[PDF] – Devoir surveillé n 8 – 7 avr. 2018 exercice dans

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Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDS 8 {{ Devoir surveille n 8 { { Samedi 7 avril { Voici les consignes d'usage, presentes dans le libelle des epreuves de mathematiques des concours :

La presentation, la lisibilite, l'orthographe, la qualite de la redaction, la clarte et la precision des

raisonnements entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies. Les candidats sont invites a encadrer, dans la mesure du possible, les resultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document; seule l'utilisation d'une regle graduee est autorisee. N'oubliez pas de bien numeroter vos copies et de traiter les questions d'un m^eme exercice dans l'ordre.

Exercice 1.-D'apres EML 1999

La lettrecdesigne un entier naturel xe. Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher. On eectue des tirages successifs d'une boule dans

l'urne selon le protocole suivant : apres chaque tirage, la boule tiree est remise dans l'urne et on rajoute

dans l'urne, avant le tirage suivant,cboules de la couleur qui vient d'^etre tiree.

1.Simulation Scilab :dans cette question uniquement, on suppose quec= 0. Ecrire une fonction

Scilab d'en-t^etetirage(b,r,n)qui renvoie un tableau de taillensimulantntirages : la case icontient un 1 si la i-eme tirage a donne une boule blanche et un 0 sinon. 2. Dans cette question, on supp oseque l'urne con tientinitialemen tbboules blanches etrboules rouges, oub,rsont des entiers naturels non nuls. Pouri2N, on noteBi: "on tire une boule blanche aui-eme tirage" etRi: "on tire une boule rouge aui-eme tirage". (a) Quelle est la probabilit ed'obtenir une b ouleblanc heau premier tirage ? (b) Quelle est la probabilit ed'obtenir une b ouleb lancheau deuxi eme tirage ?On donnera une reponse simpliee au maximum. (c) Si la deuxi emeb ouletir eeest blanc he,quelle est la probabilit eque la premi ereb ouletir ee ait ete blanche? 3. P ourtous en tiersnaturels non n ulsn,x,y, on noteun(x;y) la probabilite d'obtenir une boule blanche aun-ieme tirage, lorsque l'urne contient initialementxboules blanches etyboules rouges. (a) Mon trer,e nutilisan tun s ystemecomplet d' evenementsasso cieau premier tirage, que, p our tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a : u n+1(x;y) =un(x+c;y)xx+y+un(x;y+c)yx+y (b) En d eduire,par r ecurrence,que, p ourtous en tiersnaturels non n ulsn,x,y, on a : u n(x;y) =xx+y 4. Dans cette question, on supp oseque l'urne con tientinitialemen tune b ouleblanc heet une b oule rouge et quec= 1. Pour tout entier naturel non nulnon noteXnla variable aleatoire egale au nombre de boules blanches obtenues au cours desnpremiers tirages. (a)

Donner la loi de X1.

(b)

Donner la loi de X2.

(c) Mon trerpar r ecurrence,que Xnsuit une loi uniforme dont on donnera l'esperance et la variance. 1

Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDS 8 {Exercice 2.On considere la fonctionf:R!Rdenie, pour toutx2Rpar

f(x) =xln(1 +x2); et la suite (un)n0denie paru0= 1 et

8n2N; un+1=f(un)

1.

Dresser le tableau de v ariationcomplet de f.

2.

Mon trerque la suite ( un)nest decroissante.

3.

Mon trerque : 8n2N; un0:

4. Mon trerque la suite ( un)nconverge et determiner sa limite.

5.Simulation Scilab :ecrire une fonction Scilab d'en-t^etepremier_rang(a)qui calcule et retourne

le premier entiernveriantuna(a >0). Que fait-il taper dans la console pour obtenir le premier rang a partir duquelunest inferieur a 103? 6. a.

Mon trerque : 8x2[0;1]; f(x)x12

x2. b.

En d eduireque : 8n2N;u2n2(unun+1).

c. Soit n2N. On souhaite etudier la serieXu2ndont on note la somme partielleSn=nX k=0u 2k. i.

Etudier la m onotoniede ( Sn)n.

ii.

Mon trerque ( Sn)nest majoree.

iii. Que p eut-onen d eduireconcernan tla s erie etudiee? iv.Simulation Scilab :ecrire une fonction Scilab d'en-t^eteserie(n)qui renvoie un tableau contenant lesnpremiers termes de (Sn)n. Que faut-il taper dans la console pour obtenir le trace de (Sn)nen fonction densurJ0;100K? Le trace obtenu est le suivant. Que peut-on conjecturer quant a la limite de (Sn)n?2

Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDS 8 {Exercice 3.Dans tout le probleme,KdesigneRouC. SoitEunK-espace vectoriel de dimension

nie non nulle. On notel'endomorphisme nul deEetIdl'endomorphisme identite. Pourn2Netfun endomorphisme deE, on denit par recurrence l'endomorphismefnpar : f

0=Idet pour toutn2N; fn+1=ffn:

Un endomorphisme est dit nilpotent si et seulement s'il existep2Ntel quefp=. Notons alors que pour tout entierkp,fk=.

Partie I : Deux exemples

1. Dans cette question, E=Knespace vectoriel desn-uplets deK. Soit:Kn!Kndenie par (x1;:::;xn) = (0;x1;:::;xn1). 1.a.

Mon trerque est un endomorphisme deKn.

1.b. D eterminerla dimension de l'image et du no yaude l'endomorphisme . 1.c.

Mon trerque est nilpotent.

2. Dans ce ttequestion, E=Kn[X] espace vectoriel des polyn^omes de degres inferieurs ou egaux an2N. Soit :Kn[X]!K[X] denie par (P) =P(X+ 1)P(X). 2.a.

Mon trerque est un endomorphisme de Kn[X].

2.b. Soit P2Kn[X]. Determiner le degre de (P) en distinguant les cas selon quePsoit ou ne soit pas un polyn^ome constant. 2.c.

D eterminerl'image et le no yaude .

2.d.

Etablir que est un e ndomorphismenilp otent.

Partie II : Etude generale

1.

Soien tfetgdes endomorphismes deE.

1.a. Mon trerque si fest nilpotent et sifetgcommutent alorsfgest un endomorphisme nilpotent. 1.b. Mon trerque si fgest nilpotent alorsgfest un endomorphisme nilpotent. 1.c.

On supp oseque fest nilpotent.

1.c.i.

Mon trerque Idfest un endomorphisme deE.

1.c.ii.

Mon trerque Idfest un isomorphisme deE.

Indication :On pourra considerer l'endomorphismeg=Id+f++fn1pour un entiernbien choisi. 2. Soit fun endomorphisme nilpotent deE. On admet qu'il existe un plus petitp2Ntel que f p=. Cet entier est appele indice de nilpotence de l'endomorphisme nilpotentfet on le note(f). L'objectif de cette question est d'etablir que(f)dim(E). Pour cela, on pose, pour tout p2N,Np=Ker(fp). 2.a.

D eterminerN(f).

2.b.

Mon trerque p ourtout p2N,NpNp+1.

2.c. Mon trerque s'il existe p2Ntel que dim(Np) = dim(Np+1), alors pour toutq2N, N p=Np+q. 2.d.

Conclure.

3

Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDS 8 {Partie III : Commutant d'un endomorphisme nilpotent maximal

Soitfun endomorphisme nilpotent deEtel que(f) = dim(E). Pour alleger les notations par la suite, nous convenons de noternau lieu de(f) l'indice de nilpotence def. On noteC(f) l'ensemble des endomorphismes deEcommutant avecf. On a donc : g2 C(f),fg=gf: 1. Mon trerque C(f) est un sous-espace vectoriel deL(E). 2.

Soit g2 C(f).

2.a.

Mon trerqu'il existe x02Etel quefn1(x0)6= 0E.

2.b. Mon trerque la famille de v ecteursB= (x0;f(x0);:::;fn1(x0)) constitue une base deE. 2.c. On n ote( a0;a1;:::;an1)2Knles composantes du vecteurg(x0) dans la baseB. Exprimer, pour toutk2 f0;1;:::;n1g,g(fk(x0)) comme combinaison lineaire de vecteurs deB. 2.d.

En d eduireque g=a0Id+a1f++an1fn1.

3.

Conclure que C(f) =V ect(Id;f;:::;fn1).

4.

D eterminerla dimension de C(f).

4 Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyCorrige du DS 6 {Proposition de solutions Solution 11.On p ouvaitprop oserla f onctionsuiv ante function y=tirage(b,r,n) L=[] for i=1:n a=grand(1,1,'uin',1,b+r) if a<=b then

L=[L 1]

else L=[L 0] end end y=L endfunction On pouvait aussi remplacer les lignes 4 et 5 parif rand()<=b/(b+r). 2.a.

P ouri2N, on noteBi: "on tire une boule blanche aui-eme tirage" etRi: "on tire une boule rouge aui-eme

tirage". Les tirages des boules sont equiprobables doncP(B1) =bb+r.

Conclusion :La probabilite d'obtenir une boule blanche au premier tirage estbb+r.2.b.On c hercheP(B2). Puisqu'a chaque instant le contenu de l'urne depend du precedent tirage, on pense a utiliser

les conditionnements et donc la formule des probabilites totales. (B1;R1) est un systeme complet d'evenements

donc, d'apres la formule des probabilites totales,P(B2) =PB1(B2)P(B1) +PR1(B2)P(R1). Ainsi,

P(B2) =b+cb+c+rbb+r+bb+c+rrb+r

b(b+c+r)(b+r)(b+c+r) bb+r=P(B1):

Conclusion :La probabilite d'obtenir une boule blanche au deuxieme tirage est la m^eme que celle d'obtenir une bouleblanche au premier tirage, c'est a dire

bb+r.2.c.On c herchePB2(B1). La formule de Bayes donne, P

B2(B1) =P(B1\B2)P(B2)

P(B1)PB1(B2)P(B2)

=PB1(B2) =b+cb+c+r; car d'apres la question precedente,P(B1) =P(B2).

Conclusion :On obtientPB2(B1) =b+cb+c+r.3.a.Si l'urne con tientinitialemen txblanches etyrouges, (B1;R1) est un systeme complet d'evenements donc

u n+1(x;y) =P(Bn+1) =PB1(Bn+1)P(B1) +PR1(Bn+1)P(R1).

Or, si on a obtenuB1;on rajoutecblanches et on a encorentirages a faire en debutant avecx+cblanches et

rrouges. DoncPB1(Bn+1) =un(x+c;y). Et si on a obtenuR1on rajoutecrouges et on a encorentirages a faire en debutant avecxblanches etr+crouges. DoncPR1(Bn+1) =un(x;y+c).

Conclusion :un+1(x;y) =un(x+c;y)xx+y+un(x;y+c)yx+y.3.b.Mon tronsp arr ecurrenceque p ourtout n2N, la propositionP(n) : "8(x;y)2(N)2;un(x;y) =xx+y" est vraie.

Initialisation :Pourn= 1 : d'apres la question 2.a.,P(1) est vraie. Heredite :Soitn2Nxe, on suppose queP(n) est vraie, c'est a dire que

8(x;y)2(N)2;un(x;y) =xx+y

et on cherche a montrerP(n+ 1) c'est a dire que

8(x;y)2(N)2;un+1(x;y) =xx+y:

1

Annee 2017-2018 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyCorrige du DS 6 {Soit (x;y)2(N)2, on a, d'apres la question precedente puis en utilisant l'hypothese de recurrence (en utilisant

la formule avecx+cjouant le r^ole dexetypour le premier terme etxety+cjouant le r^ole deypour le second

terme), u n+1(x;y) =un(x+c;y)xx+y+un(x;y+c)yx+y doncP(n+ 1) est vraie.

Remarque :On notera ici l'importance d'avoir ecrit8(x;y)2(N)2a l'interieur de la proprieteP(n). En eet,

nous avons besoin que l'hypothese de recurrence soit vraie pour tout couple (x;y) puisque nous l'utilisons avec

(x+c;y) et (x;y+c).

Conclusion :D'apres le principe de recurrence, pour tout entiersn;x;ynon nuls,un(x;y) =xx+y.4.a.La v ariableal eatoireX1ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, c'est donc une loi de Bernoulli. Son parametre

p=P(X1= 1) =P(B1) vautb+rb =12 dans notre cas, d'apres la question 2.a.

Conclusion :X1 B(1=2).4.b.On a d'ab ordX2(

) =J0;2K. De plus,

P(X2= 0) =P(R1\R2) =P(R1)PR1(R2) =12

23
=13

P(X2= 2) =P(B1\B2) =P(B1)PB1(B2) =12

23
=13 et enn, par incompatibilite des evenementsR1\B2etR2\B1, P(X2= 1) =P((R1\B2)[(B1\R2)) =P(R1\B2)+P(R2\B1) =P(R1)PR1(B2)+P(B1)PB1(R2) = 212 13 =13

Conclusion :X2 U(J0;2K.4.c.Les lois de X1etX2permettent de conjecturer que8n2N,Xn U(J0;nK). Demontrons le par recurrence.

Initialisation :X1 B(1=2) U(J0;1K) d'apres la question 1 donc la propriete est vraie au rang 1. Heredite :On suppose que la propriete est vraie au rangnpour unn1 xe. On a alors,Xn U(J0;nK).

D'abord, il est clair queXn+1(

) =J0;n+ 1K. Pour commencer, on exclut les cask= 0 etk=n+ 1 dont nous parlerons a la n. Soitk2J1;nK, on a, comme (Bn+1;Rn+1) forme un systeme complet d'evenements, (Xn+1=k) = ((Xn+1=k)\(Bn+1[Rn+1)) = ((Xn+1=k)\Rn+1)[((Xn+1=k)\Bn+1): Mais, ((Xn+1=k)\Rn+1) = ((Xn=k)\Rn+1) car siRn+1est realise (c'est a dire si on tire une rouge au

(n+ 1)-ieme tirage) et si on a tirekboules blanches au cours desn+ 1 premiers tirages, c'est qu'on a tirek

boules blanches au cours desnpremiers tirages. De m^eme, ((Xn+1=k)\Bn+1) = ((Xn=k1)\Bn+1) car siBn+1est realise (c'est a dire qu'on tire unequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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