[PDF] Suites 1 Convergence n'est pas convergente. Exercice

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦10Suites

1 Convergence

Exercice 1Soit (un)n?Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : •Si (un)nconverge vers un r´eellalors (u2n)net (u2n+1)nconvergent versl. •Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, il en est de mˆeme de (un)n. •Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, de mˆeme limitel, il en est de mˆeme de (un)n. Exercice 2Montrer que toute suite convergente est born´ee. Exercice 3Montrer que la suite (un)n?Nd´efinie par u n= (-1)n+1n n"est pas convergente. Exercice 4Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est stationnaire `a partir d"un certain rang.

Exercice 5SoitHn= 1 +12

+...+1n

1. En utilisant une int´egrale, montrer que?n >01n+ 1?ln(n+ 1)-ln(n)?1n

2. En d´eduire que ln(n+ 1)?Hn?ln(n) + 1.

3. D´eterminer la limite deHn.

4. Montrer queun=Hn-ln(n) est d´ecroissante et positive.

5. Conclusion?

Exercice 6Soitqun entier au moins ´egal `a 2. Pour toutn?N, on poseun= cos2nπq

1. montrer queun+q=un,?n?N.

2. Calculerunqetunq+1. En d´eduire que la suiteunn"a pas de limite.

Exercice 7 (Examen 2000)On consid`ere la fonctionf:R-→Rd´efinie par f(x) =x39 +2x3 +19 et on d´efinit la suite (xn)n?0en posantx0= 0 etxn+1=f(xn) pourn?N.

1. Montrer que l"´equationx3-3x+ 1 = 0 poss`ede une solution uniqueα?]0,1/2[.

2. Montrer que l"´equationf(x) =xest ´equivalente `a l"´equationx3-3x+1 = 0 et en d´eduire

queαest l"unique solution de l"´equationf(x) =xdans l"intervalle [0,1/2].

3. Montrer quef(R+)?R+et que la fonctionfest croissante surR+.En d´eduire que la

suite (xn) est croissante.

4. Montrer quef(1/2)<1/2 et en d´eduire que 0?xn<1/2 pour toutn?0.

5. Montrer que la suite (xn)n?0converge versα.

1

2 Limites

Exercice 8Posonsu2= 1-12

2et pour tout entiern?3,

u n= (1-12

2)(1-13

2)···(1-1n

2).

Calculerun. En d´eduire que l"on a limun=12

Exercice 9D´eterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous; pour cha- cune, essayer de pr´eciser en quelques mots la m´ethode employ´ee.

1. 1 ;-12

;13 ;...;(-1)n-1n

2. 2/1; 4/3; 6/5;...; 2n/(2n-1);...

3. 0,23 ; 0,233 ;...; 0,233···3 ;...

4. 1n 2+2n

2+···+n-1n

2 5. (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)n 3

6.?1 + 3 + 5 +···+ (2n-1)n+ 1-2n+ 12

7. n+ (-1)nn-(-1)n 8.

2n+1+ 3n+12

n+ 3n 9. ?1/2 + 1/4 + 1/8 +···+ 1/2n?puis⎷2 ; ?2 ⎷2 ; ?2 ?2 ⎷2 ;... 10. 1-13 +19 -127 +···+(-1)n3 n? 11. ?⎷n+ 1-⎷n 12. nsin(n!)n 2+ 1

13. D´emontrer la formule 1+2

2+32+···+n2=16

n(n+1)(2n+1); en d´eduire limn→∞1+22+32+···+n2n 3. Exercice 10 (M´ethode d"H´eron)Soita >0. On d´efinit la suite (un)n?0paru0un r´eel v´erifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n? On se propose de montrer que (un) tend vers⎷a.

1. Montrer que

u n+12-a=(un2-a)24un2.

2. Montrer que sin?1 alorsun?⎷apuis que la suite (un)n?1est d´ecroissante.

3. En d´eduire que la suite (un) converge vers⎷a.

2

4. En utilisant la relationun+12-a= (un+1-⎷a)(un+1+⎷a) donner une majoration de

u n+1-⎷aen fonction deun-⎷a.

5. Siu1-⎷a?ket pourn?1 montrer que

u n-⎷a?2⎷a ?k2 ⎷a 2n-1

6. Application : Calculer

⎷10 avec une pr´ecision de 8 chiffres apr`es la virgule, en prenant u 0= 3.

Exercice 11On consid`ere les deux suites :

u n= 1 +11! +...+1n!;n?N, v n=un+1n!;n?N. Montrer que (un)net (vn)nconvergent vers une mˆeme limite. Et montrer que cette limite est un ´el´ement deR\Q. Exercice 12Soientaetbdeux r´eels,a < b. On consid`ere la fonctionf: [a,b]-→[a,b], suppos´ee continue et monotone, et une suite r´ecurrente (un)nd´efinie par : u

0?[a,b] et?n?N, un+1=f(un).

1. On suppose quefest croissante. Montrer que (un)nest monotone et en d´eduire sa conver-

gence vers une solution de l"´equationf(x) =x.

2. Application :

u

0= 4 et?n?N, un+1=4un+ 5u

n+ 3.

3. On suppose quefest d´ecroissante. Montrer que les suites (u2n)net (u2n+1)nsont mono-

tones et convergentes.

4. Application :

u 0=12 et?n?N, un+1= (1-un)2. Calculer les limites des suites (u2n)net (u2n+1)n. Exercice 131. Soienta,b >0. Montrer que⎷ab?a+b2

2. Montrer les in´egalit´es suivantes (b?a >0) :

a?a+b2 ?beta?⎷ab?b.

3. Soientu0etv0des r´eels strictement positifs avecu0< v0. On d´efinit deux suites (un) et

(vn) de la fa¸con suivante : u n+1=⎷u nvnetvn+1=un+vn2 (a) Montrer queun?vnquel que soitn?N. (b) Montrer que (vn) est une suite d´ecroissante. 3 (c) Montrer que (un) est croissante En d´eduire que les suites (un) et (vn) sont conver- gentes et quelles ont mˆeme limite.

Exercice 14Soitn?1.

1. Montrer que l"´equation

n? k=1xk= 1 admet une unique solutionandans [0,1].

2. Montrer que (an)n?Nest d´ecroissante minor´ee par12

3. Montrer que (an) converge vers12

4

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦10Suites

Indication 1Dans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre- exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.

Indication 2

´Ecrire la d´efinition de la convergence d"une suite (un) avec "lesε". Comme on a une proposition qui est vraie pour toutε >0, c"est en particulier vrai pourε= 1. Cela nous donne un "N". Ensuite s´eparez la suite en deux : regardez lesn < N(il n"y a qu"un nombre fini de termes) et lesn?N(pour lequel on utilise notreε= 1). Indication 3On prendra garde `a ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au pr´ealable qu"elle converge!

Vous pouvez utiliser le r´esultat du cours suivant : Soit (un) une suite convergeant vers la limite

?alors toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite?.

Indication 4

´Ecrire la convergence de la suite et fixerε=12 Indication 51. En se rappellant que l"int´egrale calcule une aire montrer :

1n+ 1??

n+1 ndtt ?1n

2. Pour chacune des majoration il s"agit de faire la somme de l"in´egalit´e pr´ec´edente et de

s"apercevoir que d"un cot´e on calculeHnet de l"autre les termes s"´eliminent presque tous deux `a deux.

3. La limite est +∞.

4. Calculerun+1-un.

5. C"est le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

Indication 6Pour la deuxi`eme question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Indication 7Pour la premi`ere question : attention on ne demande pas de calculerα! L"exis-

tence vient du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. L"unicit´e vient du fait que la fonction est

strictement croissante. Pour la derni`ere question : il faut d"une part montrer que (xn) converge et on note?sa limite et d"autre part il faut montrer que?=α.

Indication 8Remarquer que 1-1k

2=(k-1)(k+1)k.k

. Puis simplifier l"´ecriture deun. Indication 101. C"est un calcul de r´eduction au mˆeme d´enominateur.

2. Pour montrer la d´ecroisance, montrer

un+1u n?1.

3. Montrer d"abord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est⎷a.

1

4. Penser `a ´ecrireu2n+1-a= (un+1-⎷a)(un+1+⎷a).

5. Raisonner par r´ecurrence.

6. Pouru0= 3 on au1= 3,166..., donc 3?⎷10?u1et on peut prendrek= 0.17 par

exemple etn= 4 suffit pour la pr´ecision demand´ee. Indication 111. Montrer que (un) est croissante et (vn) d´ecroissante.

2. Montrer que (un) est major´ee et (vn) minor´ee. Montrer que ces suites ont la mˆeme limite.

3. Raisonner par l"absurde : si la limite?=pq

alors multiplier l"in´egalit´euq?pq ?vqparq! et raisonner avec des entiers. Indication 12Pour la premi`ere question et la monotonie il faut raisonner par r´ecurrence. Pour la troisi`eme question, remarquer que sifest d´ecroissante alorsf◦fest croissante et appliquer la premi`ere question. Indication 14On noterafn: [0,1]-→Rla fonction d´efinie parfn(x) =?n k=1xk-1.

1. C"est une ´etude de la fonctionfn.

2. On sait quefn(an) = 0. Montrer par un calcul quefn(an-1)>0, en d´eduire la d´ecroissance

de (an). En calculantfn(12 ) montrer que la suite (an) est minor´ee par12

3. Une fois ´etablie la convergence de (an) vers une limite?compos´ee l"in´egalit´e12

?? < an parfn. Conclure. 2

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦10Suites

Correction 11. Vraie. Toute sous-suite d"une suite convergente est convergente et admet la mˆeme limite.

2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)nd´efinie parun= (-1)n. Alors (u2n)nest la

suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)nest constante de valeur-1.

Cependant la suite (un)nn"est pas convergente.

3. Vraie. La convergence de la suite (un)nvers?, que nous souhaitons d´emontrer, s"´ecrit :

?ε >0?N?Ntel que (n?N? |un-?|< ε. Fixonsε >0. Comme, par hypoth`ese, la suite (u2p)pconverge vers?alors il existeN1tel

2p?N1? |u2p-?|< ε.

Et de mˆeme, pour la suite (u2p+1)pil existeN2tel que

2p+ 1?N1? |u2p+1-?|< ε.

SoitN= max(N1,N2), alors

n?N? |un-?|< ε.

Ce qui prouve la convergence de (un)nvers?.

Correction 2Soit (un) une suite convergeant vers??R. Par d´efinition ?ε >0?N?N?n?N|un-?|< ε. Choisissonsε= 1, nous obtenons leNcorrespondant. Alors pourn?N, nous avons|un-?|<1, soit?-1< un< ?+ 1. NotonsM= maxn=1,...,N{un}et puisM?= max(M,?+ 1). Alors pour toutn?Nun?M?. De mˆeme en posantm= minn=1,...,N{un}etm?= min(m,?-1) nous obtenons pour toutn?N,un?m?. Correction 3Beaucoup d"entre vous ont compris queunn"avait pas de limite, mais peu sont

arriv´e `a en donner une d´emonstration formelle. En effet, d`es lors qu"on ne sait pas qu"une suite

(un) converge, on ne peut pas ´ecrire limun, c"est un nombre qui n"est pas d´efini. Par exemple

l"´egalit´e limn→∞(-1)n+ 1/n= limn→∞(-1)n n"a pas de sens. Par contre voil`a ce qu"on peut dire :Comme la suite1/ntend vers 0 quand

n→ ∞, la suiteunest convergente si et seulement si la suite(-1)nl"est. De plus, dans le cas

o`u elles sont toutes les deux convergentes, elles ont mˆeme limite.Cette affirmation provient tout simplement du th´eor`eme suivant Th´eor`eme: Soientunetvndeux suites convergeant vers deux limitesletl?. Alors la suite w n=un+vnest convergente (on peut donc parler de sa limite) et limwn=l+l?. 1

De plus, il n"est pas vrai que toute suite convergente doitforc´ement ˆetre croissante et major´ee

ou d´ecroissante et minor´ee. Par exemple, (-1)n/nest une suite qui converge vers 0 mais qui

n"est ni croissante, ni d´ecroissante. A ce propos d"ailleurs, on ne dit pas d"une suite qu"elle est

croissante pournpair et d´ecroissante pournimpairmˆeme si je comprends ce que cela signifie. On dit qu"une telle suite n"est ni croissante ni d´ecroissante (et c"est tout). Voici maintenant un exemple de r´edaction de l"exercice. On veut montrer que la suiteunn"est

pas convergente. Supposons donc par l"absurde qu"elle soit convergente et notonsl= limn→∞un.

(Cette expression a un sens puisqu"on suppose queunconverge). Rappel 1.Unesous-suitedeun(on dit aussisuite extraitedeun) est une suitevnde la formevn=uφ(n)o`uφest une application strictement croissante deNdansN. Cette fonction φcorrespond "au choix des indices qu"on veut garder" dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suiteunque les termes pour lesquelsnest un multiple de trois, on pourra poserφ(n) = 3n, c"est `a direvn=u3n. Consid´erons maintenant les sous-suitesvn=u2netwn=u2n+1de (un). On a quevn=

1 + 1/2n→1 et quewn=-1 + 1/(2n+ 1)→ -1. Or on a le th´eor`eme suivant sur les

sous-suites d"une suite convergente : Th´eor`eme: Soitunune suite convergeant vers la limitel(le th´eor`eme est encore vrai si l= +∞oul=-∞). Alors, toute sous suitevndeuna pour limitel. Par cons´equent, ici, on a que limvn=let limwn=ldoncl= 1 etl=-1 ce qui est une contradiction. L"hypoth`ese disant que (un) ´etait convergente est donc fausse. Doncunne converge pas.

Montrons queunest born´ee. On a que

-1?(-1)n?1

0?1/n?1

donc -1?un?2 doncunest born´ee.

Rappel 2.Le th´eor`eme de Bolzano-We¨ıerstrass dit ceci : Soit (un) une suite de r´eels born´ee.

Alors, il existe une sous-suite de (un) qui est convergente. (C"est un th´eor`eme tr`es puissant).

Ici, on nous demande d"exhiber une sous-suite deunqui soit convergente. Mais on a d´ej`a vu quevn=u2n→1.vn=u2nest donc une suite extraite convergente. Remarque: Il y a d"autres sous-suites convergentes : (u4n) (u2n), (un!) et (u3n) sont des sous-suites convergentes deun. Correction 4Soit (un)nune suite d"entiers qui converge vers??R.

Dans l"intervalleI=]?-12

,?+12 [ de longueur 1, il existe au plus un ´el´ement deN. DoncI∩N est soit vide soit un singleton{a}.

La convergence de (un)ns"´ecrit :

?ε >0?N?Ntel que (n?N? |un-?|< ε).

Fixonsε=12

, nous obtenons leNcorrespondant. Et pourn?N,un?I. Mais de plusunest un entier, donc n?N?un?I∩N. 2 En cons´equent,I∩Nn"est pas vide (par exempleuNen est un ´el´ement) doncI∩N={a}. L"implication pr´ec´edente s"´ecrit maintenant : n?N?un=a. Donc la suite (un)nest stationnaire (au moins) `a partir deN. En prime, elle est bien ´evidemment convergente vers?=a?N.

Correction 51. La fonctiont?→1t

est d´ecroissante sur [n,n+ 1] donc

1n+ 1??

n+1 ndtt ?1n (C"est un encadrement de l"aire de l"ensemble des points (x,y) du plan tels quex? [n,n+ 1] et 0?y?1/xpar l"aire de deux rectangles.) Nous obtenons l"in´egalit´e :

1n+ 1?ln(n+ 1)-ln(n)?1n

2.Hn=1n

+1n-1+···+12 + 1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l"in´egalit´e 1k ?ln(k)-ln(k-1) obtenue pr´ec´edemment : nous obtenonsHn?ln(n)- ln(n-1) + ln(n-1)-ln(n-2) +···+ ln2-ln1 + 1. Cette somme est t´elescopique (la plupart des termes s"´eliminent et en plus ln1 = 0) et donneHn?lnn+ 1.

L"autre in´egalit´e s"obtient de la fa¸con similaire en utilisant l"in´egalit´e ln(k+1)-ln(k)?1k

3. CommeHn?ln(n+ 1) et que ln(n+ 1)→+∞quandn→+∞alorsHn→+∞quand

n→+∞.

4.un+1-un=Hn+1-Hn-ln(n+1)+ln(n) =1n+1-(lnn+1-lnn)?0 d"apr`es la premi`ere

question. Doncun+1-un=f(1n+1)?0. Doncun+1?unet la suite (un) est d´ecroissante.

Enfin commeHn?ln(n+ 1) alorsHn?lnnet doncun?0.

5. La suite (un) est d´ecroissante et minor´ee (par 0) donc elle converge vers un r´eelγ. Ce r´eel

γest la constante d"Euler (Leonhard Euler, 1707-1783, math´ematicien d"origine suisse). Cette constante vaut environ 0,5772156649...mais on ne sait pas siγest rationnel ou irrationnel.

Correction 61.un+q= cos2(n+q)πq

= cos2(n)πq + 2π= cos2(n+q)πq =un.

2.unq= cos2(nq)πq

= cos2nπ= 1 =u0etunq+1= cos2(nq+1)πq = cos2πq =u1. Supposons, par l"absurde que (un) converge vers?. Alors la sous-suite (unq)nconverge vers?comme u nq=u0= 1 pout toutnalors?= 1. D"autre part la sous-suite (unq+1)nconverge aussi vers?, maisunq+1=u1= cos2πq , donc?= cos2πq . Nous obtenons une contradiction car pourq?2, nous avons cos2πq ?= 1. Donc la suite (un) ne converge pas. Correction 71. La fonction polynomialeP(x) :=x3-3x+ 1 est continue et d´erivable surRet sa d´eriv´ee estP?(x) = 3x2-3,qui est strictement n´egative sur ]-1,+1[.Par cons´equentPest strictement d´ecroissante sur ]-1,+1[.CommeP(0) = 1>0 etP(1/

2) =-3/8<0 il en r´esulte grˆace au th´eor`eme des valeurs interm´ediaires qu"il existe un

r´eel uniqueα?]0,1/2[ tel queP(α) = 0.

2. Commef(x)-x= (x3-3x+1)/9 il en r´esulte queαest l"unique solution de l"´equation

f(x) =xdans ]0,1/2[. 3

3. Commef?(x) = (x2+ 2)/3>0 pour toutx?R,on en d´eduit quefest strictement

croissante surR.Commef(0) = 1/9 et limx→+∞f(x) = +∞,on en d´eduit quef(R+) = [1/9,+∞[.Commex1=f(x0) = 1/9>0 =x0,et quefest strictement croissante sur R +,on en d´eduit par r´ecurrence quexn+1> xnpour toutn?Nce qui prouve que la suite (xn) est croissante.

4. Un calcul simple montre quef(1/2)<1/2.Comme 0 =x0<1/2 et quefest croissante

on en d´eduit par r´ecurrence quexn<1/2 pour toutn?N.

5. D"apr`es les questions pr´ec´edentes, la suite (xn) est croissante et major´ee elle converge

donc vers un nombre r´eell?]0,1/2].De plus commexn+1=f(xn) pour toutn?N, on en d´eduit par continuit´e defque?=f(?).Commef(1/2)<1/2,On en d´eduit que ??]0,1/2[ et v´erifie l"´equationf(?) =?.D"apr`es la question 2, on en d´eduit que?=αet donc (xn) converge versα.

Correction 8Remarquons d"abord que 1-1k

2=1-k2k

2=(k-1)(k+1)k.k

. En ´ecrivant les fractions deunsous la cette forme, l"´ecriture va se simplifier radicalement : u n=(2-1)(2 + 1)2.2(3-1)(3 + 1)3.3···(k-1)(k+ 1)k.k (k)(k+ 2)(k+ 1).(k+ 1)···(n-1)(n+ 1)n.n Tous les termes des num´erateurs se retrouvent au d´enominateur (et vice-versa), sauf aux extr´emit´es. D"o`u : u n=12 n+ 1n

Donc (un) tends vers12

lorsquentend vers +∞.

Correction 91. 0.

2. 1.

3. 7/30.

4. 1/2.

5. 1.

6.-3/2.

7. 1. 8. 3.

9. 1; 2.

10. 3/4.

11. 0.

12. 0.

13. 1/3.

Correction 101.

u

2n+1-a=14

u2n+au n? 2 -a

14u2n(u4n-2au2n+a2)

14 (u2n-a)2u 2n 4

2. Il est clair que pourn?0 on aun?0. D"apr`es l"´egalit´e pr´ec´edente pourn?0,u2n+1-a

et commeun+1est positif alorsun+1?⎷a.

Soitn?1. Calculons le quotient deun+1parun:un+1u

n=12 1 + au 2n? or au

2n?1 car

u n?⎷a. Doncun+1u n?1 et doncun+1?un. La suite (un)n?1est donc d´ecroissante.

3. La suite (un)n?1est d´ecroissante et minor´ee par⎷adonc elle converge vers une limite

? >0. D"apr`es la relation u n+1=12 u n+au n? quandn→+∞alorsun→?etun+1→?.`A la limite nous obtenons la relation ?=12 ?+a? La seule solution positive est?=⎷a. Conclusion (un) converge vers⎷a.

4. La relation

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