[PDF] Suites numériques - Chapitre 3

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SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE3

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistique

Université de Montréal

17 janvier 2012

M. Delfour (Université de Montréal)

Chapitre 3. Suites numériques

17 janvier 2012 1 / 90

PLAN1

INTRODUCTION:LES PARADOXES

2

SUITE,CONVERGENCE,LIMITE ET POINT D'ACCUMULATION

3

SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

4

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

5

SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES

6

SUITES DECAUCHY

7

LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

8

D'AUTRES EXEMPLES

9

UN DERNIER THÉORÈME

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Chapitre 3. Suites numériques

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SUITES NUMÉRIQUES

INTRODUCTION-PARADOXES

surface=1/2 surface=1/2 surface=1

FIGURE:

La grille

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SUITES NUMÉRIQUES

INTRODUCTION-PARADOXES

surface=1/2 surface=1/2 surface=1

FIGURE:

La grille

périmètre=4 périmètre=4 périmètre=2+⎷ 2

FIGURE:

L'escalier

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PLAN1

INTRODUCTION:LES PARADOXES

2

SUITE,CONVERGENCE,LIMITE ET POINT D'ACCUMULATION

3

SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

4

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

5

SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES

6

SUITES DECAUCHY

7

LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

8

D'AUTRES EXEMPLES

9

UN DERNIER THÉORÈME

M. Delfour (Université de Montréal)

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITEDÉFINITIONUne

suite de nombres réels est une fonction x:N→R

On a donc une

liste ordonnée d'éléments deR x(1),x(2),x(3), ...,x(n), ... que l'on écrira simplement x

1,x2,x3, ...,xn, ...

et que l'on désignera par {xn}

DÉFINITION(i)

Étant donné une

suite{xn} et un point x?R , on dit que {xn}converge vers xsi ?ε >0,?N?N| {z }tel que?n>N,| xn x|< ε.| {z (ii)

Une suite

{xn} est dite convergente s'il existe un point x?Rtel que {xn} converge vers x. Sinon, la suite est dite divergente

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITEDÉFINITION(i)

Étant donné une

suite{xn} et un point x?R , on dit que {xn}converge vers xsi ?ε >0,?N?N| {z }tel que?n>N,| xn x|< ε.| {z (ii)

Une suite

{xn} est dite convergente s'il existe un point x?Rtel que {xn} converge vers x. Sinon, la suite est dite divergente

Une suite{xn}

converge si ?x ?R,?ε >0,?N?N| {z },?n>N,|xn- x|< ε.| {z

Une suite{xn}

diverge si ?x ?R,?ε >0,?N?N| {z },?n>Ntel que|xn- x| ≥ε.| {z

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITE:UNICITÉ DE LA LIMITETHÉORÈMESi{xn}est une suite convergente , alors il existe un seul point x?Rtel que{xn} converge vers x.

On appeleraxla

limite de la suite {xn}et l'on écrira lim n→∞xndéf= x. DÉMONSTRATION.Supposons qu'il existe deux pointsxety, alors pour toutε >0, ?N1?Ntel que?n>N1,|xn-x|< ε ?N2?Ntel que?n>N2,|xn-y|< ε

On prendN=max{N1,N2}. Alors pour tousn>N

En faisant tendreεvers 0, il vienty=x.

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITE:EXEMPLES DE SUITESEXEMPLESoit la suite {xn}={(-1)n/n} . On devine quex=0 est un bon candidat pour la limite.

On veut estimer la quantité

|xn-x|=˛˛˛˛(-1)n n-0˛˛˛˛ =1 n. Par la propriété de corps archimédien, pour toutε >0, il existe

N(ε)?N

tel que

N(ε)ε >1

. On a donc bien pour toutn>N(ε) |xn-x|=˛˛˛˛(-1)n n-0˛˛˛˛ =1 n<1

N(ε)< ε.

? ?ε >0,?N(ε)tel que?n>N(ε),|xn-x|< ε.

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITE:EXEMPLES DE SUITESEXEMPLESoit la suite {xn}={(3n+17)/n} . On devine quex=3 est un bon candidat pour la limite. On veut estimer la quantité |xn-x|=˛˛˛˛3n+17 n-3˛˛˛˛ =17 n. Par la propriété de corps archimédien, pour toutε >0, il existe

N(ε)?N

tel que

N(ε)ε >17

. On a donc bien pour toutn>N(ε) |xn-x|=˛˛˛˛3n+17 n-3˛˛˛˛ =17 n<17

N(ε)< ε.

? ?ε >0,?N(ε)tel que?n>N(ε),|xn-x|< ε.

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SUITES NUMÉRIQUES

LIMITE D'UNE SUITE:EXEMPLE DE SUITE DIVERGENTEUne suite{xn} converge si ?x ?R,?ε >0,?N?N| {z },?n>N,|xn- x|< ε.| {z

EXEMPLESoit la suite

{xn}={(-1)n} . Si elle convergeait, il existerait un point x?R tel que (en prenantε=1) ?Ntel que?n>N,|(-1)n- x|<1.

Pournpair on a(-1)n=1 et

|1- x|<1? -1<1- x<1? 0M. Delfour (Université de Montréal)

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SUITES NUMÉRIQUES

POINT D'ACCUMULATION ET SUITELa notion de suite peut aussi servir à caractériser un point d'accumulation d'une partieEdeR.

THÉORÈME

x0 ?E??? ?{ xn}, xn ?E, xn x0 {z },tel quelimn→∞ xn x0.

DÉMONSTRATION.(?) Six0?E?,

?δ >0,V?(x0,δ)∩E?=∅. Donc, en prenantδn=1/n, pour toutn?Nil existexn?E,xn?=x0, tel que |xn-x0|<1/n. On a donc construit la suite{xn}. Pour montrer qu'elle converge, on prendε >0. Par la propriété de corps archimédien, il existeN?Ntel queNε >1, d'où ?n>N,|xn-x0|<1 n<1

N< ε.

La suite est donc convergente versx0. ...suite ...

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SUITES NUMÉRIQUES

POINT D'ACCUMULATION ET SUITETHÉORÈME

x0 ?E??? ?{ xn}, xn ?E, xn x0 {z },tel quelimn→∞ xn x0.

DÉMONSTRATION.(?) On veut montrer que

?δ >0,V?(x0,δ)∩E?=∅. Comme la suite est convergente, pour chaqueδ >0, il existeN?Ntel que pour tout n>N,|xn-x0|< δ. Commexn?=x0,V?(x0,δ)∩E?=∅etx0est donc bien un point d'accumulation deE.

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PLAN1

INTRODUCTION:LES PARADOXES

2

SUITE,CONVERGENCE,LIMITE ET POINT D'ACCUMULATION

3

SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

4

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

5

SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES

6

SUITES DECAUCHY

7

LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

8

D'AUTRES EXEMPLES

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UN DERNIER THÉORÈME

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SUITES NUMÉRIQUES

SUITES BORNÉESDÉFINITION(i)

Une suite{xn}est

bornée supérieurement si il existeM?Rtel que (ii)

Une suite{xn}est

bornée inférieurement si il existem?Rtel que (iii)

Une suite{xn}est

bornée si elle est bornée inférieurement et bornée supérieurement EXEMPLELes suites{1/n},{sinn},{(3n+17)/n}sont bornées, mais les suites{n}et{n2}ne sont pas bornées supérieurement.THÉORÈME{xn}convergente=? {xn}bornée.

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SUITES NUMÉRIQUES

SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDETHÉORÈME{xn}convergente=? {xn}bornée.DÉMONSTRATION.Si{xn}est convergente, il existex?Rtel que pourε=1, il existeN?Ntel que

?n>N,|xn-x|<1? |xn|<1+|x| et donc{xn}est bornée.REMARQUELa réciproque n'est pas vraie car la suite{(-1)n}est bornée et divergente.

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PLAN1

INTRODUCTION:LES PARADOXES

2

SUITE,CONVERGENCE,LIMITE ET POINT D'ACCUMULATION

3

SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

4

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

5

SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES

6

SUITES DECAUCHY

7

LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

8

D'AUTRES EXEMPLES

9

UN DERNIER THÉORÈME

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SUITES NUMÉRIQUES

OPÉRATIONS SUR LES LIMITESCONVENTIONOn adopte la convention suivante : la notationx=limn→∞xn signifiera que la suite{xn}est convergente et qu'elle a pour limitex

THÉORÈMESoient deux suites

x=limn→∞xny=limn→∞yn Alors les opérations suivantes préservent la convergence : (i) limn→∞(xn±yn) =x±y (ii) ?k?R,limn→∞(k xn) =k x (iii) limn→∞(xnyn) =x y (iv)

Si y?=0,limn→∞(xn/yn) =x/y

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SUITES NUMÉRIQUES

OPÉRATIONS SUR LES LIMITESEXEMPLE

3n+2n-1=3+2

n 1-1 n?limn→∞3+2 n 1-1 n=3 1=3

DÉMONSTRATION.(i) On part de l'estimé

Pourε >0, on choisit

N

1?Ntel que?n>N1,|xn-x|<ε

2 N

2?Ntel que?n>N2,|yn-y|<ε2

On prendN=max{N1,N2}et

2+ε

2=ε.

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SUITES NUMÉRIQUES

OPÉRATIONS SUR LES LIMITESTHÉORÈMESoient deux suites x=limn→∞xny=limn→∞yn Alors les opérations suivantes préservent la convergence :(ii) ?k?R,limn→∞(k xn) =k x

DÉMONSTRATION.(ii) On part de l'estimé

Pourε >0, on choisit

N?Ntel que?n>N,|xn-x|<ε

|k|+1 |k|+1=ε.

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SUITES NUMÉRIQUES

OPÉRATIONS SUR LES LIMITESTHÉORÈMESoient deux suites x=limn→∞xnet y=limn→∞yn(iii)

limn→∞(xnyn) =x y

DÉMONSTRATION.(iii) On part de l'estimé

pour toutn?N, alors

Pourε >0, on choisit

N

1?Ntel que?n>N1,|xn-x|<ε

2(M+|y|)

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