[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Feuille dexercices 7

Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. pB(λ) = -(λ - 1)(λ - 3)(λ + 4). La matrice est donc diagonalisable car elle a trois valeurs propres ...



Exercices de mathématiques - Exo7

2. Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner 



CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1



Diagonalisation des matrices (8 exercices)

Corrigé de l'exercice 2 [ Retour `a l'énoncé ]. On calcule le polynôme La matrice A est donc diagonalisable dans C. On voit que le vecteur (10



Exercices de mathématiques - Exo7

diagonalisable de F. Correction ▽. [005686]. Exercice 37 **I. Soit A une matrice carrée réelle de 



Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech

Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1 Démontrer que A est diagonalisable et donner une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles.



Correction détaillée des exercices 12

https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4 



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

L'endomorphisme u est-il diagonalisable sur les corps R ou Q? —. §7 Exercices. Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.



ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut tenter d'arriver à une matrice presque diagonale ...



Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.



CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1



Feuille dexercices 7

Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f : (x y



Diagonalisation des matrices (8 exercices)

Diagonaliser la matrice A définie par A = Diagonalisation des matrices. Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].



Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?



ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.1 Matrices de format 2 × 2 non diagonalisables . 3.5.2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable . ... 3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) .



Exercices de mathématiques - Exo7

A est-elle diagonalisable ? Correction ?. [005682]. Exercice 33 ***. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A. Trouver les 



Correction détaillée des exercices 12

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf



Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech

Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1. Diagonaliser les matrices suivantes et donner pour chacune la matrice de passage de la base canonique.



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8 Matrices diagonalisables : premières applications . ... Exercice 1.



MATHÉMATIQUES Corrigé du TD “Diagonalisation

Matrice de passage : P= 1 2 3 1 Matrice diagonale : D= 2 0 0 5 Matrice B 1 = 5 1 1 3 Polynôme caractéristique : P( ) = 2 8 + 16 = ( 4)2 Valeurs propres : 1 = 4 valeur double Vecteurs propres : V 1 = 1 1 On ne trouve qu’une seule direction propre : cette matrice n’est donc pas diagona-lisable Matrice B 2 = 1 1 2 1 Polynôme



Algèbre Linéaire - univ-rennes1fr

Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre



Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme



CORRECTION DU TD 3 - TSE

Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc



Comment calculer la diagonalisation de matrices symétriques ?

5.2 Diagonalisation de matrices symétriques 49 Exemple 5.1 Soit f une application linéaire de R3dans R3telle que A = M can,can(f) = ? ? 6 ?2 ?1 ?2 6 ?1 ?1 ?1 5 ? ?. Les valeurs propres de A sont ?1= 8, ?2= 6 et ?3= 3. A est donc diagonalisable.

Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?

Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.

Comment calculer la diagonalisation ?

La diagonalisation fait partie de la réduction des endomorphismes. Soient A A et B B deux matrice carrées d’ordre d d. De plus, soit J J une matrice carrée inversible d’ordre d d telle que A = J BJ ?1. A = J B J ? 1. Montrons que pour tout n ? N n ? N, on a: An = J BnJ ?1. A n = J B n J ? 1.

Est-ce que la matrice est diagonalisable ?

Si la réponse est non, alors la matrice n'est pas diagonalisable. Dans ton cas il est évident que c'est non, car si on pouvait trouver 2 vecteurs propres et libres associés à la vp -1, alors l'application linéaire serait -Id car on est en dimension 2. Or ce n'est pas le cas. (j'espère être clair avec cette phrase)

Exo7

Réduction

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**SoitA=0

@1 2 2 2 1 2

2 2 11

A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 0

5 0 11

A @3 1 0 41 0
4 821 A 1.

Vérifier que An"est pas diagonalisable.

2.

Déterminer K er(AI)2.

3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.

Calculer Anpournentier naturel donné.

Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il

diagonalisable ? etB=X4X.

Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.

Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes

caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.

Montrer que (E;)est un groupe

2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A A

Calculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si

Aest diagonalisable.

B

BBB@0b:::b

a .........b a:::a01 C CCCA. 2

Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour

calculercA, considérerf(x) =

X+x b+x:::b+x

a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.

Montrer que 1 est v aleurpropre de A.

2.

Soit lune valeur propre deA.

(a)

Montrer que jlj61.

(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? B

BBB@0:::0 1

.........0 0

1 0:::01

C CCCA

Montrer queAest diagonalisable.

B

BBBBBB@0 1 0:::0

......0 0 ...1

1 0::: :::01

C

CCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.

2.

En déduire la v aleurde

a

0a1:::an2an1

a n1a0a1an2............ a

2...a0a1

a

1a2:::an1a0

3

1.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.

2. (a)

Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.

(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.

Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.

4.

T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme

: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à

supports disjoints). caractéristique est scindé surK.

Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent

netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.

8x2R,(j(f))(x) =1x

R x

0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).

1.

Montrer que jest un endomorphisme deE.

2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.

Déterminer les éléments propres de j.

que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. B

B@1 1 0 0

0 1a0

0 0 1b

0 0 0 11

C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M

0;0,M0;1,M1;0etM1;1?

B

BBB@1 0:::0

2 n0:::01 C CCCA. B

BB@0:::0a1.........

0:::0an1

a

1:::an1an1

C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 1

1 1 11

A 2.A=0 @2 2 1 1 3 1

1 2 21

A 3.A=0 @66 5 41 10
76 41
A @1 37 2 614 1 371 A

Commutant de

0 @1 01 1 2 1

2 2 31

A

Estable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme

diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!

J= (1)nI+13

((61)n(1)n)J 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A ce qui reste vrai quandn=0.

Soit de nouveaun2N.

((1)nI+13 (5n(1)n)J)((1)nI+13 (5n(1)n)J) =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+19 (1(5)n(5)n+1)J2 =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+39 (1(5)n(5)n+1)J=I; et donc A n=13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A

Finalement

8n2Z,An=13

0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A .2ème solution.Puisque rg(A+I) =1, dim(Ker(A+I)) =2 et1 est valeur propre deAd"ordre au moins

2. La troisième valeur proprelest fournie par la trace :l11=3 et doncl=5. Par suite,cA=

(X+1)2(X5).

De plus,0

@x y z1 A

2E1,x+y+z=0 et doncE1=Vect(e1;e2)oùe1=0

@1 1 01 A ete2=0 @1 0 11 A

De même,

0 @x y z1 A

2E1,x=y=zetE5=Vect(e3)oùe3=0

@1 1 11 A

On poseP=0

@1 1 1 1 0 1 01 11 A etD=diag(1;1;5)et on aA=PDP1.

Calcul deP1. Soit(i;j;k)la base canonique deR3.

8 :e 1=ij e 2=ik e

3=i+j+k,8

:j=ie1 k=ie2 e

3=i+ie1+ie2,8

>:i=13 (e1+e2+e3) j=13 (2e1+e2+e3) k=13 (e12e2+e3) 7 et doncP1=13 0 @12 1 1 12

1 1 11

A . Soit alorsn2Z. A n=PDnP1=13 0 @1 1 1 1 0 1 01 11 A0 @(1)n0 0

0(1)n0

0 0 5 n1 A0 @12 1 1 12

1 1 11

A 13 0 @(1)n(1)n5n (1)n0 5n

0(1)n5n1

A0 @12 1 1 12

1 1 11

A =13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A

et on retrouve le résultat obtenu plus haut, le calcul ayant été mené directement avecnentier relatif.

3ème solution.Soitn2N. La division euclidienne deXnparcAfournit trois réelsan,bnetcnet un polynôme

Qtels queXn=cAQ+anX2+bnX+cn. En prenant les valeurs des membres en 5, puis la valeur des deux membres ainsi que de leurs dérivées en1 , on obtient 8 :25an+5bn+cn=5n a nbn+cn= (1)n

2an+bn=n(1)n1,8

:b n=2ann(1)n

35an+cn=5n(1)n+5n

an+cn=(n1)(1)n,8 >:a n=136 (5n+(6n1)(1)n) c n=136 (5n+(30n+35)(1)n) b n=136 (25n+(24n2)(1)n).

Le théorème de CAYLEY-HAMILTONfournit alors

A n=136 136
0 (5n+(6n1)(1)n)0 @9 8 8 8 9 8

8 8 91

A +2(5n(12n+1)(1)n)0 @1 2 2 2 1 2

2 2 11

A +(5n+(30n+35)(1)n)0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A1 A 136
0 @125n+24(1)n125n12(1)n125n12(1)n

125n12(1)n125n+24(1)n125n12(1)n

125n12(1)n125n12(1)n125n+24(1)n1

A 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A

On retrouve encore une fois le même résultat mais pourn2Nuniquement.Correction del"exer cice2 NSoitX2M3(R). SiX2=AalorsAX=X3=XAet doncXetAcommutent.

Aadmet trois valeurs propres réelles et simples à savoir 1, 3 et 4. DoncAest diagonalisable dansRet les sous

espaces propres deAsont des droites.Xcommute avecAet donc laisse stable les trois droites propres deA.

Ainsi une base deM3;1(R)formée de vecteurs propres deAest également une base de vecteurs propres deX

ou encore, siPest une matrice réelle inversible telle queP1APsoit une matrice diagonaleD0alors pour la

même matriceP,P1XPest une matrice diagonaleD. De plus X

2=A,PD2P1=PD0P1,D2=D0,D=diag(p3;2;1)

cequifournithuitsolutionsdeuxàopposées. OnpeutprendreP=0 @2 0 0

16 1 0

5 0 11

A puisP1=0 @1=2 0 0 8 1 0

5=2 0 11

A

D"où les solutions

8 0 @2 0 0

16 1 0

5 0 11

A0 @p3e10 0 0 2e0

0 0e31

A0 @1=2 0 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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