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Chapitre I
Matrices nilpotentes, matrices
trigonalisables, Leçon 157I.1 Théorème de Lie-Kolchin
[1, Exercice IV-B6] On noteD(K)le groupe dérivé d"un groupeK, c"est-à-dire le sous-groupe engendré par les commutateurs[g;h] =ghg1h1, avecg;h2K, deK. On noteD2(K)le groupe dérivé deD(K)etDk(K), par récurrence. On rappelle qu"un groupeGestrésolublesiD`= 1pour un entier`que l"on choisira minimal dans la suite.G=G0G1 G`=f1g
telle que pour tout entierkcompris entre0et`1, le sous-groupeGk+1 soit distingué dansGket le quotientGk=Gk+1soit abélien. Théorème I.1.1(Théorème de Lie-Kolchin). SoitGest un sous-groupe résoluble connexe deGLn(C), alorsGest conjugué à un sous-groupe du groupe des matrices triangulaires deGLn(C). On note doncGk,kde0à`, les sous-groupes comme ci-dessus. On supposeraGnon abélien; siGest abélien, on sait déjà qu"une famille de matrices qui commutent deux à deux sont simultanément trigonalisables sur C. 1. Mon trerque Dk(G)est un sous-groupe distingué, connexe, deG, et que le groupe quotientDk1(G)=Dk(G)est abélien, pour toutk. 2. On p oseA=D`1(G). Montrer queAest abélien, non trivial, et en déduire que l"ensembleV:=fv2Cn; Av2Cvg
est non trivial. 12CHAPITRE I. MATRICES NILPOTENTES, MATRICES TRIGONALISABLES, LEÇON 157
3. Soit vnon nul dansV. PouradansA, on posev(a)le complexe tel quea(v) =v(a)v. Montrer que pour toutgdeG,g(v)est encore dansV, et queg(v)(a) =v(g1ag), pour toutadeA.
4. En d éduire,en utilisan tla con nexitéde G, que sivest un vecteur propre dea, pour la valeur propre, alorsg(v)est un vecteur propre deapour la même valeur propre. 5. Soit vnon nul dansV, etWle sous-espace engendré par lesg(v), g2G. Montrer queWest un sous-espaceG-stable, de dimension0 6. En déduire, e nutilisan tune récurrence sur n, qu"il existe une base de trigonalisation commune à tous lesgdeG. Soluce
1. En fai t,tout group edériv éd" ungroup edonné Kest distingué : il est stable par tout automorphisme deK, par construction, donc, en particulier, stable par automorphisme intérieur. CommeGest connexe,GGest également connexe, et la partie génératriceX:=f[g;h]; g;h2GgdeD(G), qui est l"image deGG par le commutateur, est également connexe. Par l"exercice [H2G2-t1, II-F5],D(G)est connexe. Par récurrence, on en déduit queDk(G)est connexe. Comme le groupe dérivé deDk1(G)estDk(G), on obtient par passage au quotient que le groupe dérivé deDk1(G)=Dk(G)estDk(G)=Dk(G) = f1g. Mais cela signifie que tous les commutateurs dansDk1(G)=Dk(G) sont triviaux, c"est-à-dire, queDk1(G)=Dk(G)est abélien. 2. P armi nimalitéde `,Aest non trivial. Comme le groupe dérivé de Aest trivial, on a queD`1(G)est abélien. On sait alors que sur C, les matrices deD`1(G)sont simultanément trigonalisables. Soit (e1;;en)une base qui les trigonalise toutes. On a alors :e12V. 3. On a a g(v)=g(g1ag)(v)=gv(gag1)v=v(gag1)g(v): D"où l"assertion.
4. T outd"ab ord,comme vest non nul,g(v)est également non nul. On a vu queg(v)était vecteur propre pour tout élémentadeA. L"application deGdansCqui envoiegsurv(g1ag)est continue : effectivement, elle est composée deg7!gag1qui est continue, avec l"applicationv, qui est continue sur le stabilisateur de la droiteCv. Donc, l"image deGest un connexe. Commeg(v)(a) =v(g1ag), cette image est dans l"ensemble discret des valeurs propres dea. Conclusion, g(v)(a)n"a qu"une valeur quandgvarie, celle atteinte pourg=e, c"est-à-dire. I.2. CARDINAL DU CÔNE NILPOTENT SUR UN CORPS FINI3 5. Comme le sous-espace West défini par un système de générateursG- stable, il est égalementG-stable. Comme il contientvqui est non nul, West non nul.
Reste à montrer queW6=Cn. Soitaquelconque dansA. Alors, pour toutgdansG g(v)est un vecteur propre poura, pour la même valeur propre. En conséquence,West un sous-espace propre poura. Si, par l"absurde,W=Cn, alorsaest une homothétie pour touta, etAest un sous-groupe constitué d"homothéties. CommeGest non abélien, ` >1et doncAest le groupe dérivé d"un groupe, en l"occurence, le groupe dérivé deDl2(G). Ainsi, le déterminant d"un élément deAest 1, et comme toutes les matrices deAsont scalaires, ces scalaires sont
forcément des racines de l"unité. Or, comme on a l"a vu,Aest connexe. Donc,Aest le groupe trivial. Ce qui est absurde par minimalité de`. 6. On mon trepar récurrence sur nqueGpossède une base de trigona- lisation simultanée. Pourn= 1, c"est clair. Pournquelconque, on a obtenu un sous-espaceWde dimensionk,1kn1. SoitW0un supplémentaire deWdansCn. En choisissant une base adaptée à la décompositionCn=WW0, on voit quegest semblable à une matrice de la forme(g)(g) 00(g) . De plus, vue comme fonction,, resp.0, est un morphisme continu deGdansGL(W), resp.GL(W0). L"image deGpar, resp.0, est un sous-groupe connexe résoluble deGL(W), resp.GL(W0). Par récurrence, on trouve une base deWet une base deW0qui trigonalisent simultanément respectivement les(g)et0(g). En concaténant les deux bases, on obtient une base qui trigonalise tous lesgdeG. Remarque.Si les groupes résolubles généralisent les groupes abéliens, alors le théorème de Lie-Kolchin généralise le fait qu"une famille de matrices qui commutent est simultanément trigonalisable. A la différence près que ce théo- rème demande expressément d"avoir un groupe. Par extension, le théorème de Lie-Kolchin concerne lesreprésentationsde groupes résolubles. Notons que tout ici repose sur le fait qu"un sous-groupe résoluble connexeGdeGLn(C) possède une droite stable, donc un point fixe si l"on passe enprojectif. En ce sens, le théorème de Lie-Kolchin rejoint le théorème du point fixe de Borel qui dit que siGest un groupe résoluble connexe agissant régulièrement sur une variété projective, alors il possède un point fixe. I.2 Cardinal du cône nilpotent sur un corps fini Théorème I.2.1.[2, Théorème IV-4.1] Pour tout corps finiFqde cardinal qet tout entierd, on a : Nd(Fq)=qd(d1):
4CHAPITRE I. MATRICES NILPOTENTES, MATRICES TRIGONALISABLES, LEÇON 157
On fixe un espace vectorielEde dimensiondet l"on identifieNd= N d(Fq)aux endomorphismes nilpotents deE. Commençons par montrer laquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Soluce
1. En fai t,tout group edériv éd" ungroup edonné Kest distingué : il est stable par tout automorphisme deK, par construction, donc, en particulier, stable par automorphisme intérieur. CommeGest connexe,GGest également connexe, et la partie génératriceX:=f[g;h]; g;h2GgdeD(G), qui est l"image deGG par le commutateur, est également connexe. Par l"exercice [H2G2-t1, II-F5],D(G)est connexe. Par récurrence, on en déduit queDk(G)est connexe. Comme le groupe dérivé deDk1(G)estDk(G), on obtient par passage au quotient que le groupe dérivé deDk1(G)=Dk(G)estDk(G)=Dk(G) = f1g. Mais cela signifie que tous les commutateurs dansDk1(G)=Dk(G) sont triviaux, c"est-à-dire, queDk1(G)=Dk(G)est abélien. 2. P armi nimalitéde `,Aest non trivial. Comme le groupe dérivé de Aest trivial, on a queD`1(G)est abélien. On sait alors que sur C, les matrices deD`1(G)sont simultanément trigonalisables. Soit (e1;;en)une base qui les trigonalise toutes. On a alors :e12V. 3. On a a g(v)=g(g1ag)(v)=gv(gag1)v=v(gag1)g(v):D"où l"assertion.
4. T outd"ab ord,comme vest non nul,g(v)est également non nul. On a vu queg(v)était vecteur propre pour tout élémentadeA. L"application deGdansCqui envoiegsurv(g1ag)est continue : effectivement, elle est composée deg7!gag1qui est continue, avec l"applicationv, qui est continue sur le stabilisateur de la droiteCv. Donc, l"image deGest un connexe. Commeg(v)(a) =v(g1ag), cette image est dans l"ensemble discret des valeurs propres dea. Conclusion, g(v)(a)n"a qu"une valeur quandgvarie, celle atteinte pourg=e, c"est-à-dire. I.2. CARDINAL DU CÔNE NILPOTENT SUR UN CORPS FINI3 5. Comme le sous-espace West défini par un système de générateursG- stable, il est égalementG-stable. Comme il contientvqui est non nul,West non nul.
Reste à montrer queW6=Cn. Soitaquelconque dansA. Alors, pour toutgdansG g(v)est un vecteur propre poura, pour la même valeur propre. En conséquence,West un sous-espace propre poura. Si, par l"absurde,W=Cn, alorsaest une homothétie pour touta, etAest un sous-groupe constitué d"homothéties. CommeGest non abélien, ` >1et doncAest le groupe dérivé d"un groupe, en l"occurence, le groupe dérivé deDl2(G). Ainsi, le déterminant d"un élément deAest1, et comme toutes les matrices deAsont scalaires, ces scalaires sont
forcément des racines de l"unité. Or, comme on a l"a vu,Aest connexe. Donc,Aest le groupe trivial. Ce qui est absurde par minimalité de`. 6. On mon trepar récurrence sur nqueGpossède une base de trigona- lisation simultanée. Pourn= 1, c"est clair. Pournquelconque, on a obtenu un sous-espaceWde dimensionk,1kn1. SoitW0un supplémentaire deWdansCn. En choisissant une base adaptée à la décompositionCn=WW0, on voit quegest semblable à une matrice de la forme(g)(g) 00(g) . De plus, vue comme fonction,, resp.0, est un morphisme continu deGdansGL(W), resp.GL(W0). L"image deGpar, resp.0, est un sous-groupe connexe résoluble deGL(W), resp.GL(W0). Par récurrence, on trouve une base deWet une base deW0qui trigonalisent simultanément respectivement les(g)et0(g). En concaténant les deux bases, on obtient une base qui trigonalise tous lesgdeG. Remarque.Si les groupes résolubles généralisent les groupes abéliens, alors le théorème de Lie-Kolchin généralise le fait qu"une famille de matrices qui commutent est simultanément trigonalisable. A la différence près que ce théo- rème demande expressément d"avoir un groupe. Par extension, le théorème de Lie-Kolchin concerne lesreprésentationsde groupes résolubles. Notons que tout ici repose sur le fait qu"un sous-groupe résoluble connexeGdeGLn(C) possède une droite stable, donc un point fixe si l"on passe enprojectif. En ce sens, le théorème de Lie-Kolchin rejoint le théorème du point fixe de Borel qui dit que siGest un groupe résoluble connexe agissant régulièrement sur une variété projective, alors il possède un point fixe. I.2 Cardinal du cône nilpotent sur un corps fini Théorème I.2.1.[2, Théorème IV-4.1] Pour tout corps finiFqde cardinal qet tout entierd, on a :Nd(Fq)=qd(d1):
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