φest continue sur [a-h,a+h]; •φest d´erivable sur [a-h,a+h];D"apr`es le th´eor`eme des accroissements,
Commeφ(a) =a, la relation (4.3) s"´ecrit
ce qui signifie queφ([a-h,a+h])?[a-h,a+h].
6Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Convergence de la suite(xn)n≥0dans[a-h,a+h]pourx0?[a-h,a+h]
L"intervalle [a-h,a+h] est un ferm´e deR, c"est un espace complet. Commeφ([a-h,a+ h])?[a-h,a+h] etφest une application contractante de rapport 0< k <1, la suite des it´er´es ayant pour valeur initialex0?[a-h,a+h] converge vers le pointa?[a-h,a+h]. b. On suppose|φ?(a)|>1. Peut-on utiliser l"algorithme(4.1)pour approchera? Puisque|φ?(a)|>1, si applique l"algorithme (4.1) `aφpour approchera, la m´ethode diverge (voir l"exercice 3.2). On montre `a pr´esent que l"on peut quand mˆeme utiliser l"algorithme(4.1)pour approcher a. Comme la fonctionx?→φ?(x) est continue ena, •Siφ?(a)>0, alors on prendε=φ?(a)2 et doncφ?(a)2 i.e. ?h >0?x?[a-h,a+h], φ?(x)>0 tout commeφ?(a).(4.6) •Siφ?(a)<0, alors on prendε=-φ?(a)2 et donc3φ?(a)2 i.e. ?h >0?x?[a-h,a+h], φ?(x)<0 tout commeφ?(a).(4.7) Tout ceci pour dire que?h >0 tel queφ?a le mˆeme signe queφ?(a)?= 0 sur [a-h,a+h]. Sur [a-h,a+h],φest donc une bijection et on peut d´efinirφ-1.Comme (φ-1)?(φ(a)) = 1/φ?(a) etφ(a) =a, on a (φ-1)?(a) = 1/φ?(a). De (φ-1)?(a) =
1/φ?(a)<1, on peut appliquer lea.de cet exercice `aφ-1pour approchera.
c. On suppose maintenant que|φ?(a)|= 1. En prenantφ(x) = sin(x),x?[0,π/2],a= 0puisφ(x) =sh(x),x?[0,+∞[,a= 0, conclure.Cas o`uφ(x) = sin(x),x?[0,π/2],a= 0
On aφ(0) = 0 donc 0 est point fixe deφ(x) = sin(x) sur [0,π/2]. On a ´egalement |φ?(0)|= cos(0) = 1 et?x?]0,π/2],|φ?(x)|=|cos(x)|<1, donc la m´ethode des it´er´es successifs converge?x0?]0,π/2] et m˜Aame pourx0= 0. 7Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Cas o`uφ(x) = sh(x),x?[0,+∞[,a= 0 On aφ(0) = 0 donc 0 est point fixe deφ(x) = sh(x) sur [0,+∞[. On a aussi|φ?(0)|=ch(0) = 1. Enfin?x?]0,+∞[,|φ?(x)|= ch(x)>1, donc la m´ethode des it´er´es successifs
diverge?x0?]0,+∞[. En conclusion, le cas o`u le point fixeav´erifie|φ?(a)|= 1 est douteuxi.e.dans lequel l"on ne peut pasa priorid´eterminer le comportement de la suite des it´er´es successifs.Vocabulaire
Soitaun point fixe d"une fonctionφi.eφ(a) =a. On suppose queφestC1au moins. Si|φ?(a)|<1alors on dit queaest un point fixeattractif. Si|φ?(a)|>1alors on dit queaest un point fixer´epulsif. 8quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] continuité uniforme exercices corrigés
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