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(b) Show that all eigenvalues of a nilpotent matrix are 0 (c) Deduce by proving the converse to (b) that a matrix A ? Fn×n is nilpotent if and only if all its eigenvalues are 0 (Hint: Cayley-Hamilton) (d) Deduce that if A ? F n× satis?es Am = 0 for some m ? N then An = 0 (a) Take x to be an eigenvector of A with eigenvalue ?



Mathematics 3: Algebra

Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur’s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A The o?-diagonal entries of Tseem unpredictable and out of control



Linear Spaces of Nilpotent Matrices - CORE

LEMMLIA 2 lf A und B are matrices or;er a field IF with more than tzLo elements and if ecery linear combination of A and B is nilpotent then tr(AB”) = 0 Proof Write B in its Jordan form as in the proof of Lemma 1 Let S(M) be the sum of 3X3 principal minors a matrix M; thus



The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix

The Jordan Canonical Form of a Nilpotent Matrix Math 422 Schur™s Triangularization Theorem tells us that every matrix Ais unitarily similar to an upper triangular matrix T However the only thing certain at this point is that the the diagonal entries of Tare the eigenvalues of A:The o?-diagonal entries of T seem unpredictable and out of



arXiv:math/0105009v1 [mathGM] 1 May 2001

de Jordan de la matrice nilpotente Cette derni`ere est d´etermin´ee entre Alice et Bob par le logarithme discret modulo p Oscar doit trouver une matrice dans un nombre consid´erable de choix possibles 2 Rappels d’alg`ebre lin´eaire Une matrice X est nilpotente s’il existe k tel que Xk = 0 [4]



Is a square matrix nilpotent?

Nilpotent matices Recall that a square matrix is nilpotent is some positive power of it is the zero matrix. Let F be a ?eld. (1) (a) Suppose that A ? Fn×nhas a nonzero eigenvalue ?.

What is tr(AB) of nilpotent matrix?

If A, B, and A + B are nilpotent matrices over a field F, then tr(AB) = 0. Proof. Choose a basis relative to which B is in Jordan form; thus 0 0 B= : 0 -0 81 0 0 0 6, 0 0 0 0 > 6,-l 0 _ SPACES OF NILPOTENT MATRICES 217 where ai = 0 or 1 (i = 1,. , n - 1).

What are the spaces of nilpotent matrices 219?

SPACES OF NILPOTENT MATRICES 219 tr(A”‘) = 0 for all positive integers m (here we use the hypothesis that the underlying field has characteristic zero). Fixing m and viewing as a polynomial p in k indeterminates, we note that if

Does E L generate a linear space of nilpotents?

Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.

Résultatsclassiquessurlesendo morphismesnilpot ents SoitKuncor pscommutatif, EunK-evdedi mensionfinien,u unendo morphismenilpotentdeE.

1.Démontrerqueuesttrigonalisa ble.

Lepo lynômescindéX

p (pestun entiernaturel nonnul)annule u.

2.Déterminerlep olynôme caractéristiquedeu.

Lepo lynômecaractéristiquedeuestscindé (caruesttrigonalisable). Laseulev aleurpro prepossiblepouruest0(seulera cinedeX p ).I ln'y aqu'unpolynômescindéunitairededegrénquiaco mmeseulera cine

0:c'estX

n

Ilyabe au cou pdemanièresdi

ff

érentesd'arriveràceré sultat.Onpeut

parexempleprendreune baseda nslaquellelamatrice deuesttri- angulairesupérieure,iln'y aquedes0surla diagonale, lepolynôme caractéristiquedeusecalculefacilemen t.. .

3.Enutilisa ntlethéorèmedeCayley-Hamilton,démon trerque

l'indicedenilpotence deuestaupluséga làn.

Lepo lynômecaractéristiqueestX

n ;lepolynômeminimalestdonc X p lepo lynômeminimaldiviselepolynômecara ctéristique).Onaa lors u p

Θ(X

p annuleu)etu p-1 ?=Θ(X p-1 n'annulepasu).Donc pest l'indiced enilpotencedeu. 13

4.Retrouverlerésultatdela questionprécéden tesansutiliserle

théorèmedeCay ley-Hamilton, àl'aidedel'exerciceclassique surle s"noyauxité rés ».

Ona( voi rexercicesurlesnoy auxitérés):

Ker(u 0 )?Ker(u 1 )?···?Ker(u p-1 )?Ker(u p )=E

Lasuite finie

dim Keru k estdonc unesuite strictementcrois- santed'entiersnaturels,ce quiimpliquefacilement,p ourtoutkentre

0etp,dim

Keru k

5.Démontrerque,sur C,unematriceestnilpotentesietseule-

mentsi0estsonuniq uevaleurpropre.Es t-ceencorevrais ur R? Siunema triceestnilp otente,saseulev aleurpro preest0,quelquesoitle corps.Réciproquemen t,silaseulevaleurpropreest0, commeonest surC, lep olynômeminimalestscindé,ilestdoncde laformeX p .Donclamatrice estnilpot ente.Enrevanche,surR,lamatrice 000 00-1 010 (construiteàpartir d'unblo c2×2dema tricederotation d'angle π/2)a pourseule valeurpropre0,etpourtantn'estpasnilpotente(maisbiensûr, ellea desva leu rsproprescomplexesnonnulles). 14 Sous-espacescaractéri stiquesetréductiondeDunford

1.Soituunendom orphismenilpotentd'unespacededimensio n

finienonnu llen.Onappellepl'indicedenilpotence deu, c'est-à-direlepluspetiten tiernaturel pourlequelu p

Θ.Dé-

montrerque uesttrigonalisa ble.Quelestlepolynômeminimal peut-ilêtrediagona lisable?

Lepo lynômescindéX

p estannulateur deu,doncuesttrigonalisable.

Sonpolynô meminimalestundiviseurdeX

p ,doncilestdelaforme X k k ?=Θ,donc lep olynômeminimaldeuestnécessairement X p Etdo nclaseulerac inepo ssiblepourlepol ynômecaractéristi quede uest0(c'estlaseule valeur propre possiblepouru).O rcepolynôme caractéristiqueest scindé(car uesttrigonalisable), unitairededegré n,c'estdoncX n Et,parl ethéorème deCayl ey-Hamilton(lepolynômemi nimal divise Siuestdiagonalisable,co mmeil auneseulevaleurpropre (doncun seulsous-espace prop re),c'estunehomothétie,derapportcettevaleur propre,ici0.Doncu=Θ.

2.Soituunendo morphismed'unespaceEdedim ensionfinie

nonnull en.Onsupposequelepolynômecaractéristiquede uestscindé. Onnoteλ 1 q sesracines, demultiplicités respectivesm 1 ,...,m q 15

Onnot e,pourchaqueientre1etq:F

i =Ker i Id-u) m i F i estappelé sous-espacecaractéristiq ueassociéàlavaleur propreλ i (a)DémontrerqueF i eststable paruetcon tientlesous- espacepropreE i associéàlaval eurpr opreλ i F i estle noyau deP i (u),avecP i i -X) m i .Com meP i (u)com- muteavecu(c'estun polynô medeu),so nnoyauF i eststable paru(cours).

Mais,sifestun endomorphisme,sik ,ona ker(f k )?ker(f k ),doncenparticulierici ker i Id-u ?ker i Id-u) m i cequitraduit bienque E i ?F i (b)DémontrerqueEestsommed irectedesF i L'utilisationduthéorèmedeCayley-Hamilt onetdu théorèmede décompositiondesnoyauxdanscettequestion estungra ndclas- siquede laréduction. Lep olynômecaractéristiquedeu,supposéscindé,est u q i=1 (X-λ i m i

Sii?=j,X-λ

i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti.

Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E

i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E)

Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi

q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in-

égalitésdim(E

i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 17

3.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.

Onappe lleu

i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i i

Idestnilp otent.

Notons-len

i ,etnotonsh i l'homothétieλ i

Id.Onabien:

u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p iquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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