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Sup"GaliléeAnnée 2021/2022

MACS1 Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9

Résolution numérique des équations non linéairesMéthode du point fixe pour la résolution de l"équationfpxq x.

Exercice 2 (dimension 1)

Soitra;bsun intervalle non vide deRetune fonction continue dera;bsdans lui même (pra;bsq € ra;bs). Soitx0P ra;bs.

On considère la suitepxkqkPNdéfinie par

x k1pxkq @kPN:(1)

1. Montrer que la suite(1)est bien définie (xkexiste pour toutkPN).

2. Montrer que si la suite(1)converge, alors elle converge vers un point fixe de.

3. Existence du point fixe (Théorème du point fixe de Brouwer) : montrer qu"il existeP ra;bstel quepq .

4. On suppose de plus queest contractante, c"est à dire que

a-

Montrer que admet un unique point fixeP ra;bs.

b- Montrer que la suite pxkqkPNconverge vers, pour toute donnée initialex0dansra;bs.

5.(algo)Écrire l"algorithme du point fixe (fonctionPointFixe) permettant de résoudre l"équationpxq x.Correction

1. La suitepxkqkPN, est bien définie si la relation(1)permet de définir complètement (et de manière unique) l"ensemble des

termes de la suitepxkqkPN, connaissantx0.

Dans le cas présent, il faut s"assurer quexkP ra;bspour tout entierkcar la fonctionn"est par hypothèse définie que sur

ra;bs. En effet, sixkn"appartient pas à l"intervallera;bs, alors on ne peut pas définirxk1puisquepxkqn"existe pas.

Nous montrons ce résultat pas récurrence :

Initialisation p ourk0. Par hypothèse,x0P ra;bs.

Hérédité : nous supp osonsque xkP ra;bset nous allons montrer quexk1P ra;bs. Par définition,xk1pxkq.

Puisque par hypothèse,pra;bsq € ra;bs, on en déduit immédiatement quexk1P ra;bs. Remarque.hypothèse importante :pra;bsq € ra;bs.

2. Supposons que la suitepxkqkPNconverge vers une limite notéex.xP ra;bscarra;bsest un intervalle fermé. Par ailleurs,

en utilisant la continuité de, on a limkÑ8pxkq pxq: Par les théorème de comparaison des limites et la relation(1), on a : xlimkÑ8xk1(1) hkkikkjlimkÑ8pxkq pxq:

Ainsixpxqet doncxest un point fixe de.

Remarque.hypothèses importantes :ra;bsest fermé etest continue surra;bs.

3. On considère la fonctiongdéfinie pargpxq pxq x. Commepra;bsq € ra;bs,

gpaq paq a¥aa¥0: 1

De manière similaire,

Puisqueest continue surra;bs, le théorème des valeurs intermédiaires (ou Bolzano) (surra;bs,prend toutes les valeurs

entrepaqetpbq) garantit l"existence d"un nombreP ra;bstel quegpq 0. Or

0gpq pq ;

doncest un point fixe de.

Remarque.L"hypothèse de continuité deest cruciale. Le résultat est faux sin"est pas continue.

On peut par exemple considérer la fonction0:r1;1s Ñ r1;1stelle que0pxq 12 si

On pourra aussi remarquer qu"il n"y a pas forcément unicité du point fixe. En effet, la fonctiondéfinie parpxq x;@xP ra;bs

est continue dera;bsdansra;bset admet une infinité de points fixes. 4. a-

Nous u tilisonsune déma rcheclassique p ourmontrer l"unicité. Nous supp osonsque la fonction admet deux points fixes

1et2(1p1qet2p2q) et nous allons montrer que12. En utilisant le fait queest contractante,

on a ce qui peut être réécrit comme b-

D"ap rèsles questions 3 et 4, on sait que la fonction admet un unique point fixeP ra;bs. Alors, pour toutkPN,

si bien que, par récurrence, on peut montrer que

CommeL 1,limkÑ8Lk0et donc le terme de droite de l"inégalité précédente tend vers0. Par le théorème de

comparaison des limites, limkÑ8|xk| 0:

5. On écrit ci-dessous l"algorithme du point fixe, en supposant que l"on recherche un point fixe non nul.Algorithm 1FonctionPointFixe: résoutpxq xpar la méthode du point fixexkpxk1q;@kPNDonnées ::fonction deRdansR;continue

x

0:nombre réel, (donnée initiale)

tol:nombre réel strictement positif (tolérance) k max:nombre entier supérieur ou égal à 1 (nombre maximal d"itérations) 2

2:kÐ1

3:xÐpx0q

4:rÐ|xx0||x|1™résidu à l"itération 1

6:x0Ðx

7:xÐpx0q

8:rÐ|xx0||x|1™résidu à l"itération k+1

9:kÐk1

10:fin Tantque

11:fin FonctionExercice 4 (Point fixe attractif)

SoitPR,s;run voisinage deetPC1ps;rq. On suppose queest un point fixe detel que |1pq| 1:

1. Montrer qu"il existe¡0tel que pour toutxPV r;s,|1pxq| 1. Montrer queest contractante surVet

quepVq €V.En déduire que pour toutx0PV, la suitepxkqkPNobtenue à l"aide de l"algorithme du point fixe

@kPN; xk1pxkq;(3) est bien définie et converge.

2. Soitx0PVet la suitepxkqkPNdéfinie par l"algorithme du point fixe. Montrer que

lim kÑ8x k1x k1pq: En déduire que la méthode du point fixe est au moins d"ordre 1. x

0PVet la suitepxkqkPNdéfinie par l"algorithme du point fixe. Montrer que

lim kÑ8x k1pxkqp1pp1qpqpp1q!: En déduire que la méthode du point fixe est d"ordrep1dans ce cas.Correction

1. Puisque1est continue et que|1pq| 1, il existe¡0et un intervalle ferméV r;s €s;rtels que

pour toutxPV,|1pxq| 1. On pose (la fonction1est continue surVfermé borné) Lsup xPV|1pxq| maxxPV|1pxq|:

CommeVest fermé,L 1. Soientpx;yq PV2. D"après le théorème des accroissements finis, il existePsx;yr€Vtelle que

pxq pyq 1pqpxyq:

ce qui signifieest contractante surV. De plus, sixPV, en utilisant la formule précédente avecyPV, on obtient

et doncpxq PV:Ainsi on apVq €V. D"après l"exercice 2 (ou le Théorème du cours), on sait que six0PV, la suitepxkqkPN

obtenue par l"algorithme du point fixe(3)est bien définie et converge vers, à l"ordre 1 au moins.

2. Commeest un point fixe deetxk1pxkq;@kPN,

soit x0et alors on axk;@kPN, 3 -soit x0et alors on axk;@kPN, et x k1x kpxkq pqx k:

On reconnait alors le taux d"accroissement de la fonctionentrexket, qui tend vers1pqlorsquexktend vers. Comme,

d"après la question précédente, la suitepxkqkPNtend vers, on a donc lim kÑ8x k1x klimkÑ8pxkq pqx k1pq; ou encore (définition de la limite d"une suite) @"¡0;DKPN; k¥Kñx k1x k1pq ":(4)

Remarque.Soitfune fonction continue surVadmettant un point fixePV, soitx0PV. On suppose que la suitepxkqkPNest

bien définie par(3). On dit qu"une méthode de point fixe est d"or dre1s"il existeKPNet une constante0 C 1tels que

Soit p¡1. On dit qu"une méthode de point fixe est d"ordreps"il existeKPNune constanteCp¡0telle que

En particulier, une méthode d"ordre2est dite quadratique.

Choisissons"suffisamment petit pour queCmaxp|1pq "|;|1pq "|q 1(ceci est bien entendu possible puisque

|1pq| 1). D"après la formule(4), il existe un entierKPN, tel que, pour toutk¥K,

1pq " xk1x

k 1pq "

Donc, pour toutk¥K, on a

avecC 1. Ainsi, si|1pq| 1, la méthode du point fixe est (au moins) d"ordre1.

3. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, il existekPsminp;xkq;maxp;xkqrtel que

x k1pxkq pq p¸ i1pxkqii!piqpqloomoon

0pxkqp1pp1q!pp1qpkq:

Donc, pour toutkPN, il existekPsminp;xkq;maxp;xkqrtel que x k1pxkqp11pp1q!pp1qpkq:(5)

Par ailleurs, comme1pq 0, alors (en particulier)|1pq| 1. D"après la question 1, cela signifie que pour toutx0PV, la

suitepxkqkPNdéfinie par l"agorithme du point fixe(3)converge vers. Comme de plus,PCpp1qpVq,pp1qest continue

surVetlimkÑ8pp1qpkq pp1qpq. Finalement, en prenant la limite dans(5), on obtient lim kÑ8x k1pxkqp11pp1q!pp1qpq; ce qui équivaut à @"¡0;DKPN; k¥Kñx k1pxkqp1pp1qpqpp1q! ":(6) Prenons"¡0(quelconque) et posons, comme dans la question précédente Cmax pp1qpqpp1q!";pp1qpqpp1q!" Alors, en utilisant(6), on vérifie facilement qu"il existe un entierKPNtel que, pour toutk¥K, (avecC0carpp1qpq 0), ce qui signifie que la méthode du point fixe est d"ordrep1. 4

Exercice 5 (Application)

Soitfla fonction définie surRparfpxq x210. On cherche à calculer de façon approchée la racine positive, notée, de

l"équationfpxq 0par une méthode de point fixe. 1. On p ose1pxq xfpxq. Montrer queest un point fixe de1. On choisitx03et on posexk11pxkq;@kPN.

Calculer les trois premiers itérés de cette suite et utiliser le graphe de la Figure 2 (à gauche) pour appliquer les 3 premières

itérations de la méthode du point fixe avec1, en partant dex03. En déduire que cette suite ne converge pas.-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345678910112.62.833.23.42.833.23.4FIGURE2 - Gauche : la fonction1(en trait plein). Droite : la fonction18

(en trait plein). Pour chaque figure la courbe rouge en pointillés est la droiteyx

Pour palier à ce problème, une idée est de "sous-relaxer" la méthode itérative en posant!pxq x!fpxq, avec0 ! 1.

2.

Montrer que est un point fixe de!, pour tout!0.

On choisit dans la suite!18

. On choisit de nouveaux03et on posexk118 pxkq, pourn¥0. 3.

Utiliser le graphe de la Figure 2 (à droite) p ourappliquer les 3 p remièresitérations de la métho dedu p ointfixe avec

18 , en partant dex03. 4. Montrer, en utilisant le théo rèmed ucours (de convergence globlab e),que 18 a un unique point fixedansr3;4set que l"algorithme du point fixe converge vers, pour toutx0dansr3;4s. 5.

Le p ointfixe est-il attractif? répulsif? Pourx0suffisamment proche de, la convergence est-elle linéaire? quadra-

tique? (justifier votre réponse à l"aide des théorèmes du cours de convergence locale). 6.

On va mo ntrer,pa rune autre p reuve,les résultats des questions 4 et 5, sans util iserle théo rèmegénéral du cours. Cela

permettra aussi d"estimer précisément la vitesse de convergence de la méthode du point fixe appliquée à18

(a)

Montrer que

pxk1q pxkq 118
pxkq (b)

En utilisant (a) et que 18

pr3;4sq € r3;4s(vu à la question 4), montrer que pourn¥0: xk|: (c)

En déduire que p ourn¥0:

k x0|: (d) En déduire que la suite pxkqk¥0converge vers, et que la convergence est linéaire. 5 k1;puis estimer le nombre d"itérations nécessaire pour obtenir une valeur deprécise à103près.Correction

1. On a1pq fpq (carest une racine def), doncest bien un point fixe de1.

On a :x13 p910q 4, puisx24 p1610q 2puisx3 2 p410q 4x1. Les itérés suivants de la

suite vont donc être alternativement2et4. On en déduit la non-convergence de la méthode du point fixe appliquée à1

en partant dex03, voir la Figure 3 (gauche).FIGURE3 -Gauche : graphe représentatif de la fonction 1(en train plein noir). Droite : graphe représentatif de la fonction18

(en train plein noir). Pour chaque figure la courbe en pointillés est la droiteyx, et les premiers itérés de la méthode du point

fixe, en partant dex03, sont en bleu clair.

2. On a

fpq 0ðñ!fpq 0pcar!0q ðñ!fpq ðñ!pq ; et doncest un point fixe de!.

3. Voir la Figure 3 (droite).

4. Appliquons le théorème du cours :

18 est continue surr3;4s(c"est un polynôme).

On a18

pr3;4sq € r3;4s. En effet,18

PC1pr3;4sqet118

pxq 1x4 qui est positif surr3;4s, donc18 est croissante surr3;4s. Puisque18quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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