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Cours6
13/02/2012
6.1Formeno rmaledeJordan
Onadonc rem plilaprem i`erepartieduprogramm e:ench oisissantunebaseBdeC n quiest lar"eu niondebasesB j dechaqu eG j ,la matrice deAdanscetteb asesÕ"ecritsousl aforme diagonaleparbloc(5.2. 1),o`uc haqueblocA j estlarest riction deAausou s-espaceG j .Pos ant N j =A j j I, onad Õail leursN m j j =0.Au tre mentditA j j I+N j avecN j matricenilpotentedÕor dre "m j6.1.1Matricesnil potentes
D"eÞnition6.1.1UnematriceN#=0estnilpote ntelorsquÕilexistes$N telqu eN s =0.Leplusp etitent iers%1telqu eN
s =0estlÕordr edenilpotencedeN.Proposition6.1.2SoitN$M
n (C).Le sassertion ssuivantessont"equivalentes i)Nestnilpote nte. ii)Laseul evaleurpropredeNest0. iii)Lepolyn öomecaract"eristiqued eNestP N (x)=x n Preuve:SupposonsqueNestnilpote ntedÕodrep.Siestunevale urproprede N,ass oci"ee auve cteurpropreU$C n ,ona 0=N p u=N p"1 Nu=N p"1 u=ááá= p u,COURS6.13/02/201253
donc=0.Le poly nöom ecaract"eristiquedeP N estunpolyn öomesci nd"edansC n [x],de degr"en,don t0estlas eul eracine.On adoncP N (x)=cx n pouruncert ainc$C.Or P N (x)=det(xIN),doncc=1.O na prouv"e que (i)&(ii)&(iii).R" eciproquement, siP N (x)=x n ,le th"eor` emedeCayley-HamiltondonneN n =P N (N)=O.Don cNest nilpotentedÕordreinf"erieurou "egal`an. n (C)esttoujours inf"erieur`an. ÐSiNestunemat ricenilpot enteetdiagonalisable,a lorsNestsembl able`alamatricenulle, doncestnul le. LÕexponentielledÕunematricenilpotenteest, enprincipe,facil e`acalculer.CÕeste nparticulier unpolyn öomeent,puisqueSiNestnilpote ntedÕordrep,
e tN =I+tN+ t 2 2 N 2 t (p"1) (p1) N (p"1)6.1.2Formenorma ledeJordan
PuisquelÕonpeuttoujours triangularis erunematrice( surC),etqu Õalorsl adiagonalecontient lesvaleur spropresdelamatrice( cf.laProposition5.4.1), onvoitqu etoute matricenilpotente estsemblab le`aunematricedelaforme0'...'
0...0 o`ules'd"esignentuncoecientcomplexedont onignoretout`apriori.Onpe utcependan t d"emontrerler"esultatsuivant:Proposition6.1.4SoitN$M
k (C)unematric enilpotente.Lamatrice Nestsemblabl e`a unematric ediagonaleparblocsdela forme (6.1.1)N= N 1 N 2 N r Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Vers ion1.01.ThierryRamondCOURS6.13/02/201254
o`ucha queblocN M k (R),avec1"k "k,etk 1 +ááá+k r =k,estdelaforme N j010......0
.010...0 .0 .10......0
Revenant`alamatriceAinitiale,onobtientsaformenor male deJordan:Proposition6.1.5Toutematrice A$M
n (C)estsembl able`aunematricedelaforme A= A 1 A 2 A d avecA j M m j (C)donn"eepar A j T j 1 T j 2 T j r j etT j M k (C)donn"eepar T j j10......0
j10...0
.0 .10......
j Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Versi on1.01.ThierryRamondCOURS6.13/02/201255
Onnote ralesdeuxcasextr öemes:onp eutavoirr
j =1( lam atriceN j estdÕunseul bloc), etquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] relation d'ordre partiel
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