Feuille 5 : Arithmétique
1. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair
Arithmétique dans Z
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le reste de la division euclidienne.
Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1 : Démontrer que
Démontrer que pour tout entier n (n ? 1) 30n + 7 n'est jamais la somme de 3. En déduire que p2 ? 1 est divisible par 24. ???. 1. 3 est premier et ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
2 n'est pas rationnel. [000256]. Exercice 252. Montrer que ?n ? N : n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120.
NOMBRES ENTIERS
4) 7 est un diviseur de 24. Correction. 1) VRAI : 36 est un multiple de 12 car 36 = × 12 avec =3. 2) FAUX : 28 n'est pas un multiple de 8 car il
Arithmétique dans Z 1 Divisibilité division euclidienne
Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 n(n + 1)(n + ...
Extrait de cours maths 3e Multiples et diviseurs
Exercice 5. 1. L'entier n est un multiple de 12. Écrire n sous forme littérale. 2. En utilisant cette écriture montrer que n est un multiple de 4. 3.
Exercices de mathématiques - Exo7
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n4 +6n3 +11n2 +6n+1 = (n2 +3n+1)2 avec n2 +3n+1 entier naturel. Correction de l'exercice 2 ?. 1. Soit n un entier relatif. Si n est
Cours darithmétique
Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 36* Déterminer toutes les suites (an)(n ? 1) d'entiers ...
Devoir n°2 - 2016 corrigé
conclusion Pour tout entier naturel n 44n+2 - 3n+3 est divisible par 11. Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas.
Feuille d’exercices n02 - CNRS
1 Montrer que 10n+1 9n 10 est divisible par 9 2 On appelle u n le nombre dont l’ ecriture d ecimale est 1:::1 (avec n fois le chi re 1) Exprimez u n en fonction de n 3 Calculez u 1 + u 2 + :::+ u n en fonction de n 4 D eduisez-en que 10n+1 9n 10 est divisible par 81 Exercice 6 (Application des congruences : la preuve par 9)
DIVISIBILITE DANS : CARACTERE DE DIVISIBILITE PAR 3 ET PAR 9
Exercice 8 Montrer que 8n 2N : n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24; n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120: Exercice 9 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais egal a 3 Exercice 10 D emontrer que le nombre 7n + 1 est divisible
Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie II - AlloSchool
3 – Montrer que 291 n’est pas premier et que 127 est premier Montrer que 291 n’est pas un nombre premier ? On teste la divisibilité de 291 par 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 ? Or 291 impair donc n’est pas divisible par 2 ? On calcule 291 17;0587 ? On a 2 + 9 + 1 = 12 donc 291 est divisible par 3 D’où 291 n’est pas un nombre
Feuille d'exercices o17 : Polynômes - CNRS
1 Montrer que ? est stable par produit (on pourra utiliser des polynômes complexes bien choisis) 3 Inversement soit P?R[X] tel que ?x?RP(x) ? 0 : (a)Montrer que toutes les racines réelles de Psont d'ordre de multiplicité pair
TD : Exercices de logique - univ-angersfr
nn k n k; 3 6 ( 1)(2 1) ² 0 + + ? = = nn n k n k; 4 3 2 0 2 ( 1) + ? = = nn k n k 4 Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence la propriété suivante : P(n) : 10n - (-1)n est divisible par 11 Exercice 18 a Partager un carré en 4 carrés puis en 6 7 8 9 et 10 carrés b Peut-on partager un carré en 3 ou 5 carrés?
Quels sont les nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9 ?
NB : Ii y a des nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9. Exemple3 : 11745 est à la fois divisible par 3 et par 9 car 1+1+7+4+5= 18, qui est à la fois multiple de 3 et de 9 Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 3 ou de 9.
Quels sont les critères de divisibilité d’un nombre entier par un autre non nul ?
On revient sur la division euclidienne d’un nombre entier par un autre non nul et on précise le vocabulaire qui y est attaché : dividende, diviseur, quotient et reste. On aborde les notions de multiple et de diviseur et on énonce les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9. Un problème d’œufs…
Comment calculer les expressions non divisibles ?
4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32 7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35 Expressions non divisibles Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3.
Comment calculer la divisibilité par 3 ?
Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas. Exemples: 7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc. Quotient d'une division par 3 L'entierde la divisionpar 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo3 par 3. Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3
Semestred'automne2016-2017
Feuille5:Arithm´eti que
Exercice1Montrerquepourtoutn2N:
1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisiblep ar24,
2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.
Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210. Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etprod uit6480.Exercice4Calculerlepgcdde48et210,et de81et 237.Danschaque casexpr ime rl'id ent it´ede B´ezout .
Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828. Exercice6Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14x+35y=21( c)637x+595y=29Exercice7Notonsa=1 111111111etb=123456 789.
1.Cal culerlequotientetlere stedel adivisioneuclidienned eaparb.
2.Cal culerp=pgc d(a,b).
3.D´ eterminerdeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=p.
Exercice9Combien15!admet-ilded ivi seursdansN?
Exercice10D´emontrerque,siaetbsontdesent ierspremi ersentreeux,ilenestd emˆemedesentiers a+betab. Exercice11Soienta,bdesentie rssup´erieursou´egaux`a1. Montrer: 1.(2 a 1)|(2 ab 1); 2.2 p1pr emier)ppremier;
3.p gcd(2
a 1,2 b 1)=2 pgcd(a,b) 1. Exercice12Montrerquesinestunenti ernatur elsommededeuxcarr´e sd'entiersalorslere stedela divisioneuclidiennede npar4n' est jamais´egal`a3.Exercice13D´emontrerquelenombre7
n +1estd ivisiblep ar8sinestimpair ;danslecasnpair,donner lerest edesadivisionpar8. Exercice14Trouverlerestedela divisi onpar13dunombre100 1000Exercice15Trouvertouteslessolut ionsdusyst`emes uivantdansZ: n⌘13(m od19) n⌘6(m od12). 1 Exercice16SoitXl'ensembledesnombrespremiersde laforme4k+3aveck2N.
1.Mon trerqueXn'estpasvide.
2.Mon trerqueleproduitd enombresde laforme 4k+1e ste ncoredecet teforme.
3.On suppose queXestfinieton l'´ecrital orsX={p
1 ,...,p nSoita=4p
1 p 2 ...p n1.Mon trerparl'absurdeque aadmetundivis eurpre mierdelaforme4k+3.
4.Mon trerquececiestimpos sibleetd oncqueXestinfini.
Exercice17Soitn2N,n2.
1.Mon trerquen
2 ⌘1(m od8)sinestimpair.2.Mon trerquen
2 ⌘0(m od8)oun 2 ⌘4(m od8)sinestpair.3.Soi enta,b,ctroisentiersi mpairs.
i)D´ eterminerlerestemodulo8dea 2 +b 2 +c 2 etcelui de(a+b+c) 2 .End´eduirelerestemodulo8de 2(ab+bc+ca).
ii)Existe- ilunentierm2Ntelquem 2 =ab+bc+ca?Exercice18
Soita2Ntelquea
n +1s oit premier.M ontrerquenestdelafor men=2 k pourunent ier k2N.Qu epenserde laconjecture:2 2 n +1e stp remierpour toutentiern2N?Exercice19
Soitpunnomb repremier.
1.Mon trerque
p i estdivisi bleparppourtouti2J1,p1K.2.Mon trerparr´ecurencequ epourt outa2N
,l'entiera p aestdivis ibleparp.Exercice20
1.Mon trerparr´ecurrenceq uepour toutn2Netk2N
ona: 2 2 n+k 1= 2 2 n 1 k1 Y i=0 2 2 n+i +12.On poseF
n =2 2 n +1.M ontr erquepourm6=n,F n etF m sontpremi ersentreeux.3.E nd´edu irequ'ilyauneinfinit´ede nombrespremiers.
Exercice21Donnerlavaleuren basedix desnombressuivan ts:1.(110101001)
22.(110101001)
33.(1367)
84.(1402)
5Exercice22
Ecrirelesnombressui vants(donn ´esenbasedix)danslab asecibleindiqu´ee.1.255e nbas edeux;
2.1907e nbas eseize ;
3.2016e nbas esept;
4.2000e nbas edeuxm ille.
2 Universit´eClaudeBernardLyon1UEFondam entauxdesMath´em atiquesISemestred'automne2016-2017
Feuille5:Arithm´eti que
Exercice1Montrerquepourtoutn2N:
1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisible par24,
2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.
Solution
1.24= 2·3·4.De quatre nombrescons´ecuti fs,unestdivisible par2etunautrepar4,puisqueles
r´esidusmodulo4sont0,1,2et 3.Leurproduitestdoncd ivi siblepar8. Dem ˆem e,d etroisn omb res cons´ecutifs,unestdivisiblepartrois.C omme8et 3sontpremi ersentreeux,leproduitestd ivisib le par24.2.120 =24·5.Les r´esid usmodulo5decinqnombrescon ´scutifssont0,1,2,3et 4.Il yenadon cunequi
estdivis ibleparcinq.Comme5et24sontprem iersen treeux,leprodu itdecinqnombr esc ons´ec uti fs estdivisi blepar120. Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210.Solution
Soientaetblesdeuxn ombres.Alorsa=35a
0 etb=35b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 21035
=6=2·3.Alor son acom mesolutionpour( a 0 ,b 0 ):(1,6),(2,3),(3,2)et (6,1).Cequ idonnel essolutions (35,210),(70,105), (105,70)e t(210,35). Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etpro duit6480.
Solution
1.Soi entaetblesdeuxnom bres.Alorsa=18a
0 etb=18b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 +b 0 36018 =20.I lfau t donc´ecri re20comesommededeuxentie rs premierse ntreeux.Ilsn epeuv entpasˆetredi visiblespar
2ou5, ceq uid onneles solutions( 1,19),(3,17),(7,13)et (9,11)pou r(a
0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ),soit( 18,342), (54,306),(126,234)et (162,198)pou r(a,b)ou( b,a).2.Soi entaetblesdeuxn ombres.Alorsa=18a
0 etb=18 b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 =6480= 18 2·4·5.
Alorsonacomme solu tion pour(a
0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ):(1,20)et (4,5),cequ idonnel essolutions (18,360), (72,90)pou r(a,b)ou( b,a).Exercice4Calculerlepgcdde48et210,etd e81et237. Danschaquec asexpri mer l'ide nti t´edeB ´ezout.
Solution
1.On a210=48·4+18 ;48= 18·2+12 ;18= 12+6;12= 6·2.Ain sipgcd(210,48)=6.
Onremon te:6=1812=18 (4818·2)=18 ·348=( 21048·4)·348=210 ·348·13.2.On a237=81·2+75 ;81= 75+6;75= 6·12+3 ;6= 3·2.Ain sipgcd(237,81)=3.
Onremon te:3=756·12=75 (8175)·12= 75·1381·12=( 23781·2)·1381·12=237 ·1381·38.
Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828.Solution
Ontrav ailleavecdesr´esidusdeval eurabsoluemini male.Ona18480 =9828·21176;9828=1176·8+420;1176=420 ·384;420=84·5.D oncpgcd(18480,9828)=84. On rem onte:
84=420 ·31176=( 98281176·8)·31176=9828 ·31176·25=9828 ·3(9828·218480)·25=
18480·259828·47.
Exercice6 Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14 x+35y=21( c)637x+595y=29Solution
11.On a58=21·35;21=5·4+1. Donc pgcd (58,21)=1 eti lya unesolu tion.On re mont e:
1=21 5·4=21 (21·358)·4=58 ·421·11.Les solution ssont(x,y)2{(4+21n,1158n):n2Z}.
2.On a35=7·5et 14=7·2.Ain sipgcd(35,14)=7 ;com me7|21il yaune solu tion .Endivisan tpar
7,le syst` emeest´equivalent`a2x+5y=3.Un esol utions ´evidenteest(4,1).Less olutions sontdonc
(x,y)2{(4+5 n,12n):n2Z}.3.On a637=595+ 42;595 =42·14+7;42=7·6.Don cpgcd(637,595)=7 ;com me7-29il n'yap as
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] التكوين المهني بالمغرب
[PDF] ofppt sidi maarouf
[PDF] التسجيل في التكوين المهني
[PDF] ista meknes
[PDF] takwine
[PDF] rapport pisa 2016 france
[PDF] pisa classement
[PDF] pisa 2015 france
[PDF] résultats pisa 2016
[PDF] pisa 2016 results
[PDF] classement pisa 2017
[PDF] sujet concours police municipale 2016
[PDF] annales concours police municipale gratuit
[PDF] concours de gardien de police municipale 2016
