Feuille dexercices 7
Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. pB(λ) = -(λ - 1)(λ - 3)(λ + 4). La matrice est donc diagonalisable car elle a trois valeurs propres ...
Exercices de mathématiques - Exo7
2. Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
Diagonalisation des matrices (8 exercices)
Corrigé de l'exercice 2 [ Retour `a l'énoncé ]. On calcule le polynôme La matrice A est donc diagonalisable dans C. On voit que le vecteur (10
Exercices de mathématiques - Exo7
diagonalisable de F. Correction ▽. [005686]. Exercice 37 **I. Soit A une matrice carrée réelle de
Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech
Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1 Démontrer que A est diagonalisable et donner une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles.
Correction détaillée des exercices 12
https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
L'endomorphisme u est-il diagonalisable sur les corps R ou Q? —. §7 Exercices. Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut tenter d'arriver à une matrice presque diagonale ...
Exercices de mathématiques - Exo7
1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
Feuille dexercices 7
Diagonalisation. Exercice 1. On consid`ere l'endomorphisme f de R3 défini par f : (x y
Diagonalisation des matrices (8 exercices)
Diagonaliser la matrice A définie par A = Diagonalisation des matrices. Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].
Partiel Corrigé
7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.1 Matrices de format 2 × 2 non diagonalisables . 3.5.2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable . ... 3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) .
Exercices de mathématiques - Exo7
A est-elle diagonalisable ? Correction ?. [005682]. Exercice 33 ***. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A. Trouver les
Correction détaillée des exercices 12
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Année 2018-2019 Université Grenoble Alpes Polytech
Exercice 3. Diagonalisation des matrices. 1. Diagonaliser les matrices suivantes et donner pour chacune la matrice de passage de la base canonique.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8 Matrices diagonalisables : premières applications . ... Exercice 1.
MATHÉMATIQUES Corrigé du TD “Diagonalisation
Matrice de passage : P= 1 2 3 1 Matrice diagonale : D= 2 0 0 5 Matrice B 1 = 5 1 1 3 Polynôme caractéristique : P( ) = 2 8 + 16 = ( 4)2 Valeurs propres : 1 = 4 valeur double Vecteurs propres : V 1 = 1 1 On ne trouve qu’une seule direction propre : cette matrice n’est donc pas diagona-lisable Matrice B 2 = 1 1 2 1 Polynôme
Algèbre Linéaire - univ-rennes1fr
Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc
Comment calculer la diagonalisation de matrices symétriques ?
5.2 Diagonalisation de matrices symétriques 49 Exemple 5.1 Soit f une application linéaire de R3dans R3telle que A = M can,can(f) = ? ? 6 ?2 ?1 ?2 6 ?1 ?1 ?1 5 ? ?. Les valeurs propres de A sont ?1= 8, ?2= 6 et ?3= 3. A est donc diagonalisable.
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment calculer la diagonalisation ?
La diagonalisation fait partie de la réduction des endomorphismes. Soient A A et B B deux matrice carrées d’ordre d d. De plus, soit J J une matrice carrée inversible d’ordre d d telle que A = J BJ ?1. A = J B J ? 1. Montrons que pour tout n ? N n ? N, on a: An = J BnJ ?1. A n = J B n J ? 1.
Est-ce que la matrice est diagonalisable ?
Si la réponse est non, alors la matrice n'est pas diagonalisable. Dans ton cas il est évident que c'est non, car si on pouvait trouver 2 vecteurs propres et libres associés à la vp -1, alors l'application linéaire serait -Id car on est en dimension 2. Or ce n'est pas le cas. (j'espère être clair avec cette phrase)
Correction TD n
o6Exercice 1. Rappels calcul du déterminant
Calculer les déterminants suivante (dont certains ont été vus en TD2) : 1 3 1 01 4 0 0 5 1 0 0 3 2 0 1 02 1 0 3 2 0 4 31 11 +a a a
b1 +b b c c1 +c1 1 1 1
11 1 1
1 11 1
1 1 11
Le premier vaut -5 et le deuxième vaut -4 (matrices triangulaires). Pour le troisième on déve-
loppe selon la deuxième colonne=(1)1 3 2 4 =2. Pour calculer le quatrième déterminant, on remplace la ligneL1parL1+L2+L3et donc1 +a a a b1 +b b c c1 +c1 +a+b+c1 +a+b+c1 +a+b+c
b1 +b b c c1 +c = (1 +a+b+c) 1 1 1 b1 +b b c c1 +c Ensuite, on faitC2 C2C1et on développe par rapport à la deuxième colonne.1 +a a a
b1 +b b c c1 +c1 +a+b+c1 +a+b+c1 +a+b+c
b1 +b b c c1 +c = (1 +a+b+c) 1 0 1 b1b c0 1 +c = 1 +a+b+c.Notons D le dernier déterminant que l"on cherche à calculer. En enlevant la première ligne à
toutes les autres, on trouve que :1 1 1 102 0 0
0 02 0
0 0 02
et doncDvaut -8.Exercice 2. Vrai/faux
1. En dimension finie, un end omorphismeadmet un nom brefini de v ecteurspropres. Faux! Siuest un vecteur propre d"un endomorphisme, alorsul"est aussi pour tout scalaire non nul. 2. Si Aest diagonalisable, alorsA2est diagonalisable. C"est vrai! SiA=PDP1avecDdiagonale, alorsA2=PD2P1etD2est diagonale. 3. Si A2est diagonalisable, alorsAest diagonalisable.Faux! Considérer par exemple la matriceA=0 1
0 0 4.T outendomorp hismed"un espace v ectorielréel de dim ensionimpaire admet au moins une v aleurpropre .
C"est vrai! Le polynôme caractéristique deAest de degré impair, et tout polynôme réelde degré impair admet une racine réelle (appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
avec le calcul des limites en1)5.La somme de deux matrices diagonalisables est di agonalisable.
Faux! Considérer par exemple les matricesA=1 1
0 3 etB=1 0 03Exercice 3. Diagonalisation des matrices
1.Diagonaliser les matric essuiv anteset donner p ourc hacunela matrice de passage de la base canonique
à la base de vecteurs propres.
A=0 @0 21 32 02 2 11
A ; B=0 @1 0 0 0 1 0 11 21 A Commençons pasA. Son polynôme caractéristique estA() =A= 2 13+ 2 0
221. En remplaçant la première colonne par la somme des trois colonnes, on trouve :A() =12 1
1+ 2 0
121= (1) 12 1
1+ 2 0
121. Enfin, en faisant des opérations élémentaires sur les lignes 2 et 3 on trouveA() = (1)(2)(+ 4)Il est scindé à racines simples, ce qui assure queAest diagonalisable (elle admet 3 valeurs propres distinctes et elle est de taille 3X3). Il suffit de chercher pour chaque valeur propre un vecteur propre associé. D"abord pour 1, on résoutAX=X, c"est-à-dire le système : 8< :x+ 2y+z= 0
3x3y= 0
2x+ 2y= 0
Un vecteur propre est donc
0 @1 1 11 A . On fait de même pour 2 et -4, et on trouve respecti- vement 0 @4 3 21A et0 @2 3 21
A . La matriceAest donc semblable àdiag(1;2;4), la matrice de passage étant :P=0 @1 4 2 1 33 12 21 A Le polynôme caractéristique deBest :B() = (1)2(2)qui admet1comme racine double. On ne peut pas donc conclure directement. Il faut déterminer d"abord les sous- espaces propres. La recherche du sous-espace propre associé à 2 amène au vecteur propre0 @0 0 11 A qui en- gendre donc ce sous-espace. L"étude du sous-espace propre associé à 1 conduit à l"équation : xy+z= 0 qui est l"équation d"un plan deR3engendré par les vecteurs0 @1 1 01 A et0 @0 1 11 A
On a doncB=PDP1oùD=0
@1 0 0 0 1 00 0 21
A etP=0 @1 0 0 1 1 00 1 11
A 2. Expliquer sans calc ulsp ourquoila matrice sui vanten"est pas diagonalisab le: A=0 @1 2 03 0 01 ALa matriceAétant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont données par les élé-
ments de la diagonale. La seule valeur propre deAest donc. SiAétait diagonalisable, alors il existerait une matrice inversiblePtel queA=P(I3)P1. CommeI3commute avec toute les matrices carrées de taille 3, on auraitA= (I3)PP1=I3. Ce qui n"est pas le cas. Exercice 4. Diagonalisation par polynôme minimalSoitUla matrice :
U=0 BB@0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA 1. Calculer U2et en déduire une relation simple liantU2,UetI4.On vérifie facilement que :
U 2=0 BB@3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 31
C CA et doncU2= 2U+ 3I4 2. En déduire que Uest diagonalisable et donner ses valeurs propres. Le polynômeX22X3est un polynôme annulateur deU. Il est scindé à racine simple : X22X3 = (X+ 1)(X3). Ce polynôme est le polynôme minimal deUcarU+I4et
U3I4ne sont pas nulles. La matriceUest donc diagonalisable et ses valeurs propres sont -1 et 3. 3.Diagonaliser U.
Le sous-espace propre associé à -1 est engendré par les vecteurs0 B B@1 1 0 01 C CA,0 B B@1 0 1 01 C CAet0 B B@1 0 0 11 C CA. Le sous-espace propre associé à 3 est quant à lui engendré par le vecteur 0 B B@1 1 1 11 C CA Exercice 5. Pour aller plus loin : calcul d"une puissancen-ièmeSoitAla matrice suivante :
A=0 @3 01 2 4 21 0 31
A Démontrer queAest diagonalisable et donner une matricePinversible et une matriceDdiagonale telles queA=PDP1. En déduire la valeur deAnpour toutn2N. Le polynôme caractéristique deAestA(x) = (x2)(x4)2. On ne peut pas donc conclure directement. Il faut déterminer d"abord les sous-espaces propres. Tout calcule fait on trouve :A=PDP1oùD=0
@2 0 0 0 4 00 0 41
A etP=0 @1 0 1 2 1 0 1 011 A . Il vient que pour toutn2n, on a A n=PDnP1etDn=0 @2n0 0 0 4 n0 0 0 4 n1 A Exercice 6. Pour aller plus loin : trigonalisationquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] rapport de synthèse bac pro sen avm
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