[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

A=0 1 a1+a

On définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N

u n+2= (1+a)un+1aun 1. Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ? 2.

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

3. On suppose Adiagonalisable. On noteUnle vecteurUn=un u n+1 , exprimerUn+1en fonction deUnet deA, puisUnen fonction deU0et deA.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

A=0 @0 1 0 4 4 0

2 1 21

A 1.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

2. Calculer (A2I3)2, puis(A2I3)npour toutn2N. En déduireAn. Soitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 B

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

C CA: 1. Démontrer que 1 et 2 sont des v aleurspropres de f. 2.

Déterminer les v ecteurspropres de f.

3. Soit ~uun vecteur propre defpour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs~vet~wtels que f(~v) =2~v+~uetf(~w) =2~w+~v: 1

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

5.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

A=0 @3 01 2 4 2

1 0 31

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible

tellesA=PDP1. 3. Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A. 4.

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante

A=1 1 2 1 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les v aleurspropres de A. 2. On note l1>l2les valeurs propres deA,E1etE2les sous-espaces propres associés. Déterminer une

base(~e1;~e2)deR2telle que~e12E1,~e22E2, les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme(1;y).

3.

Soit ~xun vecteur deR2, on note(a;b)ses coordonnées dans la base(~e1;~e2). Démontrer que, pourn2N,

on a A n~x=aln1~e1+bln2~e2 4.

Notons An~x=an

b n dans la base canonique deR2. Exprimeranetbnen fonction dea,b,l1etl2. En déduire que, sia6=0, la suitebna ntend versp2 quandntend vers+¥. 5.

Expliquer ,sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de

p2 par une suite de nombres rationnels. SoitP(X)un polynôme deC[X], soitAune matrice deMn(C). On noteBla matrice :B=P(A)2Mn(C). 1. Démontrer que si ~xest un vecteur propre deAde valeur proprel, alors~xest un vecteur propre deBde valeur propreP(l). 2

2.Le b utde cette question est de démontrer que les v aleurspropres de Bsont toutes de la formeP(l), avec

lvaleur propre deA. Soitm2C, on décompose le polynômeP(X)men produit de facteurs de degré 1 :

P(X)m=a(Xa1)(Xar):

(a)

Démontrer que

det(BmIn) =andet(Aa1In)det(AarIn): (b) En déduire que si mest valeur propre deB, alors il existe une valeur propreldeAtelle que m=P(l). 3. On note SAl"ensemble des valeurs propres deA, démontrer que S

B=fP(l)=l2SAg:

4. Soient l1;:::;lrles valeurs propres deAet soitQ(X)le polynôme :

Q(X) = (Xl1)(Xlr);

on noteCla matriceC=Q(A). (a)

Démontrer que SC=f0g.

(b) En déduire que le polynôme caractéristique de Cest(1)nXnet queCn=0.

Exercice 7SoitAla matrice

A=0 @11 0 1 01

1 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5.

Pour t2R, calculer exptB.

6. Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX. 3

1.On note (~e1;~e2;~e3)la base canonique deR3. SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 31

A Donner sans calcul les valeurs propres deAet une base de vecteurs propres. 2. On cherche à déterminer ,s"il en e xiste,les matrices Btelles que expB=A. (a)

Montrer que si A=expB, alorsAB=BA.

(b) En déduire que la base (~e1;~e2;~e3)est une base de vecteurs propres de B. (c) Déterminer toutes les matrices B2M3(R)telles que expB=A. Justifier. 3.

Soit la matrice C,

C=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A Montrer qu"il n"existe pas de matriceD2M3(R)telle queC=expD. 4. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de C. 5. Supposons qu"il e xisteune matrice E2M3(R)telle queE2=C. NotonsQE(X)son polynôme minimal etQC(X)le polynôme minimal deC. (a)

Montrer que QE(X)diviseQC(X2).

(b)

En déduire que E3=0 et queC2=0.

(c) Déduire de ce qui précède qu"il n"e xistepas de matrice Etelle queE2=C. 6. Soient FetGdes matrices deM3(R)telles queF=expG. Démontrer que pour toutn2N, il existe une matriceHtelle queHn=F.

Exercice 9Soitm2R, etAla matrice

A=0 @1+m1+m1 mm1 m m1 01 A 1. F actoriserle polynôme caractéristique de Aet montrer que les valeurs propres deAsont1 et 1. 2.

Pour quelles v aleursde mla matrice est-elle diagonalisable ? (justifier). Déterminer suivant les valeurs

demle polynôme minimal deA(justifier). 1. Donner unexempledematricedansM2(R), diagonalisablesurCmaisnondiagonalisablesurR(justifier). 2. Donner un e xemplede matrice dans M2(R)non diagonalisable, ni surC, ni surR(justifier). 4

SoitAla matrice suivante :

A=0 1 1 0 1.

Diagonaliser la matrice A.

2.

Exprimer les solutions du système dif férentielX0=AXdans une base de vecteurs propres et tracer ses

trajectoires.

SoitAla matrice

A=0 @3 2 4 1 31 2131
A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 0 0 0 2 1

0 0 21

A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5.

Calculer e xpB.

Correction del"exer cice1 NSoita2R, notonsAla matrice suivante A=0 1 a1+a

On définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N

u n+2= (1+a)un+1aun

1.Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable ?

Calculons le polynôme caractéristiquePA(X):

P

A(X) =X1

a1+aX =X(1+aX)+a=X2(1+a)X+a: La matriceAest diagonalisable surRsi le polynômePAadmet deux racines distinctes dansR. En effet,

siPAadmet une racine doubleretAdiagonalisable, alors l"endomorphisme de matriceAest égal àrIdE,

ce qui n"est pas le cas. Calculons donc le discriminant du polynôme caractéristique.

D= (1+a)24a=1+a2+2a4a=1+a22a= (1a)2:

Ainsi la matriceAest diagonalisable pour touta6=1.

2.Lorsque A est diagonalisable, calculons Anpour n2N.

LorsqueAest diagonalisable, il existe une matrice inversiblePet une matrice diagonaleDtelles que A=PDP1, ainsi pour toutn2N, on aAn=PDnP1. Déterminons les matricesPetD. Pour cela calculons les deux valeurs propres deA, ce sont les racines du polynômePA, on a donc l

1=1+a+1a2

=1 etl2=1+a1+a2 =a: Déterminons maintenant des vecteurs propres associés aux valeurs propres 1 eta. On cherche des vecteurs~e1et~e2tels queA~e1=~e1etA~e2=a~e2. 0 1 a1+a x y =x y ()y=x et 0 1 a1+a x y =ax y ()y=ax ainsi on peut choisir~e1= (1;1)et~e2= (1;a). On a alors P=1 1 1a ;D=1 0 0a ;P1=1a1 a1 1 1

D"où, pour toutn2N,

A n=PDnP1=P1 0 0an P 1=1a1 aanan1 aan+1an+11

3.On suppose A diagonalisable. On note Unle vecteur Un=un

u n+1 , on exprime U n+1en fonction de Un et de A, puisU nen fonction deU0et de A. On a, par définition, pour toutn2N,un+2= (1+a)un+1aun, ainsi, U n+1=un+1 u n+2 =0 1 a1+a un u n+1 =AUn: 6 On a doncU1=AU0, montrons par récurrence surn, que pour toutn2N,Un=AnU0. C"est vrai pour n=0,U0=A0U0=IU0=U0et pourn=1. Soitnfixé pour lequel on supposeUn=AnU0, on a alors U n+1=AUn=A:AnU0=An+1U0, le résultat est donc vrai pour tout entier natureln. La matriceAétant supposée diagonalisable, on a donc, pourn2N, U n=AnU0=PDnP1U0=1a1 aanan1 aan+1an+11 u0 u 1

ainsi on peut exprimer pourn2N, le terme général de la suiteunen fonction des premiers termesu0et

u

1, on a

u n=1a1((aan)u0+(an1)u1):Correction del"exer cice2 NSoitAla matrice deM3(R)suivante : A=0 @0 1 0 4 4 0

2 1 21

A

1.La matrice A est-elle diagonalisable ?

Calculons son polynôme caractéristique

P

A(X) =

X1 0 4 4X0

2 1 2X

= (2X)(X24X+4) = (2X)3:

la matriceAadmet une unique valeur propre 2, si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la

matrice 2:I3, elle serait donc égale à 2I3ce qui n"est pas le cas, elle n"est donc pas diagonalisable.

2.Calculons(A2I3)2, puis(A2I3)npour tout n2N.

On a (A2I3)2=0 @2 1 0 4 2 0

2 1 01

A0 @2 1 0 4 2 0

2 1 01

A =0 @0 0 0 0 0 0

0 0 01

A ainsi,(A2I3)0=I,(A2I3)1=0 @2 1 0 4 2 0

2 1 01

A , et, pour toutn>2, on a(A2I3)n=0.

On en déduit A

n NotonsB=A2I3, on aA=A2I3+2I3=B+2I3avecBn=0 pourn>2. Par ailleurs, les matrices

Bet 2I3commutent, ainsi

A n= (B+2I3)n=nå k=0CknBk(2I3)nk où lesCknsont les coefficients du binôme de Newton : C kn=n!k!(nk)!:

Or, pourk>2, on aBk=0 d"où pourn>2,

A n=C0nB0(2I3)n+C1nB1(2I3)n1 =2nI3+2n1nB =2nI3+2n1n(A2I3) =2n(1n)I3+2n1nA: 7 Correction del"exer cice3 NSoitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 B

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

C CA:

1.Démontrons que1et2sont des valeurs propres de f.

Pour cela montrons que det(AI) =0 et det(A2I) =0. On a det(AI) = 933 1

6 2 21

26 7 92

0 0 0 1

933
6 2 2

26 7 9

93 0
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