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[PDF] Cours 6 - 13/02/2012

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Mathematics 3: Algebra

(b) Show that all eigenvalues of a nilpotent matrix are 0 (c) Deduce by proving the converse to (b) that a matrix A ? Fn×n is nilpotent if and only if all its eigenvalues are 0 (Hint: Cayley-Hamilton) (d) Deduce that if A ? F n× satis?es Am = 0 for some m ? N then An = 0 (a) Take x to be an eigenvector of A with eigenvalue ?



Mathematics 3: Algebra

Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur’s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A The o?-diagonal entries of Tseem unpredictable and out of control



Linear Spaces of Nilpotent Matrices - CORE

LEMMLIA 2 lf A und B are matrices or;er a field IF with more than tzLo elements and if ecery linear combination of A and B is nilpotent then tr(AB”) = 0 Proof Write B in its Jordan form as in the proof of Lemma 1 Let S(M) be the sum of 3X3 principal minors a matrix M; thus



The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix

The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur™s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A:The o?-diagonal entries of T seem unpredictable and out of



arXiv:math/0105009v1 [mathGM] 1 May 2001

de Jordan de la matrice nilpotente Cette derni`ere est d´etermin´ee entre Alice et Bob par le logarithme discret modulo p Oscar doit trouver une matrice dans un nombre consid´erable de choix possibles 2 Rappels d’alg`ebre lin´eaire Une matrice X est nilpotente s’il existe k tel que Xk = 0 [4]



Is a square matrix nilpotent?

Nilpotent matices Recall that a square matrix is nilpotent is some positive power of it is the zero matrix. Let F be a ?eld. (1) (a) Suppose that A ? Fn×nhas a nonzero eigenvalue ?.

What is tr(AB) of nilpotent matrix?

If A, B, and A + B are nilpotent matrices over a field F, then tr(AB) = 0. Proof. Choose a basis relative to which B is in Jordan form; thus 0 0 B= : 0 -0 81 0 0 0 6, 0 0 0 0 > 6,-l 0 _ SPACES OF NILPOTENT MATRICES 217 where ai = 0 or 1 (i = 1,. , n - 1).

What are the spaces of nilpotent matrices 219?

SPACES OF NILPOTENT MATRICES 219 tr(A”‘) = 0 for all positive integers m (here we use the hypothesis that the underlying field has characteristic zero). Fixing m and viewing as a polynomial p in k indeterminates, we note that if

Does E L generate a linear space of nilpotents?

Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.

[PDF] Cours 6 - 13/02/2012

Cours6

13/02/2012

6.1Formeno rmaledeJordan

Onadonc rem plilaprem i`erepartieduprogramm e:ench oisissantunebaseBdeC n quiest lar"eu niondebasesB j dechaqu eG j ,la matrice deAdanscetteb asesÕ"ecritsousl aforme diagonaleparbloc(5.2. 1),o`uc haqueblocA j estlarest riction deAausou s-espaceG j .Pos ant N j =A j j I, onad Õail leursN m j j =0.Au tre mentditA j j I+N j avecN j matricenilpotentedÕor dre "m j

6.1.1Matricesnil potentes

D"eÞnition6.1.1UnematriceN#=0estnilpote ntelorsquÕilexistes$N telqu eN s =0.

Leplusp etitent iers%1telqu eN

s =0estlÕordr edenilpotencedeN.

Proposition6.1.2SoitN$M

n (C).Le sassertion ssuivantessont"equivalentes i)Nestnilpote nte. ii)Laseul evaleurpropredeNest0. iii)Lepolyn öomecaract"eristiqued eNestP N (x)=x n Preuve:SupposonsqueNestnilpote ntedÕodrep.Siestunevale urproprede N,ass oci"ee auve cteurpropreU$C n ,ona 0=N p u=N p"1 Nu=N p"1 u=ááá= p u,

COURS6.13/02/201253

donc=0.Le poly nöom ecaract"eristiquedeP N estunpolyn öomesci nd"edansC n [x],de degr"en,don t0estlas eul eracine.On adoncP N (x)=cx n pouruncert ainc$C.Or P N (x)=det(xIN),doncc=1.O na prouv"e que (i)&(ii)&(iii).R" eciproquement, siP N (x)=x n ,le th"eor` emedeCayley-HamiltondonneN n =P N (N)=O.Don cNest nilpotentedÕordreinf"erieurou "egal`an. n (C)esttoujours inf"erieur`an. ÐSiNestunemat ricenilpot enteetdiagonalisable,a lorsNestsembl able`alamatricenulle, doncestnul le. LÕexponentielledÕunematricenilpotenteest, enprincipe,facil e`acalculer.CÕeste nparticulier unpolyn öomeent,puisque

SiNestnilpote ntedÕordrep,

e tN =I+tN+ t 2 2 N 2 t (p"1) (p1) N (p"1)

6.1.2Formenorma ledeJordan

PuisquelÕonpeuttoujours triangularis erunematrice( surC),etqu Õalorsl adiagonalecontient lesvaleur spropresdelamatrice( cf.laProposition5.4.1), onvoitqu etoute matricenilpotente estsemblab le`aunematricedelaforme

0'...'

0...0 o`ules'd"esignentuncoecientcomplexedont onignoretout`apriori.Onpe utcependan t d"emontrerler"esultatsuivant:

Proposition6.1.4SoitN$M

k (C)unematric enilpotente.Lamatrice Nestsemblabl e`a unematric ediagonaleparblocsdela forme (6.1.1)N= N 1 N 2 N r Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Vers ion1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201254

o`ucha queblocN M k (R),avec1"k "k,etk 1 +ááá+k r =k,estdelaforme N j

010......0

.010...0 .0 .1

0......0

Revenant`alamatriceAinitiale,onobtientsaformenor male deJordan:

Proposition6.1.5Toutematrice A$M

n (C)estsembl able`aunematricedelaforme A= A 1 A 2 A d avecA j M m j (C)donn"eepar A j T j 1 T j 2 T j r j etT j M k (C)donn"eepar T j j

10......0

j

10...0

.0 .1

0......

j Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Versi on1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201255

Onnote ralesdeuxcasextr öemes:onp eutavoirr

j =1( lam atriceN j estdÕunseul bloc), etquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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