Géométrie dans lespace Représentation paramétrique : Exercices
Représentation paramétrique : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Représentation paramétrique d'une droite. ABCDEFGH est un cube.
Exercices de mathématiques - Exo7
Donner un vecteur directeur la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des Exercice 3 Point équidistant d'une famille de droites.
representation-parametrique-droite-geometrie-espace-exos
Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d'une équation cartésienne de plan. • Exercice 12 : représentation paramétrique d'un segment et d'une
Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan
Exercice 1.5: Appliquer la même démarche avec A(-1 ; 7) et une pente de 3. Type point – point : Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant.
ÉQUATIONS – INÉQUATIONS – SYSTÈMES
mx m x m . Exercice 15 : Etudier l'existence et le signe des racines des équations paramétriques. 1) ( ). 0.
ÉQUATIONS PARAMÉTRIQUES DES CONIQUES
Exercice 1. Déterminer les équations paramétriques de : a) l'ellipse centrée en ( ; ). h k avec l'axe focal parallèle à l'axe des abscisses. Justifier.
Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace
Donner deux équations paramétriques différentes de cette droite d. Exercice 4.8 : Donner une équation paramétrique de la droite :.
Feuille de TD - droites et plans
Exercice 4. Donner une représentation paramétrique puis une équation cartésienne de la droite passant par les points A et B dans les cas suivants :.
Système de coordonnées
Exercice. Quelle est la surface d'équation z = r en coordonnées cylindriques Exercice. • Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le.
Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace
Donner deux équations paramétriques différentes de cette droite d. Exercice 4.8 : Donner une équation paramétrique de la droite :.
Equations paramétriques/Inéquations EXERCICE 1 - SUNUMATHS
Equations paramétriques/Inéquations EXERCICE 1 On considère l’équation (E) suivante : m x 2 ? 2 (m ? 2) x + m ? 3 = 0 1°) Résoudre (E) pour m = 0 ; m = 2 ; 2°) Pour quelles valeurs de m (E) a-t-elle des racines ? 3°) Déterminer m pour que (E) ait deux racines x ' et x " de même signe EXERCICE 2
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes Terminale S 5 SAES Guillaume III Produit scalaire dans l’espace Définition : Droite orthogonale à un plan Soit ?? et ? deux vecteurs de l’espace et trois points tels que ??= ?????? et ?= ??????
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 5 On appelle Y le projeté orthogonal du point X sur la droite (D) On a : D*****?-
Equations paramétriques du second degré - Free
Equations paramétriques du second degré 1) Somme et produit a) Dans l'équation (m-2)x2-2x(m+1)+2m+1=0 déterminez si possible les valeurs de m pour lesquelles cette équation admette 2 racines distinctes positives On précise que m est différent de 2 b) Dans l'équation (m-6)x2-4x(m-1)+m-3=0 déterminez si possible les valeurs de m pour
Comment calculer l’équation paramétrique ?
2+ x - 4 6°) Indiquer sur la figure l’ensemble des Nombres Réels solutions de l’inéquation précédente. II – [8 pts] On considère l’équation paramétrique x2+ (m + 2) x + 3(m + 2) = 0 . 1°) Déterminer suivant les valeurs de m l’existence et le nombre de solutions de cette équation.
Qu'est-ce que la courbe des équations paramétriques ?
Celles-ci sont appelées équations paramétriques et t est appelé paramètre indépendant. L'ensemble des points (x, y) obtenus en fonction de t qui varie dans un intervalle est appelé le graphique des équations paramétriques, et le graphique résultant est la courbe des équations paramétriques.
Qu'est-ce que le graphique des équations paramétriques ?
L'ensemble des points (x, y) obtenus en fonction de t qui varie dans un intervalle est appelé le graphique des équations paramétriques, et le graphique résultant est la courbe des équations paramétriques. Dans les équations paramétriques, x et y sont représentés en fonction de la variable indépendante t.
Quels sont les systèmes d’équations paramétriques?
Ceci démontre l’existence et l’unicité de (D): un système d’équations paramétriques de (d)est 8 < : x =3l y=16+2l z=4+l . Un système d’équations cartésiennes de (D) est ˆ x =3(z 4) y=16+2(z 4) ou encore (D) : ˆ x 3z+12 =0 y 2z 8 =0 .
Coordonnées
COORDONÉES POLAIRES (rappel)
En géométrie plane, le système
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces).La figure nous permet de nous
Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. Si le point Pa (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, ș)comme coordonnées polaires alors x= rcos șy = r sin ș r2= x2+ y2tan ș= y/xCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
En dimension 3 il y a un système de coordonnées, appelé coordonnées cylindriques, qui :Est similaire aux coordonnées polaires.
Donne une description simple de nombreux domaines (surfaces, volumes). Dans le système de coordonnées cylindriques, un point Pde -D) est représentéPar le triplet (r, ș, z), où :
ret șsontles coordonnées polairesdelaprojection de P sur le plan xy, zestla distance orientéedu plan xyàP.Pour convertir des coordonnées cylindriques en
cartésiennes, on utilise : x= rcos ș y= rsin ș z= z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise: r2= x2+ y2 tan ș= y/x z = zCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exemple
a.Placer le point de coordonnéescylindriques(2, 2ʌ/3, 1)et donner sescoordonnéesrectangulaires. b.Donner les coordonnéescylindriquesdu point de coordonnéesrectangulaires(3, 3, 7).Solution
a) Le point de cylindriquescoordonnées (2, 2ʌ/3, 1)estplacésur la figure.Sescoordonnéesrectangulairessont
Le point a doncpour coordonnéesrectangulaires(1, , 1). 3212cos 2 132
232sin 2 332
1 x y z SSolution (b)
On a :
Un jeude coordonnéescylindriquesestdonc:
Un autre:
Commepour les coordonnéespolaires, ily a uneinfinite de choixpossibles.223 ( 3) 3 2
37tan 1, so 234
7 r n z T T S (3 2,7 /4, 7)(3 2, /4, 7)Coordonnéescylindriques
Les coordonnéescylindriquessontutilesdansles problèmes oùexisteunesymétrieaxiale. On choisitalorsdes z de façonà cecoincide avec cetaxe de symétrie. Par exemple, pour le cylindreà base circulaire, z, ila pour équationcartésiennex2+ y2= c2. Encoordonnéescylindriques, cecylindrea commeéquation: r= c(beaucoup plus simple!).
Exercice
z= ren coordonnées cylindriquesSolution
z de la surface) est la même que r(distance de ce point à z).Comme ș
z. Donc, toute section horizontale de la surface par un plan z= k (k> 0) est a cercle de rayon k. Ceci suggère que la surface est coordonnées rectangulaires.On a : z2= r2= x2+ y2, cette équation
(z2= x2+ y2équation cartésienne z.SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D)
Le systèmede coordonnéessphériquesestun autresystèmede coordonéesutile entroisdimensions. Il simplifieenparticulierles calculstriples sur des volumes limitéspar des portions de sphèresoude cônes. Les coordonnéessphériques(ȡ, ș, ĭ) Pde sont:ȡ= |OP|, ladistance deO
à P(ȡ0)
ș,le mêmeangle
coordonnéescylindriques.ĭ, entre les vecteurszet
OP. l'angle formé par les vecteurs zet OPest appelé colatitude le plan équatorial et OP).Notons que la première coordonnée (la
distance entre Oet P) est toujours positive, et que la colatitudeest comprise entre 0 et ,En physique, les notations șet ĭsont
Généralement interverties, comme sur la
figure ci-contre.La distance est souvent notée r.
REMARQUE TRÈS IMPORTANTE
Notations "physiques»
Notations "mathématiques»
COORDONNÉES SPHÈRIQUES
Utiliser un système de coordonnées sphériques peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes présentant origine du système. ca alors une équation très simple :ȡ= c.
Our= c en
Le grapheéquationș= c
(= c ennotations physiques) estun demi plan verticalcontenant Oz.équationĭ= c(ș= c en
notations physiques) représenteun demi-cône z.COORDONNÉES SPHÈRIQUES
La relation entre coordonnéescartésiennesand sphériquesse déduitde la figure.COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Considéronslestriangles OPQ
et, ona: z= ȡcos ĭ, r= ȡsin ĭEt comme,
x= rcos ș, y= rsin șOn obtientles formulesde
conversion : x= ȡsin ĭcos ș y= ȡsin ĭsin ș z= ȡcos ĭAvec les notations physiques, la relation
de passage aux coordonnées cartésiennes s'écritdonc :COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Exercice :
Le point (r= 2, = ʋ/3, = ʋ/4) est donné en coordonnées schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.Solution
Coordonnéescartésiennes:
1 23 1 3sin cos 2sin cos 23 4 2 22
3 1 3sin sin 2sin sin 23 4 2 22
cos 2cos 2 13 x x z U I TSSU I T
SUI x y zLa formuledonnantla distance indiqueque :
r2= x2+ y2 + z2 Onutilise cetteéquation pourconvertirles coordonnées cartésiennes en coordonnéesspheriques. Exercice: Le point estdonnéencoordonnées cartésiennes. Caculerdes coordonnéessphériquespour cepoint.0,2 3, 2
COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
On a :
Doncon a : r = 4, ߠ
ଷ(colatitude), ߮Solution
Considérons M de coordonnées
sphériques (r, , ).Le vecteur position de Mest :
OM= rur
urest le vecteur unitaire radial.Repèrecomobile
Les coordonnées cartésiennes de Msont :
On aura donc pour ur: ߠ...߮ǡߠ߮ǡ...ߠ
Repèrecomobile
Lvarie le point M
décrit un cercle, dans un plan parallèle à (Oxy), de rayon ݎ...ߠLe vecteur unitaire tangent en Mà
cette courbe est noté u, il est situé dans le plan "horizontal» (x,y).OM(et donc
à ur), puisque la norme de OMest constante
lorsque Mse déplace sur le cercle. on a : u= -sinux+ cosuyRepèrecomobile
varie le pointMdécrit un demi grand cercle
(méridien).Le vecteur unitaire tangent à
cette courbe, en M, est noté u. Il est orthogonal à urpuisque, lorsque Mdécrit le demi cercle, la norme du vecteur OMest constante (ۻ۽ uest dans le plan "méridien», il est donc orthogonal à uqui est dans un plan "horizontal». Le repère comobile(M,ur,u,u) est orthonormé direct et lié à M. cartésiennes de u(à vérifier en exercice) : (coscos, cossin, -sin)Exercice
Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer, par dérivation, le vecteur tangent à la courbe, en déduire les coordonnées cartésiennes de u Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer les coordonnées cartésiennes de ude deux façons différentes. Les équations paramétriques sont, bien sûr : On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à :Solution
TT||2= r2sin2(sin2+ cos2) = r2sin2, ||T|| = rsin( sin est positif car אߠ-ǡߨ u= (-sin, cos, 0)Les équations paramètiquessont :
On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à : ||T||2= r2cos2(cos2sin2) + r2sin2= r2 (cos2+ sin2) = r2 Donc ||T|| = r, les coordonnées cartésiennes de u= T/ ||T|| sont : (coscos, cossin, -sin) Remarque: comme on le voit sur les coordonnées de ur, urest une fonction des deux variables et phi. au chapitre suivant. On peut déjà observer que les calculs précédents montrent que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est u, et que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est sinu.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] théorie de l'attachement adulte
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