[PDF] Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011





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Exercices corrigés algèbre linéaire

Exercice 3 (Autour des endomorphismes nilpotents). Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. 1. On suppose que f est nilpotent 



Mamouni My Ismail

CORRIGÉS-MP. 2. Devoir Libre. Endomorphismes nilpotents. Un homme regarde un match de foot dans un café lorsque son équipe nationale marque un but



CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N˚08

25 mai 2013 Dans cette partie on consid`ere un endomorphisme nilpotent de E tel ... EXERCICE 2. 1. De la relation 3f3 = f2 + f + idE



Exercices de mathématiques - Exo7

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Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1n]]



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Corrigé M1S1 SR. Corrigé exercice 4: Endomorphismes nilpotents. Supposons que ƒ € L(E) soit un endomorphisme nilpotent : In Є N tel que f² = 0 Soit à une 



Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1

Par récurrence on a montré que toute matrice carrée nilpotente est semblable `a une certaine matrice triangulaire supérieure stricte. c. L'endomorphisme f est 



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Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011

Source : corrigé (très légèrement modifié) du site de l'UPS. Auteur : Pierre et d'un endomorphisme nilpotent que : ∀M ∈ Γn(C) ∃!(D



Feuille de TD no 9 Pour commencer

16 nov. 2021 Exercice 6. Soit E un ev de dimension n. Soit P ∈ K[X]. Soit g ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent. 1. Déterminer χP (g). 2. Soit λ ∈ K ...



CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?08

25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn. Dans cette question ...



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Exercices de mathématiques - Exo7

Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est nilpotent si et seulement si ?k ? N?/ uk = 0 et on appelle alors indice de nilpotence de u.



Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011

Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme Source : corrigé (très légèrement modifié) du site de l'UPS.



Corrigé du Devoir Libre n?15

Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p ? 2. a. Par hypoth`ese fp?1 = 0 et fp = 0. Par conséquent



– Devoir surveillé n 8 –

7 avr. 2018 exercice dans l'ordre. Exercice 1. - D'apr`es EML 1999 ... Partie III : Commutant d'un endomorphisme nilpotent maximal ... Corrigé du DS 6 –.



Endomorphismes nilpotents

apr`es avoir donné la définition d'un endomorphisme nilpotent et de l'indice de nilpotence (illustrer avec des Exercices corrigés. Exercice 1.



Lycée Chrestien de Troyes Mathématique Un corrigé du devoir

Le sujet comporte six exercices indépendants les uns des autres. Un endomorphisme u d'un K-espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe p ? N? tel ...



Planche dexercices VI - Structure des endomorphismes nilpotents

Structure des endomorphismes nilpotents - Réduite de Jordan -. Exercice 1. ?. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2 et soit u un endomorphisme non 



Centrale Maths 2 PSI 2019 — Corrigé

Ce sujet porte sur les matrices et endomorphismes nilpotents. Le principal théo- rème qui y est démontré concerne une réduction particulière des 



Endomorphismes nilpotents - Université Sorbonne Paris Nord

† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents



23 Nilpotent endomorphisms - University of California Berkeley

For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest



Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 36 ** Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension ?nie non nulle et F un sous-espace non nul de E stable par f On suppose que f est diagonalisable Montrer que la restriction de f à F est un endomorphisme diagonalisable de F Correction H [005686] Exercice 37 **I



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D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn

  • Exercice 649

    Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...

  • Exercice 115

    Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...

Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?

PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.

Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?

†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.

Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?

Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.

Comment calculer la nilpotence d’une somme ?

Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)^ {k+l-1} (A+B)k+l?1 et développer cette quantité

Lycée La Prat"s Vendredi 13 janvier

Classe de PT

Épreuve de Mathématiques 5

CorrectionExercice 1 (Centrale TSI 2011 - Mathématiques 2, UPS 1) Notations :Sp(f)désigne l"ensemble des valeurs propres def.Sp(f) =f2Kjvaleur propre defg.I Préliminaires - endomorphismes nilpotents, trace d"un endomorphisme I. A.

1) 02Sp(f), 9x2Enf0Eg; f(x) = 0E

,Kerf6=f0Eg ,fnon injective.

Donc :

0=2Sp(f),finjective.2)CommeEest dimension finie,fest injective si et seulement sifest bijective. Donc :

0=2Sp(f),f2GL(E):3)Moyennant l"identification rappelée entreGLn(C)etGL(E),Mest inversible si et seulement

si l"endomorphismef, de matriceMdans la baseB, est inversible, ce qui équivaut à0=2Sp(f) ou encore0=2Sp(M). Donc :

M2GLn(C),0=2Sp(M):B.1) N2=0

@0 1 2 0 0 3

0 0 01

A0 @0 1 2 0 0 3

0 0 01

A =0 @0 0 3 0 0 0

0 0 01

A etN3= 0. Donc : k(N) = 3:2)a) CommeMest semblable àN, il existeP2GLn(C)telle queM=P1NP. On a alors8p2N; Mp= (P1NP)p=P1N(PP1)N :::NP=P1NpPpar récurrence surp. Donc :

8p2N; MpetNpsont semblables.b)SiNest nilpotente etMest semblable àN, sous les notations précédentes,

8p2N; Mp=P1NpPet8p2N; Mp= 0,Np= 0. On en déduit que :

Mest nilpotente etk(M) =k(N):3)NotonsN= MatB(f)etM= MatB0(f). SiPest la matrice de passage deBàB0; Pest

inversible,M=P1NPet les matricesMetNsont semblables, donc : Mat

B0(f)est également nilpotente et de même indice de nilpotence queMatB(f):1. Source : corrigé (très légèrement modifié) du site de l"UPS. Auteur : Pierre BRON, Lycée Chaptal, 22000 St Brieuc.

1 DST54)a) Soientietj2J1;nKtels quej6i+ 1. On a alors : n (2) ij=nX k=1n iknkj=nX k=i+1n iknkjcark6i)nik= 0

Donci+ 16korj6i+ 1doncj6kd"oùnkj= 0.

Donc en particulier,N22 Tn(C)etn(2)

ij= 0sij6i+ 1. b)Tn(C)est stable par produit, donc8k2NNk2 Tn(C)Montrons par récurrence que la propriété : H k:8(i;j)2J1;nK2(j6i+k1 =)n(k) ij= 0) est vraie pour toutk>0. H

0: la propriété s"écritN0=In2 Tn(C), ce qui est vrai.

H k=) Hk+1: SupposonsHkvraie. Par définition du produit matriciel, n (k+1) ij=nX `=1n(k) i`n`j=j1X `=i+kn(k) i`n`j

Carn(k)

i`= 0dès que`6i+k1(Hk+1), etn`j= 0dès quej6`(définition deN). Cette somme est vide, et donc nulle, pouri+k > j1, c"est-à-dire, comme nous sommes dans les entiers, lorsquej16i+k1.

DoncHk+1est vraie.

Conclusion:8k>08(i;j)2J1;nK2(j6i+k1 =)n(k)

ij= 0)c)Pourk=n;8i;j2J1;nK; i+k1 =i+n1>netj6i+k1. Doncn(n) ij= 0, ce qui montre : N n= 0etN2 Nn(C)5)a) f(X) =N(X) =nY i=1(niiX). Donc : Sp(f) =fnii=i2J1;nKgb)Commefest scindé, il existeBbase deEtelle queN= MatB(f)2 Tn(C). - Si0est la seule valeur propre deN, d"après I.B.5.a),8i2J1;nK; nii= 0. Ainsi, d"après

I.B.4.c),N2 Nn(C)etfest nilpotent.

- Réciproquement, siN2 Nn(C)etest valeur propre deN, il existeX2Cnnf0g; NX=

X. En outre, il existek2Ntel queNk= 0.

On a alorsNkX=kX= 0; orX6= 0, d"où= 0.

Comme les valeurs propres defsont celles deN, j"ai montré :

fnilpotent,Sp(f) =f0g6)SoitN2 Tn(C). D"après I.B.5.b),Nest nilpotente si et seulement siSp(N) =f0g.

Comme d"après I.B.5.a),Sp(N) =fnii=i2J1;nKg,

Nest nilpotente, 8i2J1;nK; nii= 0:C.1) SoientBetB0deux bases deE. SoitPla matrice de passage deBàB0. PosonsM= MatB(f)

etM0= MatB0(f). On a alorsM0=P1MPetTr(M0) = Tr(P1MP) = Tr(MPP1) = Tr(M) (carTr(AB) = Tr(BA)siA;B2 Mn(C)).

Donc,Tr(MatB(f))est indépendant deB.

2 DST52)L"on sait qu"il existe une baseBdeEtelle queN= MatB(f)2 Tn(C). On a alorsSp(f) =fnkk=k2J1;nKg=fk=k2J1;nKg. Donc :

Tr(f) =nX

k=1n kk=nX k=1 k:3)CommeTr(A) = 0,Aadmet deux valeurs propres opposées. - Si elles sont non nulles, elles sont distinctes etAest diagonalisable. - Si elles sont nulles,Aest semblable à une matrice triangulaire supérieureBdont la diagonale est formée des valeurs propres deAet ne contient donc que des0. D"après la question I.B.4.,Best nilpotente et d"après I.B.2.b),Al"est aussi.

J"ai montré :

Aest soit diagonalisable, soit nilpotente.Le " ou » n"est pas exclusif. La matriceA= 0est à la fois nilpotente et diagonalisable (c"est la seule).

4)SoitA=0

@1 1 0 0 1 0 0 021 A An"est pas nilpotente puisque quelle est triangulaire supérieure et que l"un des coefficients diagonaux est non nul.

Ses valeurs propres sont1et2.

Son sous-espace propreE1(A)associé à la valeur propre1a pour équation :y= 0

3z= 0. Il

est de dimension1alors que la valeur propre est d"ordre de multiplicité2. DoncAn"est pas diagonalisable.

Lorsquen= 3, il existe des matrices ni diagonalisables, ni nilpotentes.II Exponentielle d"un endomorphisme

II. A. 1) a) MatB(f) =0 B @e 1(0) (0)en1 C

Ab)det(exp(f)) = det(MatB(f))

nY k=1e k = exp nX k=1 k! 6= 0 Donc :exp(f)2GL(E):2)Soitfl"endomorphisme deEde matriceMdans la baseB. SoientB1etB2les bases deEtelles que les matrices de passages respectives deBàB1et de

BàB2soientP1etP2.

Alors, commeM=P1D1P11etM=P2D2P12, l"on aMatB1(f) =D1, respectivement Mat B2(f) =D2; ces matrices étant diagonales,B1etB2sont des bases de vecteurs propres de f. D"où, d"après la définition deexp(f), Mat

B1(exp(f)) = exp(D1)etMatB2(exp(f)) = exp(D2)

ce qui prouve :MatB(exp(f)) =P1exp(D1)P11=P2exp(D2)P12. Conclusion : P

1(expD1)P11=P2exp(D2)P12:3

DST5B.1) D"après la question I.B.4.a),Mkest triangulaire supérieure et ses termes diagonaux sont nuls

pour toutk2N. D"où les termes diagonaux dek(f)1X p=0M pp!sont ceux deM00! =In.

Les termes diagonaux deexp(M)sont donc tous égaux à1.2)Les valeurs propres deexp(f)sont celles de sa matrice dans la baseB, égale àexp(M). Or

exp(M)est triangulaire supérieure et ses valeurs propres sont les coefficients de sa diagonale; d"où :

DoncSp(expf) =f1g(valeur propre d"ordren).Commedet(exp(f)) = 1(produit des termes de la diagonale),exp(f)2GL(E):C.La propriété (P) est vraie pour tout endomorphismefen dimension finie, et s"appelle la décomposition de

Dunford.

1) a) On noteE(f) = Ker(fidEle sous-espace propre associé à la valeur proprepour l"endomorphismef.

Montrons queE(d)Eexp()(expd).

Soitx6= 0vecteur propre dedassocié à la valeur propre. La famille libre(x)peut se compléter en une base(x;e2;:::;en)de vecteurs propres de d; donc par définition (II.A),exp(d)(x) =exetx2Eexp()(expd).

Ainsi,E(d)Eexp()(expd).

Montrons queexpdetgcommutent.

Soit(e1;:::;en)une base de vecteurs propres dedassociés respectivement à1;:::;n.

L"on a8i2 f1;:::;ng; d(g(ei)) =dg(ei) =gd(ei)

=g(iei) =ig(ei) D"oùg(ei)2Ei(d). Or d"après ci-dessus,E(d)Eexp()(expd): exp(d)g(ei) = exp(d)(g(ei)) = exp(i)g(ei) Un calcul direct donnegexp(d)(ei) =g(exp(i)ei) = exp(i)g(ei). Les endomorphismesgexp(d)etexp(d)gprennent les mêmes valeurs sur une base de

E: ils sont donc égaux.

On en déduit, par une récurrence surp2Nque :8p2N; gpexp(d) = exp(d)gp.

En prenant une combinaison linéaire,

k(g)X p=0g pp!exp(d) =k(g)X p=0exp(d)gpp!, ce qui équivaut, en factorisant parexpd, à0 @k(g)X p=0g pp!1 A exp(d) = exp(d)0 @k(g)X p=0g pp!1 A c"est-à-dire

exp(d)exp(g) = exp(g)exp(d)b)L"isomorphisme canonique entreL(E)etMn(C)montre que, d"après l"unicité de la décom-

position d"un endomorphisme den(E)comme somme d"un endomorphisme diagonalisable et d"un endomorphisme nilpotent que :

8M2n(C);9!(D;N)2 Mn(C)2tel que8

:Dsoit diagonalisable;

Nsoit nilpotente et

M=D+N2)PosonsM=D+NavecDdiagonalisable etNnilpotente. On a alorsPMP1=PDP1+ PNP 1. PDP

1est diagonalisable car elle est semblable à une matrice diagonale,PNP1est nilpotente

d"après la question I.B.2.b). Par ailleurs(PDP1)(PNP1) =P(DN)P1=P(ND)1= (PNP1)(PDP1). 4

DST5DoncPMP12n(C).

L"on a alors :

exp(PDP1) = exp(PP1D1P11P1)oùD1est diagonale = (PP1)exp(D1)(PP1)1définition de l"exponentielle d"un endomorphisme diagonalisable =P(P1exp(D1)P11)P1 =Pexp(D)P1(II.A.2)) et exp(PNP1) =k(PNP1)X p=0(PNP1)pp! k(N)X p=0PN pP1p!

I.B.2)b) : les indices de nilpotence de deux

endomorphismes nilpotents semblables sont égaux =P0 @k(N)X p=0N pp!1 A P1 =Pexp(N)P1

D"où :

exp(PMP1) = exp(PDP1)exp(PNP1) =Pexp(D)P1Pexp(N)P1 =Pexp(D)exp(N)P1 =Pexp(M)P1

J"ai montré :

exp(PMP1) =Pexp(M)P1III Le casn= 2 III. A.

1) Si les valeurs propresetdefétaient distinctes, le polynôme caractéristique defserait scindé

à racine simples, etfserait donc diagonalisable. Commefest supposé non diagonalisable, =La multiplicité deest2, donc16dimE62. SidimE= 2, alorsE=Eetfest une homothétie, diagonalisable. DoncdimE= 1. La seule valeur propre defidEest donc0et d"après I.B.5),fidEest nilpotent. Il existe donc une base deEdans laquelle la matrice defidEest de la formeM=0a 0 0 d"après la question I.B.5).

OrM2= 0. Donc :

(fidE)2= 02)(fidE)2=f22f+2idE= 0, doncf2= 2f2idE.

Puisquef(v)6=v,u6= 0E.

f(u) =f2(v)f(v) = (2f2idE)(v)f(v) =f(v)2v =u

D"oùu2Enf0Eg:Par définition,v =2Eetu2E,u6= 0. Donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires :(u;v)

est libre. CommedimE= 2, (u;v)est une base deE5 DST5On a alorsf(u) =u(u2E) etf(v) =u+v(par définition deu). Donc : Mat

B(u) =1

0 :B.SoitA2 M2(C). SiAest diagonalisable,Aest semblable à une matrice du typeD(a;b). SiAn"est pas diagonalisable, soit(e1;e2)une base deEetfl"endomorphisme deEde matrice Adans la base(e1;e2). CommeAn"est pas diagonalisable,fne l"est pas et d"après la question III.A., il existe une baseBdans laquellefadmet une matrice du type1 0 =M(). Donc Aest semblable à une matrice deJ2(C). On a montré :

Tout élément deM2(C)est semblable à une matrice deJ2(C).C.8a;b2C; D(a;b) =D(a;b)+NavecN= 0, doncNest nilpotente etDN=ND:D(a;b)22(C).

8a2C; M(a) =aI2+NavecN=0 1

0 0 On a alorsaI2est diagonale etN2= 0, doncNest nilpotente; enfin(aI2)N=N(aI2) =aN:

M(a)22(C). D"où :

J

2(C)2(C):exp(D(a;b)) =ea0

0ebpar définition de l"exponentielle d"une matrice diagonale.

exp(M(a)) = exp(aI2)exp0 1 0 0 ea0

0ea1 0

0 1 +0 1 0 0 ea0

0ea1 1

0 1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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