Convergence des suites
Montrer qu'une suite majorée à partir d'un certain rang est majorée. On dit qu'une suite (un) est convergente
Convergence de suites
5 nov. 2010 Soit (un) une suite convergente alors sa limite l est unique. ... petit majorant de la suite
Convergence de suites Suites récurrentes
Etudier une suite c'est savoir si elle est divergente ou convergente
Suites et raisonnements avec des ? - Correction des exercices
Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. Correction : Soit (un) une telle suite et l sa limite.
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Pour que cette notation ait un sens il faut montrer qu'une suite convergente admet une unique limite ! Proposition 1.2.2. Si une suite converge
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Suites 1 Convergence
n'est pas convergente. Exercice 4 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice 5 Soit Hn =1+.
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
Théorème : ?un une série alternée telle que la suite (
Convergence des suites numériques
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. Page 7. 14.
LIMITE DUNE SUITE
Pour montrer qu'une suite (un)n? est monotone Théorème (Convergence et caractère borné) Toute suite convergente est bornée. Démonstration. Soit (un)n?.
1 Suites convergentes - univ-amufr
n une suite de nombres r eels On dit que (u n) n est stationnaire si et seulement si 9N2N; 8n N; u n = u N: Autrement dit (u n) n est constante a partir d’un certain rang Proposition Toute suite stationnaire est convergente Preuve A faire en exercice
Convergence de suites - Université Paris Cité
B Comment montrer qu’une suite r ecurrente est monotone? 1 Directement Consid erons la suite r ecurrente d e nie par la donn ee de u 0 2R et la relation de r ecurrence u n+1 = u n + u2n pour tout entier naturel n On a alors u n+1 u n = u2 n 0 et donc cette suite est croissante! 2 En utilisant la proposition suivante Proposition 1
Feuille d'exercices o14 : Suites numériques
Exercice 3[Suite d'entiers] Montrer qu'une suite d'entier converge si et seulement si elle est stationnaire Que dire de sa limite? Exercice 4[Limites version ?] En utilisant la dé nition de la limite ( avec des ? ) montrer que l'on a les limites suivantes : 1 (ln(n)) tend vers +?; 2 (e?n) tend vers 0; 3 (1 n) tend vers 0; 4 (?
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Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n?N d´e?nie par u n = (?1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang Exercice 5 Soit H n = 1+ 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int´egrale
Comment définir une suite convergente ?
Définition : On dit que la suite ( ) admet pour limite , si est aussi proche de que l’on veut à partir d'un certain rang et on note : lim= . Une telle suite est dite convergente. Exemple : La suite ( ) définie pour tout non nul par =1+ a pour limite 1. On a par exemple : =1+ =1,0001 =1+ =1,000001
Comment montrer qu'une suite converge ?
Utiliser plusieurs manières pour montrer qu'une suite converge. Terminale S . . Montrer quune suite relle est convergente. . Une suite qui ne converge pas est dite divergente. = . . ) tend vers +. ). = f (n). Si lim = . converge aussi vers (Thorme des gendarmes). Une suite croissante et majore est convergente (Thorme de la convergence monotone).
Comment montrer que une suite converge vers un réel ?
Montrer que si 0 ? ` < 1, la suite (un ) converge vers 0 et si ` > 1, la suite (vn ) tend vers +?. Montrer que si ` = 1, tout est possible. Correction H [005232] Exercice 1536 *** ? ) converge vers un réel `, alors ( n un ) converge et a 1. Soit u une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite ( uun+1 n même limite. 2.
Comment montrer qu’une suite d’éléments converge vers a ?
Tracer les graphes des fonctions f , | f |, f+ , f? où : f+ = max ( f , 0), f? = min ( f , 0). Exercice 1414 Si a = sup A, montrer qu’il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a. Réciproque. Exercice 1415 Soit A = Q ? ]0, 1 [ et a, b ? R+ .
Past day
Universite de Provence2001{2012
Mathematiques Generales 1 - Parcours PEI
Suites.1 Suites convergentes
1.1 Denition.Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels et`2R. On dit quela suite(un)nconverge vers`et on
note lim n!+1un=`ou encoreun!n!+1`si et seulement si8" >0;9N2N;8nN;jun`j ":Proposition.La suite(un)nde nombres reels converge vers`2Rsi et seulement si
8" >0;fn2N;jun`j> "gest ni.
Preuve.En eet, si" >0 et si l'ensemblefn2N;jun`j> "gest ni, il existe unN2Ntel que fn2N;jun`j> "g f0;1;:::;Ng. En particulier, pour toutnN+ 1, on ajun`j ". On a donc bien prouve que :8" >0,9N2N,8nN+ 1,jun`j ", et donc que (un)nconverge vers`.Reciproquement, si la suite (un) converge vers`2R, alors pour tout" >0, il existeN2Ntel que, pour tout
nN, on aitjun`j ". Ceci prouve quefn2N;jun`j> "gest inclus dansf0;1;:::;N1g, et donc quel'ensemblefn2N;jun`j> "gest ni.Proposition.La suite(un)nde nombres reels converge vers`2Rsi et seulement si la suite(jun`j)n
converge vers 0.Preuve.En eet, si (vn)n= (jun`j)n, on a
(8" >0;9N2N;8nN;jun`j ")()(8" >0;9N2N;8nN;0vn"):1.2 Suites stationnaires. Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels. On dit que (un)nest stationnairesi et seulement si9N2N;8nN; un=uN:
Autrement dit, (un)nest constante a partir d'un certain rang. Proposition.Toute suite stationnaire est convergente.Preuve.
A faire en exercice.
1.3 Caractere borne et divergence vers1.Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels. On dit que :
{ (un) estmajoreesi et seulement si9M2R;8n2N; unM:
{ (un) estminoreesi et seulement si9m2R;8n2N; unm:
{ (un)nestborneesi et seulement si (un) est majoree et minoree. { (un) diverge vers +1et on note limn!+1un= +1ou encoreun!n!+1+1si et seulement si8A2R;9N2N;8nN; unA:
{ (un) diverge vers1et on note limn!+1un=1ou encoreun!n!+11si et seulement si8A2R;9N2N;8nN; unA:Proposition.Une suite qui converge vers+1n'est pas bornee.
Preuve.En eet, si la suite (un) est bornee, il existeM2Ntel que, pour toutnM, on aitunM. Or, comme (un)ntend vers +1, il existeN2Ntel que, pour toutnN, on aitunM+ 1. On a alors :8nN,M+ 1unM, ce qui est absurde.Remarque.Par contre il existe des suites non bornees qui ne tendent pas vers +1. La suite ((1)nn)npar
exemple, ou alors la suite qui vautnsinest pair et 0 sinest impair.1.4 Unicite de la limite.Theoreme.Soit(un)nune suite de nombres reels. Si(un)nconverge, sa limite est unique.Preuve.En eet, supposons que la suite (un)nait deux limites`et`0avec`6=`0. Soit"un reel strictement
positif tel que" <12 j``0j.Les intervalles ]`";`+"[ et ]`0";`0+"[ de centres`et`0et de m^eme longueur 2"sont disjoints. En eet, si ce
n'est pas le cas et sizest dans ces deux intervalles, on a alorsjz`j "etjz`0j ". L'inegalite triangulaire
nous donne alorsj``0j=j(`z) + (z`0)j j`zj+jz`0j "+"= 2"Denition.Soit (un) une suite de nombres reels. On dit que (un) est bornee si et seulement si elle est minoree
et majoree ou encore si et seulement si9M2R;8n2N;junj M:Theoreme.Soit(un)nune suite de nombres reels. Si(un)nconverge, alors elle est bornee.Preuve.En eet, si`est la limite de la suite (un)n, prenons"= 1>0, il existeN12Ntel que, pour tout
nN1, on aitjun`j 1. On a alors, gr^ace a la seconde inegalite triangulaire :8nN;junj j`j jjunj j`jj jun`j 1;
donc :8nN,junj j`j+ 1.En particulier, siM= max(ju0j;ju1j;:::;juN1j;j`j+1), alors :8n2N,junj M, et donc (un)nest bornee.Remarque.la reciproque est fausse : par exemple, la suite ((1)n)nqui vaut alternativement 1 et1 est bornee
mais ne converge pas.2 Operations sur les suites.Theoreme.Soient(un)net(vn)ndeux suites reelles qui convergent vers`et`0et soit2R. Alors la suite de
terme general(un+vn)nconverge vers`+`0.Preuve. En eet, si"0>0, il existe un rangN1tel que, pour toutnN1,jun`j "0. Il existe un rangN2tel que, pour toutnN2,jvn`0j "0.En particulier, pour toutnmax(N1;N2), on a
j(un+vn)(`+`0)j=j(un`) +(vn`0)j jun`j+jjjvn`0j "0+jj"0= (1 +jj)"0:On a bien prouve que,
8" >0;9N2N;8nN;j(un+vn)(`+`0)j ":
En eet, il sut, pour" >0 donne, de prendre"0tel que (1 +jj)"0"pour avoir la conclusion desiree.Theoreme.Soient(un)net(vn)ndeux suites de reels qui convergent vers`et`0. Alors la suite de terme general
(unvn)nconverge vers``0.Preuve.On va prouver le lemme suivant :Lemme.Soient(un)net(vn)ndeux suites de complexes telles que(un)soit bornee et(vn)ntende vers 0. Alors
(unvn)ntend vers 0. 3 Preuve du lemme.Comme (vn)nest bornee, il existe un reelMtel que8n2N;jvnj M. Soit" >0. La question est : existe-t-il un rang a partir duqueljunvnj "? En utilisant la majoration precedente, on ajunvnj Mjunj, et on a junj "M )Mjunj ") junvnj " Mais comme la suite (un)nconverge vers zero, il existe un rangNa partir duqueljunj "M (e=Mest un reel stricement positif, donc on peut lui appliquer le critere de convergence). Et on a donc nN) junj "M ) junvnj " Pour tout" >0, on peut donc trouver un rangNa partir duqueljunvnj ". Ce qui veut dire que (unvn)n converge vers zero. Revenons a la preuve du theoreme. On ecrit que, pour toutn2N, u nvn``0=un(vn`0) +un`0``0=un(vn`0) + (un`)`0: La suite (un) converge, donc elle est bornee. D'apres le lemme, la suite (un(vn`0))nconverge vers 0. Enn, d'apres le theoreme precedent, la suite ((un`)`0)nconverge vers 0`0= 0.On en deduit que la suite (unvn``0)nconverge vers 0, ce qui prouve le theoreme.Theoreme.Soit(un)nune suite reelles qui converge vers`6= 0. Alors
{ Il existeN2Ntel que, pour toutnN, on ait :junj j`j2 >0. { La suite 1u n nNconverge vers1` .Preuve.En eet, si"=j`j2 >0, il existeN2Ntel que, pour toutnN, on ait :jun`j ".En particulier, pour toutnN, on a
j`j junj jj`j junjj j`unj "=j`j2 doncjunj j`j j`j2 =j`j2 . Le premier point est prouve. En ce qui concerne le second point, on ecrit que, pournN, on aun6= 0. Donc, pournN, on a 1u n1` =`un`u n:La suite (`un) tend vers 0 et la suite (1`u
n)nNest bornee. On en deduit que la suite (1u n1` )nNconvergevers 0.Proposition.Soit(un)nune suite de nombres reels non nuls telle que(junj)nconverge vers+1. Alors
1u n n converge vers 0. Preuve.Soit" >0. Il existe un rangNtel que, pour toutnN, on aitjunj 1" . On a alors :8nN;1u
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