Chapitre 3 – Les Dérivées
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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4
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I Taux de variation dune fonction entre deux valeurs
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1ère SPÉCIALITÉMATHÉMATIQUES 04 ? DÉRIVATION 4)Interprétationgraphiquedunombredérivé Onsupposeiciquelafonctionf estdérivableenunréela del’intervalleI La droite qui passe par le point A(a;f(a)) et dont le coe?cient directeur est le réel f?(a) est la tangenteàlacourbereprésentativedef aupointd’abscissea DÉFINITION
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Quels sont les exercices de dérivation pour les élèves de première ?
Devoir Surveillé – DS sur les applications de la dérivation pour les élèves de première avec Spécialité Maths. pour l’exercice 1, les dérivées, les équations de tangente et équations du type f (x) = m. Il aborde aussi la recherche de tangentes parallèles à une droite et les positions relatives de 2 courbes.
Quels sont les cours de dérivation?
• Cours de première sur la dérivation. Nombre dérivé et dérivation, fonction dérivée, formules et règles de dérivation. • Cours de première sur les fonctions. La fonction exponontielle et les fonctions trigonométriques. • Cours de terminale sur les fonctions.
Quels sont les différents types de cours de première ST2S ?
Les cours de première ST2S comprennent les matières du tronc commun, des enseignements de spécialités, ainsi qu’une ou plusieurs matières optionnelles qui permettent, lorsqu’elles sont choisies, de compléter ou d’enrichir ton parcours. L’année de première est une année déterminante.
Quels sont les systèmes de dérivation ?
Ces systèmes sont: le régulateur, les freins, les commandes de portail, etc. L'ouverture des vannes du barrage ou le débit du cours d'eau entraîne l'eau dans un canal de dérivation jusqu'aux turbines électriques. La roue à eau du passé a été transformée en une turbine moderne.
Terminale ST2S - F1 : FONCTIONS - DÉRIVATION
I.Nombre dérivé et tangente à une courbe
On considère une fonction f, définie sur un intervalle I, et C sa courbe représentative dans le plan muni
d'un repère orthogonal (O ; i, j).Définition
(rappel) : Si la courbe C admet en un point M, d'abscisse t0, une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées, alors le nombre dérivé en t0 est égal au coefficient directeur m de la tangente à la courbe C en M.Ce nombre dérivé est noté f'
t0 et f't0=m. La tangente en M admet alors une équation du type : y=f't0×tp.Exemple :
Sur le graphique ci-contre, on peut lire que la tangente à la courbe au point de coordonnées (1 ; 3) admet pour coefficient directeur m = 0,5.Donc ici : f'
1=0,5.Méthode :
- on part de M et on avance de 1 en abscisses (horizontalement) ; - puis on se déplace verticalement pour retrouver la droite (ici la tangente) et on lit la valeur du déplacement vertical (ici 0,5). On peut également lire graphiquement la valeur de l'ordonnée à l'origine p de la droite : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Ici p = 2,5. D'où l'équation de la tangente à C en M : y =0,5t2,5.
Cas particuliers :
•Si la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, alors le coefficient directeur de la tangente est nul : m=0.•Si la tangente se rapproche de la verticale en un point, alors la fonction n'est pas dérivable en ce point. La fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro. Terminale ST2S - F1 : Fonctions - DérivationPage 2 / 3II.Fonction dérivée
Activité p. :
Définition : Si une fonction f admet un nombre dérivé pour tout réel t d'un intervalle I, c'est-à-dire que la
courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; i, j) admet une tangente non
parallèle à l'axe des ordonnées en tout point, alors on dit que la fonction f est dérivable sur I.
Exemple : une fonction g est représentée par la courbe ci- contre. Sur l'intervalle [-1 ; 3], en tout point de la courbe on peut tracer une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées.Donc la fonction g est dérivable sur [-1 ; 3].
Définition : Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui, à tout nombre t de I, associe
le nombre dérivé f'(t) est appelée la fonction dérivée de f sur I et on la note f'.Exemple : Dans l'activité 2, on a pu mettre en évidence que la fonction f définie sur [-5 ; 5] par f
t=t2-3t admet pour fonction dérivée la fonction f' définie elle aussi sur [-5 ; 5] et par f't=2t-3.Remarques importantes :
•f' désigne la fonction dérivée de f ;•f' n'est pas forcément définie sur le même intervalle que f (voir la fonction racine carrée par après) ;
•f'(t) désigne le nombre dérivé de f en t.III. Dérivée des fonctions usuelles
1. Les fonctions affines
Ce sont les fonctions de la forme f : ℝ → ℝ t → atb.Théorème : Les fonctions affines sont dérivables sur ℝ et donc sur tout intervalle de ℝ.
Si f t=atb, alors sa fonction dérivée est définie par f't=a. Exemple : Soit f la fonction définie sur [-3 ; 7] par : f t=0,5t-1. La fonction dérivée de f est définie aussi sur [-3 ; 7] et f' t=0,5.Dans ce cas, la tangente (en vert ci-contre) est
superposée avec la courbe (en rouge) représentant la fonction. Terminale ST2S - F1 : Fonctions - DérivationPage 3 / 32. Cas particuliers
a. Les fonctions constantesThéorème : Les fonctions constantes sont
dérivables sur ℝ.Pour f
t=b, b∈ℝ, alors f't=0.b. La fonction identité Théorème :La fonction identité est dérivable sur Pour ft=t, alors f't=1.3. Les fonctions " puissances »
a. La fonction carrée : t → t² Théorème : La fonction carrée est dérivable sur ℝ. Si f t=t2, alors f't=2t.b. La fonction cube : t → t3 Théorème :La fonction cube est dérivable sur ℝ.Si ft=t3, alors f't=3t2.
4. Les autres fonctions usuelles
a. La fonction racine carrée : t → Théorème : La fonction racine carrée n'est dérivable que sur ]0 ; + Pour ft=t, alors f't=12t.b. La fonction inverse : t → 1
t Théorème :La fonction inverse n'est dérivable que sur ℝ\{0}.Pour f
t=1 t, alors f't=-1 t2.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] mouvement libertin litterature
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