[PDF] Leçon 241 : Suites et séries de fonctions - exemples contre-exemples.

View - Download Leçon 241 : Suites et séries de fonctions - exemples contre-exemples.

Previous PDF

Next PDF

Leçon 241 : Suites et séries de fonctions - exemples, contre-exemples.

MélinandBenjamin,PierreOlivier

Dans tout ce qui suit, on considérera pour simplifier des fonctions à valeurs dansK=RouC.

1 Modes de convergence, propriétés

1.1 Suites de fonctions

Définition 1.Soientfn,f:X→K.

On dit que la suite(fn)n≥0converge simplement versfsi pour toutx?X, la suite(fn(x))n≥0 converge. La suite(fn)n≥0converge uniformément versfsi : Remarque 1.La convergence uniforme implique la convergence simple. La réciproque est fausse : considérer la suite de fonctionsfn(x) =xx+npour toutn?N, etx?R+. Proposition 1.La convergence uniforme d"une suite(fn)est équivalente au critère de Cauchy uniforme : ?ε >0,?N?N,?m,n≥N,?x?X,|fn(x)-fm(x)|< ε.

1.2 Continuité, dérivabilité

Ici,Xsera un espace métrique.

Théorème 1.Soitfn:X→Kune suite de fonctions continues ena?X, et qui converge uniformément versf. Alorsfest continue ena, et de plus : lim x→alimn→+∞fn(x) = limn→+∞limx→afn(x). Remarque 2.Il suffit que(fn)converge uniformément au voisinage dea. Contre-exemple :Soitfn(x) =xnpourx?[0,1]etn?N. Alorslimn→+∞fn(x) = 0pour Théorème 2. (Dini)SoientXun compact deR,(fnune suite de fonctions continues convergent

Alors(fn)converge uniformément versfsurX.

Exemple :fn(x) =?1 +xn

n-----→n→+∞exsur[0,1]. Théorème 3.SoitIun intervalle deR, etfn:I→K. On suppose que lesfnsont dérivables surI, avec(f?n)convergent uniformément vers une fonctiong, et qu"il existea?Itel que(fn(a)) converge. Alors la suite(fn)converge uniformément vers une fonction dérivablef, avec de plusf?=g.

Contre-exemple :fn(x) =sin(n2x)n

2. 1

1.3 Séries de fonctions

Définition 2.On dit que?fnconverge simplement versfsurXsi la suite des sommes partielles(? Définition 3.On dit que?fnconverge uniformément versfsurXsi?fnconverge simple- ment, et si la suite des restes(? k≥nfk)converge uniformément vers 0. Définition 4.On dit que?fnconverge normalement versfsurXsi la série??fn?∞converge. Remarque 3.La convergence normale implique la convergence uniforme. La réciproque est fausse : considérer? n≥1(-1)nn xnsur[0,1]. Remarque 4.Il est important de noter qu"en considérant la suite des sommes partielles, on obtient les mêmes théorèmes de continuité et de dérivabilité sous la signe somme.

Contre-exemples :

- La série? n≥1sin(nx)n converge uniformément sur tout compact de]0,2π[, mais n"est pas continue en 0. -x?→? n≥0d(4nx,Z)4 ndéfinit une fonction continue surRmais nulle part dérivable.

2 Intégrabilité de suites et de séries de fonctions

Dans cette section,(X,A,μ)est un espace mesuré.

2.1 Convergences dans un espace mesuré

Définition 5.On dit que(fn)convergeμ-presque partout versfsurX, s"il existeN?X négligeable (i.e.inclus dans un ensemble de mesure nulle), tel que(fn)converge simplement vers fsurX\N. et silimn→+∞?fn-f?Lp= 0. Remarque 5.La convergenceLpn"implique pas la convergenceμ-presque partout. Considérer la suite de fonctions(fn)n≥1définies par : f n(x) =1[k2

N,k+12

2.2 Théorèmes principaux

Théorème 4. (Beppo Levi)

Soit(fn)une suite croissante de fonctions deL1(μ), telle quesup n≥0? X f ndμ <∞. Alors(fn) convergeμ-presque partout vers une fonctionf?L1(μ), et de pluslimn→+∞?f-fn?L1= 0.

Théorème 5. (Fatou)

Soit(fn)une suite de fonctions positives deL1(μ), telle quesup n≥0? X f ndμ <∞. Alors : X X f n. Contre-exemple :On peut avoir inégalité stricte : considérerfn=n1[0,1n Remarque 6.La convergenceμ-presque partout n"implique pas la convergenceLp(pourp <

Théorème 6. (Convergence dominée)

Soit(fn)nune suite de fonctions deL1(μ), convergentμ-presque partout versf. S"il existe lim n→+∞?f-fn?L1= 0. 2 Exemple :On peut montrer les égalités suivantes : 0 e-xln(x)dx= limn→+∞? n 0? 1-xn nln(x)dx=-γ. Bien que la convergenceLpn"implique pas la convergenceμ-presque partout (p <∞), on peut cependant s"y ramener, comme le montre le théorème ci-après. fen normeLp. Alors il existe une sous-suite(fnk)kconvergentμ-presque partout versf. De même, sous certaines hypothèses, la convergenceμ-presque partout peut entraîner la convergenceLp.

Théorème 8. (Brezis-Lieb)

sup n?fn?p<+∞). Si(fn)nconvergeμ-presque partout versf, alorsf?Lp(μ), et on a : lim n→+∞?fn?pp- ?fn-f?pp=?f?pp.

Nous en déduisons le corollaire suivant.

Corollaire 1.Soit(fn)nune suite deLp(μ)qui convergeμ-presque partout versf, avec ?fn?p-----→n→+∞?f?pp. Alors(fn)nconverge versfen normeLp. Nous disposons donc d"une condition nécessaire et suffisante pour que la convergenceμ- presque partout entraîne la convergenceLp.

2.3 Interversion somme et intégrale

Théorème 9. (Fubini)

Soit(fn)nune suite de fonctions deL1(μ), telle que la série??fn?1converge. Sifdésigne la somme de la série?fn, on a alorsf?L1(μ)et? n≥0? X f n=? X? n≥0f n. Théorème 10.On considère icifn: [a,b]→K, continue sur[a,b](pour toutn?N). Si(fn)n converge uniformément versfsur[a,b], alors : b a f(x)dx= limn→+∞? b a f n(x)dx.

Contre-exemple :Ce résultat est faux si l"intervalle considéré n"est plus compact. Considérer

une suite de fonctions "triangles" s"aplatissant de plus en plus surRet donc l"aire est constante

égale à 1 :

f n(x) =? ?xn 2+1n six?[-n,0], xn 2+1n six?[0,n],

0sinon.

3 Séries entières, fonctions holomorphes.

3.1 Séries entières

Dans ce paragraphe,(an)n≥0désignera une suite de nombres complexes, etΩun ouvert de C.

Théorème 11. (Lemme d"Abel)

S"il existez0?Ctel que la suite(anzn0)nsoit bornée, alors la série? n≥0anznconverge normalement sur tout disque ferméD(0,r), où0< r <|z0|.

Définition 7.Une fonctionf: Ω→Cest dite développable en série entière (DSE) au voisinage

V ad"un pointadeΩs"il existe une suite de nombres complexes(an)telle que : ?z?Va,f(z) =? n≥0a n(z-a)n. 3

Exemple :exp(z) :=?

n≥0znn!définit une fonction entière surC. Proposition 2.Sifest DSE ena, alorsfest de classeC∞surVaetan=f(n)(a)n!.

Contre-exemple :f(x) = e-1x

1R?+(x)estC∞surRmais non DSE en0.

Théorème 12. (Théorème taubérien de Hardy-Littlewood : premier développement) Soit(an)n≥0une suite de réels telle quean=O?1n ?en+∞. Si la fonctionF(x) :=? n≥0anxn est bien définie pourx?[0,1[, et vérifielimx→1-F(x) =s, alors la série? n≥0anconverge et vauts.

3.2 Fonctions holomorphes

Définition 8.Une fonctionf: Ω→Cest dite holomorphe si elle estC-dérivable.

Proposition 3. (Formule de Cauchy)

Soienta?Ω, etr >0tel queD(a,r)?Ω. Alorsfholomorphe surΩsatisfait la formule de

Cauchy :

?z?D(a,r),f(z) =?

C(a,r)f(ω)z-ωdω.

Corollaire 2.Sifest holomorphe surΩ, alorsfest DSE en chacun de ses points. Théorème 13.Soientfn,f: Ω→C, avec lesfnholomorphes surΩ. Si(fn)nconverge unifor- mément sur tout compact deΩversf, alorsfest holomorphe surΩ, et pour toutk?N, la suite (f(k)n)nconverge uniformément versf(k)sur tout compact. n≥01n sest holomorphe sur{s?C,?(s)>1}.

4 Séries de Fourier

On se placera sur le toreT=R2πZ.

4.1 Définitions

Définition 9.On dit quef?L1(T)si12π?

-π|f(t)|dt <+∞.

On noteraen:t?→eintpourn?Z.

Les coefficients de Fourier def?L1(T)sont définis parˆf(n) =12π? -πf(t)e-intdt.

Proposition 4. (Lemme de Riemann-Lebesgue)

Sif?L1(T), alorslimn→+∞ˆf(n) = 0.

4.2 Théorèmes principaux

Définition 10.On définit les sommes partielles de Fourier associées àfparSn(f) =n? k=-nˆ f(k)ek. Les sommes partielles de Fejér associées àfsontσn(f) =1n+ 1n k=0S k(f).

Théorème 14. (Théorème de Dirichlet)

Soitf? C1m(T)(i.e.de classeC1par morceaux). Alors(Sn(f))converge simplement vers˜f:t?→12 (f(t+) +f(t-)). 4

Exemple :Calcul de la série?

n≥01n

2à l"aide def(t) =1-t2π

2.

Théorème 15. (Fejér)

Sif? C(T), alors(σn(f))nconverge uniformément versf. Corollaire 3.Les polynômes trigonométriques sont denses dansC(T). Proposition 5.L"applicationF:L1(T)→CZqui àfassocie la suite de ses coefficients de

Fourier(ˆf(n))nest injective.

Proposition 6.Soitf?L1(T)telle que?

n?Z|ˆf(n)|<∞. Alorsfest égale à la série de

Fourier et est continue.

Application : Formule sommatoire de Poisson (deuxième développement) pour toutx?R. Supposons que? n?Z|ˆf(n)|<∞, alors : n?Zˆ f(n) =? n?Zf(n).

Exemple :On définit la fonctionθ(t) =?

n?Ze-πn2tpourt >0.

Alorsθ(t) =1⎷t

θ?1t

4.3 ThéorieL2

Théorème 16.L"espaceL2(T)est hilbertien dont une base hilbertienne est donnée par(en)n?Z. Corollaire 4.Pour toutf?L2(T), on aSN(f)L2-----→n→+∞f.

Exemple :La fonction?

n≥0(-1)n⎷n enn"est pas dansL2(T)car ses coefficients de Fourier ne sont pas de carré sommables. 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy pdf

[PDF] suite de cauchy exercices

[PDF] rapport jury capes interne anglais 2014

[PDF] rapport jury capes interne anglais 2016

[PDF] rapport capes espagnol 2016

[PDF] rapport de jury caplp lettres histoire 2016

[PDF] rapport du jury caplp 2015

[PDF] sujet caplp 2013

[PDF] methodologie caplp lettres histoire

[PDF] vecteurs orthogonaux formule

[PDF] vecteurs orthogonaux produit scalaire

[PDF] montrer que deux vecteurs sont orthogonaux dans l'espace

[PDF] économie et démographie economie approfondie

[PDF] deux vecteurs orthogonaux produit scalaire

[PDF] arg(zd-zc/zb-za)