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Mathematics 3: Algebra

Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur’s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A The o?-diagonal entries of Tseem unpredictable and out of control



Linear Spaces of Nilpotent Matrices - CORE

LEMMLIA 2 lf A und B are matrices or;er a field IF with more than tzLo elements and if ecery linear combination of A and B is nilpotent then tr(AB”) = 0 Proof Write B in its Jordan form as in the proof of Lemma 1 Let S(M) be the sum of 3X3 principal minors a matrix M; thus



The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix

The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur™s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A:The o?-diagonal entries of T seem unpredictable and out of



arXiv:math/0105009v1 [mathGM] 1 May 2001

de Jordan de la matrice nilpotente Cette derni`ere est d´etermin´ee entre Alice et Bob par le logarithme discret modulo p Oscar doit trouver une matrice dans un nombre consid´erable de choix possibles 2 Rappels d’alg`ebre lin´eaire Une matrice X est nilpotente s’il existe k tel que Xk = 0 [4]



Is a square matrix nilpotent?

Nilpotent matices Recall that a square matrix is nilpotent is some positive power of it is the zero matrix. Let F be a ?eld. (1) (a) Suppose that A ? Fn×nhas a nonzero eigenvalue ?.

What is tr(AB) of nilpotent matrix?

If A, B, and A + B are nilpotent matrices over a field F, then tr(AB) = 0. Proof. Choose a basis relative to which B is in Jordan form; thus 0 0 B= : 0 -0 81 0 0 0 6, 0 0 0 0 > 6,-l 0 _ SPACES OF NILPOTENT MATRICES 217 where ai = 0 or 1 (i = 1,. , n - 1).

What are the spaces of nilpotent matrices 219?

SPACES OF NILPOTENT MATRICES 219 tr(A”‘) = 0 for all positive integers m (here we use the hypothesis that the underlying field has characteristic zero). Fixing m and viewing as a polynomial p in k indeterminates, we note that if

Does E L generate a linear space of nilpotents?

Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2005-2006

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soienta;b;cdes réels vérifianta2+b2+c2=1 etPla matrice réelle 33 suivante : P=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A 1.

Calculer le déterminant de P.

2. Déterminer les sous-espaces v ectorielsde R3, kerPet ImP. 3.

Soit Q=IP, calculerP2,PQ,QPetQ2.

4.

Caractériser géométriquement PetQ.

SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), etuun endomorphisme deE. On supposeunilpotent, c"est-à-dire qu"il existe un entier strictement positifntel queun=0. 1.

Montrer que un"est pas inversible.

2. Déterminer les v aleurspropres de uet les sous-espaces propres associés.

SoitMla matrice deR4suivante

M=0 B

B@0 1 0 0

2 01 0

0 7 0 6

0 0 3 01

C CA 1. Déterminer les v aleurspropres de Met ses sous-espaces propres. 2.

Montrer que Mest diagonalisable.

3. Déterminer une base de v ecteurspropres et Pla matrice de passage. 4. On a D=P1MP, pourk2NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk.

2 Partiel

Exercice 4Soitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=0 @322 2 1 2

3 3 21

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que les v aleurspropres de Asont1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés.

3.

Démontrer que Aest diagonalisable et donner une base deR3dans laquelle la matrice deuest diagonale.

4.

T rouverune matrice Ptelle queP1APsoit diagonale.

Soita2RetAla matrice suivante

A=0 @1 0a 0a1 a1 01 A 1. Calculer le déterminant de Aet déterminer pour quelles valeurs deala matrice est inversible. 2.

Calculer A1lorsqueAest inversible.

SoitA=0

B

B@1 2 0 0

0 1 2 0

0 0 1 2

0 0 0 11

C CA. Expliquer sans calcul pourquoi la matriceAn"est pas diagonalisable. SoitAune matrice 22 à coefficients réels. On suppose que dans chaque colonne deAla somme des coefficients est égale à 1. 1. Soient (x1;x2),(y1;y2)deux vecteurs deR2, on suppose que A x1 x 2 =y1 y 2 montrer qu"alors y

1+y2=x1+x2:

2. Soit le v ecteure= (1;1), montrer que c"est un vecteur propre deA. On noteralsa valeur propre. 3.

Montrer que si vest un vecteur propre deAnon colinéaire àe, alors la valeur propre associée àvest

égale à 1.

2

4.Soit e1= (1;0). Montrer que la matrice, dans la base(e1;e), de l"endomorphisme associé àAest de la

forme 1 0 a l oùa2R. En déduire que sil6=1, alorsAest diagonalisable surR. SoientAetBdes matrices non nulles deMn(R). On suppose queA:B=0. 1.

Démontrer que Im BkerA.

2. On suppose que le rang de Aest égal àn1, déterminer le rang deB.

Exercice 9I

Soita2RetAa2M3(R)la matrice suivante

A a=0 @1 0a+1 12 0 1 1a1 A

Première partie:

1. F actoriserle polynôme caractéristique PAa(X)en produit de facteurs du premier degré. 2.

Déterminer selon la v aleurdu paramètre ales valeurs propres distinctes deAaet leur multiplicité.

3. Déterminer les v aleursde apour lesquelles la matriceAaest diagonalisable. 4. Déterminer selon la v aleurde ale polynôme minimal deAa.

Seconde partie:

On suppose désormais quea=0, on noteA=A0etfl"endomorphisme deR3associé à la matriceA. 1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2. Démontrer que fadmet un plan stable (c"est-à-diref-invariant). 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 01 1 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5. Pour t2R, calculer exptBet exprimer exptAà l"aide dePet exptB. 3

6.Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX.

II On rappelle qu"une matriceN2Mn(C)est dite nilpotente d"ordremsiNm=0, et si pour toutkdansN,kDéterminer unpolynômeannulateurdeN. Endéduirelepolynômeminimaletlepolynômecaractéristique

deN. 2.

Déterminer les v aleurspropres de N.

3.

Démontrer que det (I+N) =1.

4. On suppose Ainversible. Démontrer que les matricesANetNA1sont nilpotentes. En déduire que det(A+N) =detA: 5. On suppose Anon inversible. En exprimant(A+N)kpour toutk2N, démontrer que det(A+N) =0:

Exercice 10SoitA=a c

c d

2M2(R), montrer queAest diagonalisable surR.

SoitNune matrice nilpotente, il existeq2Ntel queNq=0. Montrer que la matriceINest inversible et exprimer son inverse en fonction deN.

On considère la matrice suivante

A=0 @11 0 1 01

1 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defs"écrit B=0 @1 1 0 0 1 1

0 0 11

A 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 4

La suite de Fibonacci 0;1;1;2;3;5;8;13;:::est la suite(Fn)n>0définie par la relation de récurrenceFn+1=

F n+Fn1pourn>1, avecF0=0 etF1=1. 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que, pour toutn>1, Fn+1 F n =AnF1 F 0 2. Montrer que Aadmet deux valeurs propres réelles distinctes que l"on notel1etl2avecl1Déterminer les coordonnées du v ecteur F1 F 0 dans la base(e1;e2), on les notex1etx2. 5.

Montrer que

Fn+1 F n =ln1x1e1+ln2x2e2. En déduire que F n=ln1l

1l2ln2l

1l2: 6. Donner un équi valentde Fnlorsquentend vers+¥.

Correction del"exer cice1 NSoient a;b;c des réels vérifiant a2+b2+c2=1et P la matrice réelle33suivante:

P=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A 1.

Calculons le déterminant de P.

detP= a

2ab ac

ab b 2bc ac bc c 2 =abc a a a b b b c c c =0: 2. Déterminons les sous-espaces v ectorielsde R3, kerPet ImP. kerP=8 (x;y;z)2R3;0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A9= on a (x;y;z)2kerP()8 :a(ax+by+cz) =0 b(ax+by+cz) =0 c(ax+by+cz) =0 Or,a;betcne sont pas simultanément nuls cara2+b2+c2=1, ainsi kerP=f(x;y;z)2R3;ax+by+cz=0g; c"est le plan vectoriel d"équationax+by+cz=0. L"image dePest le sous-espace deR3engendré par les vecteurs colonnes de la matriceP. Sachant que dimkerP+dimImP=dimR3=3, on sait que la dimension de l"image dePest égale à 1, c"est-à-dire que l"image est une droite vectorielle. En effet, les vecteurs colonnes dePsont les vecteurs 0 @a2 ab ac1 A ;0 @ab b 2 bc1 A ;0 @ac bc c 21
A c"est-à-dire a0 @a b c1 A ;b0 @a b c1 A ;c0 @a b c1 A Le sous-espace ImPest donc la droite vectorielle engendrée par le vecteur0 @a b c1 A 3.

Soit Q=IP, calculonsP2,PQ,QPetQ2.

P 2=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A 0 @a4+a2b2+a2c2a3b+ab3+abc2a3c+ab2c+ac3 a

3b+ab3+abc2a2b2+b4+b2c2a2bc+b3c+bc3

a

3c+ab2c+ac3a2bc+b3c+bc3a2c2+b2c2+c41

A 0 @a2(a2+b2+c2)ab(a2+b2+c2)ac(a2+b2+c2) ab(a2+b2+c2)b2(a2+b2+c2)bc(a2+b2+c2) ac(a2+b2+c2)bc(a2+b2+c2)c2(a2+b2+c2)1 A 0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A =P: 6

Cara2+b2+c2=1.

SiQ=IP, on a

PQ=P(IP) =PIP2=PP=0;

QP= (IP)P=IPP2=PP=0

et Q

2= (IP)(IP) =I2IPPI+P2=IPP+P=IP=Q:

4.

Caractérisons géométriquement PetQ.

Nous avons vu que le noyau dePétait égal au plan vectoriel d"équationax+by+cz=0 et que son

image de était la droite vectorielle engendrée par le vecteur(a;b;c). Par ailleurs, on aP2=P, égalité

qui caractérise les projecteurs, l"endomorphisme de matricePest donc la projection sur ImPsuivant la

direction kerP.

SoitX2R3, on a

QX=0()IXPX=0()PX=X()X2ImP;

ainsi kerQ=ImP. D"autre part,

Q=IP=0

@1a2abac ab1b2bc acbc1c21 A =0 @b2+c2abac ab a2+c2bc acbc a2+b21 A On a dimImQ=2 et les vecteurs colonnes deQvérifient l"équationax+by+cz=0, ainsi ImQ=kerP.

L"égalitéQ2=Qprouve queQest également un projecteur, c"est la projection sur ImQdirigée par kerQ.Correction del"exer cice2 NSoit E un espace vectoriel sur un corps K (K=RouC), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent,

c"est-à-dire qu"il existe un entier strictement positif n tel que u n=0. 1.

Montrons que un"est pas inversible.

On a : 0=detun= (detu)n, d"où detu=0, ce qui prouve queun"est pas inversible. 2. Déterminons les v aleurspropres de uet les sous-espaces propres associés. Soitlune valeur propre deu, il existe alors un vecteurx2Enon nul tel queu(x)=lx. Or,u(x)=lx) u n(x) =lnx. Mais,un(x) =0 etx6=0, d"oùln=0 et doncl=0. La seule valeur propre possible deu

est donc 0 et c"est une valeur propre car, commeun"est pas inversible, le noyau deun"est pas réduit à

f0g. L"endomorphismeuadmet donc 0 comme unique valeur propre, le sous-espace propre associé est keru.Correction del"exer cice3 NSoit M la matrice deR4suivante M=0 B

B@0 1 0 0

2 01 0

0 7 0 6

0 0 3 01

C CA 1. Déterminons les v aleurspropres de Met ses sous-espaces propres. Les valeurs propres deMsont les réelsltels que det(MlI) =0. det(MlI)= l1 0 0 2l1 0 0 7l6

0 0 3l

7 Les valeurs propres deMsont donc 2;2;3 et3. NotonsE2,E2,E3etE3les sous-espaces propres associés. E

2=fX2R4;MX=2Xg

=(x;y;z;t)2R4;y=2x;2xz=2y;7y+6t=2z;3z=2t or 8 >>:y=2x

2xz=2y

7y+6t=2z

3z=2t()8

>>:y=2x

2xz=4x

14x+9z=2z

3z=2t()8

:y=2x z=2x t=3x ainsi,E2est la droite vectorielle engendrée par le vecteuru1= (1;2;2;3). E

2=fX2R4;MX=2Xg

=(x;y;z;t)2R4;y=2x;2xz=2y;7y+6t=2z;3z=2t or 8 >>:y=2x

2xz=2y

7y+6t=2z

3z=2t()8

>>:y=2x

2xz=4x

14x9z=2z

3z=2t()8

:y=2x z=2x t=3x ainsi,E2est la droite vectorielle engendrée par le vecteuru2= (1;2;2;3). E

3=fX2R4;MX=3Xg

=(x;y;z;t)2R4;y=3x;2xz=3y;7y+6t=3z;3z=3t or 8 >>:y=3x

2xz=3y

7y+6t=3z

3z=3t()8

>>:y=3x

2xz=9x

21x+6t=3z

z=t()8 :y=3x z=7x t=7x ainsi,E3est la droite vectorielle engendrée par le vecteuru3= (1;3;7;7). E

3=fX2R4;MX=3Xg

=(x;y;z;t)2R4;y=3x;2xz=3y;7y+6t=3z;3z=3t or 8 >>:y=3x

2xz=3y

7y+6t=3z

3z=3t()8

>>:y=3x

2xz=9x

21x6z=3z

z=t()8 :y=3x z=7x t=7x ainsi,E3est la droite vectorielle engendrée par le vecteuru4= (1;3;7;7). 2.

Montrons que Mest diagonalisable.

La matriceMadmet quatre valeurs propres distinctes, ce qui prouve que les quatres vecteurs propresquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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