Feuille dexercices 7
Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. pB(λ) = -(λ - 1)(λ - 3)(λ + 4). La matrice est donc diagonalisable car elle a trois valeurs propres ...
Exercices de mathématiques - Exo7
2. Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
Diagonalisation des matrices (8 exercices)
Corrigé de l'exercice 2 [ Retour `a l'énoncé ]. On calcule le polynôme La matrice A est donc diagonalisable dans C. On voit que le vecteur (10
Exercices de mathématiques - Exo7
diagonalisable de F. Correction ▽. [005686]. Exercice 37 **I. Soit A une matrice carrée réelle de
Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech
Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1 Démontrer que A est diagonalisable et donner une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles.
Correction détaillée des exercices 12
https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
L'endomorphisme u est-il diagonalisable sur les corps R ou Q? —. §7 Exercices. Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut tenter d'arriver à une matrice presque diagonale ...
Exercices de mathématiques - Exo7
1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
Feuille dexercices 7
Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f : (x y
Diagonalisation des matrices (8 exercices)
Diagonaliser la matrice A définie par A = Diagonalisation des matrices. Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].
Partiel Corrigé
7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.1 Matrices de format 2 × 2 non diagonalisables . 3.5.2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable . ... 3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) .
Exercices de mathématiques - Exo7
A est-elle diagonalisable ? Correction ?. [005682]. Exercice 33 ***. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A. Trouver les
Correction détaillée des exercices 12
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech
Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1. Diagonaliser les matrices suivantes et donner pour chacune la matrice de passage de la base canonique.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8 Matrices diagonalisables : premières applications . ... Exercice 1.
MATHÉMATIQUES Corrigé du TD “Diagonalisation
Matrice de passage : P= 1 2 3 1 Matrice diagonale : D= 2 0 0 5 Matrice B 1 = 5 1 1 3 Polynôme caractéristique : P( ) = 2 8 + 16 = ( 4)2 Valeurs propres : 1 = 4 valeur double Vecteurs propres : V 1 = 1 1 On ne trouve qu’une seule direction propre : cette matrice n’est donc pas diagona-lisable Matrice B 2 = 1 1 2 1 Polynôme
Algèbre Linéaire - univ-rennes1fr
Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc
Comment calculer la diagonalisation de matrices symétriques ?
5.2 Diagonalisation de matrices symétriques 49 Exemple 5.1 Soit f une application linéaire de R3dans R3telle que A = M can,can(f) = ? ? 6 ?2 ?1 ?2 6 ?1 ?1 ?1 5 ? ?. Les valeurs propres de A sont ?1= 8, ?2= 6 et ?3= 3. A est donc diagonalisable.
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment calculer la diagonalisation ?
La diagonalisation fait partie de la réduction des endomorphismes. Soient A A et B B deux matrice carrées d’ordre d d. De plus, soit J J une matrice carrée inversible d’ordre d d telle que A = J BJ ?1. A = J B J ? 1. Montrons que pour tout n ? N n ? N, on a: An = J BnJ ?1. A n = J B n J ? 1.
Est-ce que la matrice est diagonalisable ?
Si la réponse est non, alors la matrice n'est pas diagonalisable. Dans ton cas il est évident que c'est non, car si on pouvait trouver 2 vecteurs propres et libres associés à la vp -1, alors l'application linéaire serait -Id car on est en dimension 2. Or ce n'est pas le cas. (j'espère être clair avec cette phrase)
Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale
3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
Exemple.
(1 0 0 -1 2 13 1 0))
(3 0 00-1 00 0π))
Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale
3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
Exemple.
(1 0 0 -1 2 13 1 0))
(3 0 00-1 00 0π))
=((3 0 0 -3-2π9-1 0))
§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleMOn dit queAestsemblableàMsiAs"écrit
A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,
avecPune matrice inversible.Exemple.A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!Preuve.
§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleMOn dit queAestsemblableàMsiAs"écrit
A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,
avecPune matrice inversible.Exemple.A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!Preuve.
A2= (PMP-1)2= (PMP-1)(PMP-1) =PM(P-1P)MP-1=
PM2P-1=P?a20
0b2? P -1=?3a2-2b2-2a2+2b23a2-3b2-2a2+3b2?
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
?v1?Ker(A-§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λnλ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
?v1?Ker(A- des noyaux on sait faire!Exo. Pour diagonaliserA=?5-3
6-4? , on fabrique d"abord deux nouvelles matricesA-2IdetA-(-1)Idet on détermine pour
chacune d"elles une base du noyau ( ces deux valeurs2,-1sont les racines de l"équationdet(A-λId) =0) :
diagonaliserA ?5-3 6-4? det(A-λId) =0λ=2? ?-1A-λId
?3-36-6? ?
6-3 6-3? base du noyau ?11? ? 1 2? assemblerP=?1 11 2? etM=?20 0 -1 vérifier queAP=PMConclure queA=PMP-1.Aest diagonalisée.Diagonaliser de même la matrice?2 11 2?
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeurλtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéeValeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeurλtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23?Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeurλtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeurλtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.Nous venons de démontrer :
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeurλtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×nest diagonalisable ssi elle possèdenvecteurs propres formant une base. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Réponse :A=1 2? 3 1 1 3?Comment trouver les valeurs propres?
On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propresλid"une
matriceAsont les solutions de l"équation det(A-λId) =0.
Comment trouver les valeurs propres?
On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propresλid"une
matriceAsont les solutions de l"équation det(A-λId) =0.
Exo. Trouver les valeurs propres de?1-2
0 3? et?5-3 6-4?Polynôme caractéristique
DéfinitionPour toute matrice carréeA, on appelle det(A-λId)
lepolynôme caractéristiquedeA. Ainsi les valeurs propres deA sont précisément les racines du polynôme caractéristique. Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de (1 2 30-1 20 0 1/2))
,((5-3 0 6-4 00 1 1))
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