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The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur™s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A:The o?-diagonal entries of T seem unpredictable and out of
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Nilpotent matices Recall that a square matrix is nilpotent is some positive power of it is the zero matrix. Let F be a ?eld. (1) (a) Suppose that A ? Fn×nhas a nonzero eigenvalue ?.
What is tr(AB) of nilpotent matrix?
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What are the spaces of nilpotent matrices 219?
SPACES OF NILPOTENT MATRICES 219 tr(A”‘) = 0 for all positive integers m (here we use the hypothesis that the underlying field has characteristic zero). Fixing m and viewing as a polynomial p in k indeterminates, we note that if
Does E L generate a linear space of nilpotents?
Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.
1.Démontrerqueuesttrigonalisa ble.
Lepo lynômescindéX
p (pestun entiernaturel nonnul)annule u.2.Déterminerlep olynôme caractéristiquedeu.
Lepo lynômecaractéristiquedeuestscindé (caruesttrigonalisable). Laseulev aleurpro prepossiblepouruest0(seulera cinedeX p ).I ln'y aqu'unpolynômescindéunitairededegrénquiaco mmeseulera cine0:c'estX
nIlyabe au cou pdemanièresdi
fférentesd'arriveràceré sultat.Onpeut
parexempleprendreune baseda nslaquellelamatrice deuesttri- angulairesupérieure,iln'y aquedes0surla diagonale, lepolynôme caractéristiquedeusecalculefacilemen t.. .3.Enutilisa ntlethéorèmedeCayley-Hamilton,démon trerque
l'indicedenilpotence deuestaupluséga làn.Lepo lynômecaractéristiqueestX
n ;lepolynômeminimalestdonc X p lepo lynômeminimaldiviselepolynômecara ctéristique).Onaa lors u pΘ(X
p annuleu)etu p-1 ?=Θ(X p-1 n'annulepasu).Donc pest l'indiced enilpotencedeu. 134.Retrouverlerésultatdela questionprécéden tesansutiliserle
théorèmedeCay ley-Hamilton, àl'aidedel'exerciceclassique surle s"noyauxité rés ».Ona( voi rexercicesurlesnoy auxitérés):
Ker(u 0 )?Ker(u 1 )?···?Ker(u p-1 )?Ker(u p )=ELasuite finie
dim Keru k estdonc unesuite strictementcrois- santed'entiersnaturels,ce quiimpliquefacilement,p ourtoutkentre0etp,dim
Keru k5.Démontrerque,sur C,unematriceestnilpotentesietseule-
mentsi0estsonuniq uevaleurpropre.Es t-ceencorevrais ur R? Siunema triceestnilp otente,saseulev aleurpro preest0,quelquesoitle corps.Réciproquemen t,silaseulevaleurpropreest0, commeonest surC, lep olynômeminimalestscindé,ilestdoncde laformeX p .Donclamatrice estnilpot ente.Enrevanche,surR,lamatrice 000 00-1 010 (construiteàpartir d'unblo c2×2dema tricederotation d'angle π/2)a pourseule valeurpropre0,etpourtantn'estpasnilpotente(maisbiensûr, ellea desva leu rsproprescomplexesnonnulles). 14 Sous-espacescaractéri stiquesetréductiondeDunford1.Soituunendom orphismenilpotentd'unespacededimensio n
finienonnu llen.Onappellepl'indicedenilpotence deu, c'est-à-direlepluspetiten tiernaturel pourlequelu pΘ.Dé-
montrerque uesttrigonalisa ble.Quelestlepolynômeminimal peut-ilêtrediagona lisable?Lepo lynômescindéX
p estannulateur deu,doncuesttrigonalisable.Sonpolynô meminimalestundiviseurdeX
p ,doncilestdelaforme X k k ?=Θ,donc lep olynômeminimaldeuestnécessairement X p Etdo nclaseulerac inepo ssiblepourlepol ynômecaractéristi quede uest0(c'estlaseule valeur propre possiblepouru).O rcepolynôme caractéristiqueest scindé(car uesttrigonalisable), unitairededegré n,c'estdoncX n Et,parl ethéorème deCayl ey-Hamilton(lepolynômemi nimal divise Siuestdiagonalisable,co mmeil auneseulevaleurpropre (doncun seulsous-espace prop re),c'estunehomothétie,derapportcettevaleur propre,ici0.Doncu=Θ.2.Soituunendo morphismed'unespaceEdedim ensionfinie
nonnull en.Onsupposequelepolynômecaractéristiquede uestscindé. Onnoteλ 1 q sesracines, demultiplicités respectivesm 1 ,...,m q 15Onnot e,pourchaqueientre1etq:F
i =Ker i Id-u) m i F i estappelé sous-espacecaractéristiq ueassociéàlavaleur propreλ i (a)DémontrerqueF i eststable paruetcon tientlesous- espacepropreE i associéàlaval eurpr opreλ i F i estle noyau deP i (u),avecP i i -X) m i .Com meP i (u)com- muteavecu(c'estun polynô medeu),so nnoyauF i eststable paru(cours).Mais,sifestun endomorphisme,sik ,ona ker(f k )?ker(f k ),doncenparticulierici ker i Id-u ?ker i Id-u) m i cequitraduit bienque E i ?F i (b)DémontrerqueEestsommed irectedesF i L'utilisationduthéorèmedeCayley-Hamilt onetdu théorèmede décompositiondesnoyauxdanscettequestion estungra ndclas- siquede laréduction. Lep olynômecaractéristiquedeu,supposéscindé,est u q i=1 (X-λ i m i Sii?=j,X-λ
i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti. Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E
i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E) Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi
q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in- égalitésdim(E
i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 17 3.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.
Onappe lleu
i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i i Idestnilp otent.
Notons-len
i ,etnotonsh i l'homothétieλ i Id.Onabien:
u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p iquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
Sii?=j,X-λ
i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti.Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E
i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E)Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi
q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in-égalitésdim(E
i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 173.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.
Onappe lleu
i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i iIdestnilp otent.
Notons-len
i ,etnotonsh i l'homothétieλ iId.Onabien:
u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p iquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] relation d'ordre partiel
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