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Suites numériques II. 1 Suites de Cauchy. Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n?N une suite de nombres réels telle
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Suites numériques - Chapitre 3
Jan 17 2012 LIMITE D'UNE SUITE : EXEMPLE DE SUITE DIVERGENTE. Une suite {xn} converge si ... SUITES DE CAUCHY : PORTRAIT DE AUGUSTIN LOUIS CAUCHY.
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Exercicesd’Analyse(suite) - Département de Mathématiques
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Suites convergentes et suites de Cauchy dans R
Suites convergentes et suites de Cauchy dans R Chapitre II 27 septembre 2020 1 Suites Intuitivement une suite numérique est la donnée pour tout n2N d’un réel noté u n: Dé?nition 1 1 Une suite est une application de N vers R : u: N !R n7!u(n) souvent noté u n: La suite sera notée uou bien (u n) n2N:u ns’appelle le terme général
Suites de Cauchy et construction des nombres réels
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Suites convergentes et suites de Cauchy dansR
Chapitre II
27 septembre 2020
1 Suites
Intuitivement, une suite numérique est la donnée pour toutn2Nd"un réel, notéun: Définition 1.1.Une suite est une application deNversR: u:N!Rn7!u(n)souvent notéun: La suite sera notéeuou bien(un)n2N: uns"appelle le terme général de la suite. On dit qu"une suite(un)n2Nconverge vers le réelL(ou tend vers le réelL)si8 >09N2N8nNon a quejunLj< :
Ce réel s"appelle alors la limite de la suite(un)n2Net on note lim n!1un=L: Une suite qui ne converge pas s"appelle suite divergente. On remarque la propriété suivante de la notion de limite : si elle existe, alors elle est unique : en fait, siL1etL2sont deux limites d"une même suite(un)n2N, on montre queL1=L2:Pour ce faire, il suffit de démontrer que quelque soit >0;on a que jL1L2j< :En fait, soient N12Ntel quenN1) ju
nL1j<2 N22Ntel quenN2) junL2j<2
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
jL1L2j=jL1un+unL2j
jL1unj+junL2j 2 +2 pourtoutn1:Alorslimn!1un=0:En fait, soit >0:CommeRest Archimédien, il existeN2Ntel queN >1:Or,
pour toutnNon a quen >1et donc0<1n < :C"est à dire,j1n 0j< : Définition 1.3.Soit(un)n2Nune suite. Nous dirons que 1 (un)n2Nest majorée s"il existeMtel queunMpour toutn2N; (un)n2Nest minorée s"il existemtel queunmpour toutn2N; (un)n2Nest bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Proposition 1.4.Toute suite convergente est bornée. Démonstration.On poseL= limn!1un:SoitN2Ntel quejunLj<1pour tout nN:On pose r= maxf1;ju1Lj;ju2Lj;:::;juN1Ljg:AlorsjunLj rpour toutn2N:C"est à direLrunL+r:Proposition 1.5.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites telles quelimn!1an=Let
lim n!1bn=M:Soitc2R:Alors (1)limn!1(an+bn) =L+M; (2)limn!1(can) =cL; (3)limn!1(anbn) =LM; (4)limn!1(1a n) =1L sian6= 0pour toutn2NetL6= 0:Démonstration.Pour (1), soit >0et soient
N12Ntel quenN1) janLj<2
N22Ntel quenN2) jbnMj<2
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
jan+bn(L+M)j janLj+jbnMj 2 +2 Pour (2), sic= 0alors le résultat est immédiat. Pourc6= 0;soient >0etN2Ntels quejanLj12Ntel quenN1) janLj N 22Ntel quenN2) jbnMj Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2 De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0: En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0: Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N 2> N1tel que
janLj L:Alors il existe N2Ntel que
janLj0< LunL junLj une contradiction.Proposition 1.7.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites qui converge respectivement vers LetM:Supposons qu"à partir d"un certain rangNon aitanbn:AlorsLM: Démonstration.On applique la proposition précédente à la suite(cn)n2Ndéfinie parcn= a nbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L: Démonstration.Soit >0et soient
N 12Ntel quenN1) janLj< "
N 22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:3 2 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nk tel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL: On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m 1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0et N2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A 0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunn pour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n3la sous-suite(unk)k2Nconverge versL:Exercice 4.3.Montrer que+1est une valeur d"adhérence d"une suite(un)n2Nsi et seulement si pour toutM2Ril existe une infinité d"indicesntel queunM: Définition 4.4.Soit(un)n2Nune suite deR:On pose limsup n!1un= limn!1sup knu k: et liminfn!1un= limn!1infknuk: Soit(un)n2Nune suite deRbornée. Alors il existem;M2Rtel que munM pour toutn2N:Pourn2Non poseAn=fuk2N:kng; vn= supAnet w n= infAn:On a donc que mwnvnM: 6 De plus la suite(vn)n2Nest décroissante et la suite(wn)n2Nest croissante. On a donc que la suite(vn)n2Nconverge dansRverslimsupn!1un:De même, la suite(wn)n2N converge dansRversliminfn!1unet on a que 1 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1: Theorem 4.5.Soit(un)n2Nune suite deR:Alors la suite(un)n2Nconverge dansRsi et seulement siliminfn!1un= limsupn!1un: Démonstration.On posem= liminfn!1un; M= limsupn!1un; An=fuk2N: kng; vn= supAnetwn= infAn:Alors on a que la suite(wn)n2Nconverge versm et la suite(vn)n2Nconverge versM:Sim=M;commewnunvnpour toutn2N; d"après le Théorème de Gendarmes on a que la suite(un)n2Nconverge versm=M: Inversement, si la suite(un)n2Nconverge vers un réelL;alors pour tout >0il existe N2Ntel que
L < un< L+
pour toutnN:Il s"ensuit que LwnvnL+
pour toutnN:On a donc quejwnLj etjvnLj pour toutnN:On en déduit quelimn!1wn= limn!1vn=Let doncliminfn!1un= limsupn!1un=L:Theorem 4.6.Soit(un)n2Nune suite deR:On poseL= limsupn!1un:AlorsLest la
plus grande valeur d"adhérence dansRde la suite(un)n2N: Démonstration.Commençons par montrer que pour toute valeur d"adhérencelde la suite (un)n2Non a quelL:Sil=1ou siL= +1alors il n"y a rien à montrer. Autrement, soit >0:Comme précédemment, pourn2Non posevn= supfuk:k ng:Alors in existeNtel quevn< L+pour toutnNet doncuk< L+pour tout kN:Soit(unk)k2Nune sous-suite de la suite(un)qui converge versl:Commenkk pour toutk2N;on a queunk< L+pour toutkNet donclL+:Comme est arbitraire, on a quelL:Il reste à montrer queLest une valeur d"adhérence de laquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
22Ntel quenN2) jbnMj Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2 De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0: En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0: Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N 2> N1tel que
janLj L:Alors il existe N2Ntel que
janLj0< LunL junLj une contradiction.Proposition 1.7.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites qui converge respectivement vers LetM:Supposons qu"à partir d"un certain rangNon aitanbn:AlorsLM: Démonstration.On applique la proposition précédente à la suite(cn)n2Ndéfinie parcn= a nbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L: Démonstration.Soit >0et soient
N 12Ntel quenN1) janLj< "
N 22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:3 2 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nk tel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL: On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m 1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0et N2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A 0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunn pour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n3la sous-suite(unk)k2Nconverge versL:Exercice 4.3.Montrer que+1est une valeur d"adhérence d"une suite(un)n2Nsi et seulement si pour toutM2Ril existe une infinité d"indicesntel queunM: Définition 4.4.Soit(un)n2Nune suite deR:On pose limsup n!1un= limn!1sup knu k: et liminfn!1un= limn!1infknuk: Soit(un)n2Nune suite deRbornée. Alors il existem;M2Rtel que munM pour toutn2N:Pourn2Non poseAn=fuk2N:kng; vn= supAnet w n= infAn:On a donc que mwnvnM: 6 De plus la suite(vn)n2Nest décroissante et la suite(wn)n2Nest croissante. On a donc que la suite(vn)n2Nconverge dansRverslimsupn!1un:De même, la suite(wn)n2N converge dansRversliminfn!1unet on a que 1 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1: Theorem 4.5.Soit(un)n2Nune suite deR:Alors la suite(un)n2Nconverge dansRsi et seulement siliminfn!1un= limsupn!1un: Démonstration.On posem= liminfn!1un; M= limsupn!1un; An=fuk2N: kng; vn= supAnetwn= infAn:Alors on a que la suite(wn)n2Nconverge versm et la suite(vn)n2Nconverge versM:Sim=M;commewnunvnpour toutn2N; d"après le Théorème de Gendarmes on a que la suite(un)n2Nconverge versm=M: Inversement, si la suite(un)n2Nconverge vers un réelL;alors pour tout >0il existe N2Ntel que
L < un< L+
pour toutnN:Il s"ensuit que LwnvnL+
pour toutnN:On a donc quejwnLj etjvnLj pour toutnN:On en déduit quelimn!1wn= limn!1vn=Let doncliminfn!1un= limsupn!1un=L:Theorem 4.6.Soit(un)n2Nune suite deR:On poseL= limsupn!1un:AlorsLest la
plus grande valeur d"adhérence dansRde la suite(un)n2N: Démonstration.Commençons par montrer que pour toute valeur d"adhérencelde la suite (un)n2Non a quelL:Sil=1ou siL= +1alors il n"y a rien à montrer. Autrement, soit >0:Comme précédemment, pourn2Non posevn= supfuk:k ng:Alors in existeNtel quevn< L+pour toutnNet doncuk< L+pour tout kN:Soit(unk)k2Nune sous-suite de la suite(un)qui converge versl:Commenkk pour toutk2N;on a queunk< L+pour toutkNet donclL+:Comme est arbitraire, on a quelL:Il reste à montrer queLest une valeur d"adhérence de laquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0:En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0:Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N2> N1tel que
janLjN2Ntel que
janLjnbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L:Démonstration.Soit >0et soient
N12Ntel quenN1) janLj< "
N22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:32 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nktel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL:On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0etN2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunnpour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n31 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1: Theorem 4.5.Soit(un)n2Nune suite deR:Alors la suite(un)n2Nconverge dansRsi et seulement siliminfn!1un= limsupn!1un: Démonstration.On posem= liminfn!1un; M= limsupn!1un; An=fuk2N: kng; vn= supAnetwn= infAn:Alors on a que la suite(wn)n2Nconverge versm et la suite(vn)n2Nconverge versM:Sim=M;commewnunvnpour toutn2N; d"après le Théorème de Gendarmes on a que la suite(un)n2Nconverge versm=M: Inversement, si la suite(un)n2Nconverge vers un réelL;alors pour tout >0il existe N2Ntel que
L < un< L+
pour toutnN:Il s"ensuit que LwnvnL+
pour toutnN:On a donc quejwnLj etjvnLj pour toutnN:On en déduit quelimn!1wn= limn!1vn=Let doncliminfn!1un= limsupn!1un=L:Theorem 4.6.Soit(un)n2Nune suite deR:On poseL= limsupn!1un:AlorsLest la
plus grande valeur d"adhérence dansRde la suite(un)n2N: Démonstration.Commençons par montrer que pour toute valeur d"adhérencelde la suite (un)n2Non a quelL:Sil=1ou siL= +1alors il n"y a rien à montrer. Autrement, soit >0:Comme précédemment, pourn2Non posevn= supfuk:k ng:Alors in existeNtel quevn< L+pour toutnNet doncuk< L+pour tout kN:Soit(unk)k2Nune sous-suite de la suite(un)qui converge versl:Commenkk pour toutk2N;on a queunk< L+pour toutkNet donclL+:Comme est arbitraire, on a quelL:Il reste à montrer queLest une valeur d"adhérence de laquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
N2Ntel que
L < un< L+
pour toutnN:Il s"ensuit queLwnvnL+
pour toutnN:On a donc quejwnLj etjvnLj pour toutnN:On endéduit quelimn!1wn= limn!1vn=Let doncliminfn!1un= limsupn!1un=L:Theorem 4.6.Soit(un)n2Nune suite deR:On poseL= limsupn!1un:AlorsLest la
plus grande valeur d"adhérence dansRde la suite(un)n2N: Démonstration.Commençons par montrer que pour toute valeur d"adhérencelde la suite (un)n2Non a quelL:Sil=1ou siL= +1alors il n"y a rien à montrer. Autrement, soit >0:Comme précédemment, pourn2Non posevn= supfuk:k ng:Alors in existeNtel quevn< L+pour toutnNet doncuk< L+pour tout kN:Soit(unk)k2Nune sous-suite de la suite(un)qui converge versl:Commenkk pour toutk2N;on a queunk< L+pour toutkNet donclL+:Comme est arbitraire, on a quelL:Il reste à montrer queLest une valeur d"adhérence de laquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] suite de cauchy exercices
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